如何求二面角的方法

㈠ 求二面角的方法步骤是怎样的

求二面角的平面角的常用方法有3类：
一、 直接法：其中包括定义法、垂线法、垂面法
定义法 ：步骤 ：
1、在二平面的棱上取恰当的点（经常是端点和中点、如利用等腰(含等边)三角形底边的中点）
2、过这个点分别在两半平面内做相棱的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。（有时也经常做两条垂线的平行线，使它们在一个更理想的三角形中）。
说明：因为题目中所给的点或你能找到的特殊点分别向交线作垂线多半不交于一点，所以这种情况很少，因此有必要引导学生探究其他方法。
垂线法：利用作（或找）面的垂线（线面垂直的判定和性质）作平面角。
例1 锐二面角a-L-β,如图（1）所示，过a面的一点P，向β面作垂线，垂足为B，再过B向这二面角的棱L作垂线，垂足C，连接PC。可用三垂线定理证明 PCB就是这两个面的二面角
例2 钝二面角a-L-β,如图（2）所示，过a面的一点P，向β面作垂线，垂足为B，过B向这二面角的棱l作垂线，垂足C，连接PC。
则角 PCB为二面角a-L-β的平面角的补角。

说明：引导学生在具体题目中注意判断二面角是钝二面角还是锐二面角是解决问题的前提。
垂面法：（教材复习参考题二A组第10题提示）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角形成的两交线所成的角就是二面角的平面角。
说明：棱的垂面经常不会直接给出，而是以点到面的距离的条件呈现的。这样过此点所作的面的垂线是否落在半平面内，直接影响到所得到的两射线所成的角是二面角的平面角还是其补角。
例3 二面角内一点到两个面的距离分别为 、4，到棱的距离为 ，则二面角的度数为（75°或165°）
解析：分两种情况：锐二面角和钝二面角
1. 当二面角为锐二面角时，过点P向a、β半平面引垂线，垂足落在半平面内，此时P点的棱的垂面与两半平面的交线所成的角为二面角的平面角。
2. 当二面角为钝二面角时，作平面 平面 ，作平面 平面 ，当P点在二面角 内时，过点P向a、 两半平面作垂线，垂足均落在半平面内，此时过P点且与棱垂直的平面与两半平面形成的两射线所成的角为二面角的平面角。
当P点在二面角 内时，过点P向a、 两半平面作垂线，垂足不能同时落在两个半平面内，此时过P点且与棱垂直的平面与两半平面形成的两射线所成的角为二面角的平面角的补角。

二、 间接法：
面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。”
S射影面积＝S原图形面积＊cos(两个平面所成的二面角）
即cosθ=S射影图/S原图
(平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ)
证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可。
说明：运用这一方法可以解决求无棱二面角的大小问题，关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影（即找到从一个面内一点向另一面的垂线）通常求两个面内的三角形的面积比较容易。
三、向量法：利用两个平面的法向量M，N的夹角来求，这是高考中最有效的办法不管有多难都可求出二面角的大小，也是最好的办法。不过求出后要根据二面角的实际大小来判断算出的结果与实际情况下的角是否相同利用空间向量求二面角的平面角步骤（设二面角平面角为θ）
1）建立空间直角坐标系；
2）设平面 的法向量为N(X1，Y1，Z1)，平面 法向量为M(X2，Y2，Z2)；
3）在 内找两条线L1，L2，让N×L1=0，N×L2=0求出N的坐标，M也是如此求出；
4）然后利用cosθ=N?M/|N|×|M|即可求出θ的值
说明：锐二面角时，法向量的夹角即该二面角的平面角钝二面角时，法向量的夹角的补角为二面角的平面角
小结：
①方法一是基础，是基本概念的运用；方法二、三是射影、向量与二面角定义的综合，是拓展。只有理解掌握了第一类方法才能理解第二、三类方法。
②文科学生只需掌握第一类即可，对于理科学生掌握了上述三类方法，则有利于解决比较复杂的二面角问题。用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，儿向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故，学会用向量法解决立体几何问题是学好立体几何的基础。

㈡ 求二面角的方法

在立体几何运算中，很多人都会觉得太过复杂，难以达到最简单的求解方法，最后总是出现错误，而且现在高考中几何立体运算也是必考的重点，尤其是二面角，那么求二面角的方法是什么呢?

1、垂面法——和棱垂直的平面，并且垂面和二面角相交的线所组成的角，也就是二面角和平面角。

2、定义法——在棱上任意取一点，并且在两个平面中都做出棱上A点的垂线，有的时候这条垂线可以在两个不同的平面内做垂线，再在其中一个垂足和垂线之间的平行线，也可以求出二面角。

3、向量法——把两个半平面的法向量求出，主要是通过夹角公式的方法求得。所求的二面角也就是这个夹角或者是补角。

4、异面直线距离法——将二面角假设为C-AB-D，那么其中的AC和BD就是异面之线AC⊥AB，而AB也就是异面直线中AC和BD的公垂线，根据AB,CD,AC,BD的值，就可以计算出二面角。

求二面角的方法有很多，比如异面之线距离法，向量法，定义法和垂面法都是非常好的求二面角的方法，要灵活的运用这些方法，简便的计算出最终的结果，才是最关键的。

㈢ 二面角怎么求

二面角的通常求法： （1）由定义作出二面角的平面角； （2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角； （3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； （4）空间坐标求二面角的大小。 其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。 求二面角大小的基本步骤 （1）作出二面角的平面角： A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角； B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角； C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角； D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。 （2）证明该角为平面角； （3）归纳到三角形求角。 另外，也可以利用空间向量求出。 利用空间向量：（设二面角平面角为A） 1）先建立直角坐标系，求出个点坐标； 2）设面S1的法向量为N(X1，Y1，Z1)，面S2法向量为M(X2，Y2，Z2)； 3）在S1内找两条线L1，L2，让N×L1=0，N×L2=0求出N的坐标，M也是如此求出； 4）然后利用cosA=N×M/|N|×|M|即可求出A的值

㈣ 求二面角的方法

有六种：1.定义法2.垂面法3.射影定理4.三垂线定理5.向量法6.转化法二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。由公式s射影=s斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得
也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。然后根据n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α
二面角的通常求法：（1）由定义作出二面角的平面角；
（2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；
（3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；
（4）空间坐标求二面角的大小。
其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。
（1）作出二面角的平面角：a：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；b：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；c：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；d：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。（2）证明该角为平面角；（3）归纳到三角形求角。另外，也可以利用空间向量求出。

㈤ 怎么找二面角

找二面角有通法,先找出其中一个面的垂面,借此找出此面的垂线,与二面角另一面交于一点,过此点作二面角交线的垂线,将此垂足与刚才线面垂直的垂足连结,所成即二面角的平面角
用三垂线定理可证

㈥ 求二面角的方法(越详细越好)

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面)。二面角的大小可以用它的平面角度来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

0≤θ≤π（不小于0°，不大于180°）

（注：既然二面角是空间立体图形，那么我们可以将180°～360°的另一边看成0°～180°）

作二面角的平面角的常用方法有六种：

1、定义法：在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。

2、垂面法：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角

3、面积射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。即公式cosθ=S'/S（S'为射影面积，S为斜面面积）。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

4、三垂线定理及其逆定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。

5、向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。

6、转化法：在二面角α-l-β其中一个半平面α上找一点P，求出P到β的距离h和P到l的距离d，那么arcsin(h/d)（二面角为锐角）或π-arcsin(h/d)（二面角为钝角）就是二面角的大小。

7,、三面角余弦定理法：详细见相关词条。

8、三正弦定理法：详细见相关词条。

9、异面直线的距离法：设二面角为C-AB-D，其中AC和BD互为异面直线且AC⊥AB，BD⊥AB（即AB是异面直线AC和BD的公垂线）。设AB=d，CD=l，AC=m，BD=n，根据

来求异面直线所成角θ。利用该方法求θ必须先由图像判断二面角是锐角还是钝角。如果是锐角，那么取正号；钝角，那么取负号。待求出θ以后，如果二面角是锐角，那么二面角的大小就是θ；钝角，那么二面角的大小就是π-θ。

其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。

二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。

几何法

（1）作出二面角的平面角

A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；

B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；

C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；

D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。

（2）证明该角为平面角

（3）归纳到三角形求角

㈦ 二面角的求法

作二面角的平面角的常用方法有九种：
1、定义法 ：在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。
2、垂面法 ：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角
3、面积射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。即公式cosθ=S'/S（S'为射影面积，S为斜面面积）。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。
4、三垂线定理及其逆定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接两个垂足即得二面角的平面角。
5、向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。
6、转化法：在二面角α-l-β其中一个半平面α上找一点P，求出P到β的距离h和P到l的距离d，那么arcsin(h/d)（二面角为锐角）或π-arcsin(h/d)（二面角为钝角）就是二面角的大小。
7,、三面角余弦定理法：详细见相关词条。
8、三正弦定理法：详细见相关词条。
9、异面直线的距离法：设二面角为C-AB-D，其中AC和BD互为异面直线且AC⊥AB，BD⊥AB（即AB是异面直线AC和BD的公垂线）。设AB=d，CD=l，AC=m，BD=n，根据来求异面直线所成角θ。利用该方法求θ必须先由图像判断二面角是锐角还是钝角。如果是锐角，那么取正号；钝角，那么取负号。待求出θ以后，如果二面角是锐角，那么二面角的大小就是θ；钝角，那么二面角的大小就是π-θ。
其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。

㈧ 二面角怎么求

两个相交平面的夹角叫做二面角，其大小是由二面角的平面角来度量的。
求二面角的平面角的步骤为：
1) 找到两个平面的交线；
2)分别在两个平面上向交线作垂线，则此二垂线的夹角就是所求的二面角的平面角；
3) 如果这两条垂线能直接相交于一点最好，否则要设法使其在一个平面内相交于一点，例如同在垂直于交线的平面内,即使构成平面角的两条在同一个平面内；
4) 通过平面内的几何图形，利用勾股定理，三角函数的定义式，正弦定理，余弦定理等公式求出所求的平面角的二面角的函数值，再由求反函数，即可求出角度的大小。
5) 如果利用立体几何关系，难以解题的话，可以利用向量关系来求。

附：

㈨ 二面角的求法

1、定义法

在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的垂线，如图1所示。用定义法求二面角的平面角时，首先需要根据二面角的定义把它转化为平面角，然后把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求二面角，其基本的解题步骤为“一作，二证，三求”。

2、垂射线法即垂面法过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面的交线组成的角即为二面角的平面角。

二面角一般都是在两个半平面的相交线上，取恰当的点(通常是端点或中点），过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两垂线的平行线，使它们在一个更理想的三角形中。

相关内容：

平面内的一条直线，把这个平面分为两部分，每一部分都叫作半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角。这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面。

二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。二面角也可以看作是从一条直线出发的一个半平面绕着这条直线旋转，它的最初位置和最终位置组成的图形。

二面角的平面角的大小，与其顶点在棱上的位置无关。如果两个二面角能够完全重合，则说它们是相等的．如果两个二面角的平面角相等，那么这两个二面角相等。反之，相等二面角的平面角相等。