圆周角定理运用方法技巧

⑴ 圆周角定理及其推论

圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。

定理推论指的是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

定理内容:
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，这一定义实质上反映的是圆周角所具备的两个特征：①顶点在圆上，②两边都和圆相交。这两个条件缺一不可。

图二

⑵ 圆周角定理是什么

圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

圆周角定理的推论：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。

半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧的半圆，所对的弦是直径。

若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

(2)圆周角定理运用方法技巧扩展阅读

当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

∵OA、OC是半径

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

⑶ 怎样证明圆周角定理

圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半

证明：

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.

证明：

情况1：

如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

图1

连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。

解：∵OA、OB、OC、是半径

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）

∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

从而得证：∠BOC=2∠BAC.

⑷ 圆周角定理的定理证明

圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半

证明：

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.

证明：

情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

∵OA、OC是半径

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

图1

(4)圆周角定理运用方法技巧扩展阅读：

定理推论

1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;

2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半;

3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。

4.半圆(直径)所对的圆周角是直角。

5.90°的圆周角所对的弦是直径。

6.等弧对相等的圆周角。(因为相等的弧只有一个圆心角)

注意:在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。

⑸ 圆周角的定理推论

圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
证明略（分类思想，3种，半径相等）
①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
②同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。（不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。 ）
③半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
④圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
⑤在同圆或等圆中，圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等<=>弦心距相等。

⑹ 圆周角公式

圆周角公式：A=vf*kl。圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。该定理反映的是圆周角与圆心角的关系。
圆是一种几何图形。根据定义，通常用圆规来画圆。同圆内圆的直径、半径的长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。圆是轴对称、中心对称图形。对称轴是直径所在的直线。同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是一种概念性的图形。

⑺ 圆周角定理的内容

一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理

推论有：
1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；
3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
4.半圆（直径）所对的圆周角是直角。
5.90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角。

⑻ 圆心角定理 圆周角定理

圆心角定理：在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等．
圆周角定理：①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半
③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等
④半圆（或直径）所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径
⑤圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.

⑼ 数学圆周角的知识

1.
圆周角的概念
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角必须具备两个特征：（1）顶点在圆上；（2）角的两边都和圆相交，二者缺一不可。
2.
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
定理的证明要分类，因为一条弧所对的圆心角唯一，而它所对的圆周角却有无数个，这无数个圆周角与圆心位置有三种：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角外部。
3.
圆内角
角的顶点在圆内的角叫圆内角。
圆内角的度数等于它所对弧与它对顶角所对弧的度数之和的一半。
如下图圆内角∠3的度数为∠1＋∠2，∠1的度数是
的一半，∠2的度数是
的一半。
4.
圆外角
角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角，叫圆外角。
圆外角的度数等于它所截两条弧度数之差的一半。
如下图，圆外角∠3的度数为∠2－∠1，∠2的度数是
的一半，∠1的度数是
的一半。
5.
四边形的外角，四边形的对角
四边形一边延长线与相邻一边组成的角叫四边形的外角。
四边形中不相邻的两个角互称为对角。
所有顶点都在同一个圆上的多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。
6.
圆内接四边形的性质定理
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

例1.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠BCD＝_________。
解：∵∠BOD＝110°，∴∠BAD＝55°
又∠BAD＋∠BCD＝180°
∴∠BCD＝180°－55°＝125°
例2.
已知：如图，∠APC＝∠BPC＝60°，则∠BAC＝__________。
解：∵∠APC＝∠BPC＝60°
∴∠APB＝120°，BC＝AC
∵四边形APBC内接于⊙O
∴∠ACB＝60°
∴△ABC是等边三角形
∴∠BCA＝60°，故填60°
点拨：本题较综合，考察：①相等的圆周角所对弦相等，②圆内接四边形对角互补，③一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
例3.
半径为4的圆上一段弧长等于半径为2的圆的周长，则这段弧所对圆心角是___________。
解：半径为2的圆的周长是
，半径为4的圆的周长为
∴这段弧长正好是周长的一半
∴这段弧所对圆心角180°
故填180°
点拨：本题有难度，要理解圆心角的度数等于它所对弧度数。

⑽ 圆周角的定理及4个推论

圆周角的定理及4个推论如下：

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。