数学奥林匹克不等式证明方法和技巧pdf

Ⅰ 高中数学不等式 证明 要过程 ，高手进

原不等式为：√[(a1+b1)²+(a2+b2)²+......+(an+bn)²]≤√(a1²+a2²+....an²)+√(b1²+b2²+......bn²)
左右两边非负，且左边根号内的内容也非负，故两边同时平方，原不等式即证：
(a1+b1)²+(a2+b2)²+......+(an+bn)²≤(a1²+a2²+....an²)+(b1²+b2²+......bn²)+2√[(a1²+a2²+....an²)·(b1²+b2²+......bn²)]

即证：
(a1²+a2²+....an²)+(b1²+b2²+......bn²)+(2a1·b1+2a2·b2+…+2an·bn)≤(a1²+a2²+....an²)+(b1²+b2²+......bn²)+2√[(a1²+a2²+....an²)(b1²+b2²+......bn²)]

即证：
(a1·b1+a2·b2+…+an·bn)≤√[(a1²+a2²+....an²)(b1²+b2²+......bn²)]

即证：
(a1·b1+a2·b2+…+an·bn)²≤(a1²+a2²+....an²)(b1²+b2²+......bn²)
根据柯西不等式，上式显然成立。

Ⅱ 中学数学不等式证明方法

不等式的证明，基本方法有
比较法：比较两个式子的大小，求差或求商。是最基本最常用的方法
综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是何时等号才成立。
分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。
换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考
反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立
放缩法：
用柯西不等式证。等等……
高考不是重点，但是难点。
大学数学也会讲到柯西不等式。

如果a、b都为实数，那么a平方+b平方≥2ab，当且仅当a=b时等号成立
如果a、b都是正数，那么（a+b）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立。）
和定积最大：当a+b=S时，ab≤S^2/4（a=b取等）
积定和最小：当ab=P是，a+b≥2√P（a=b取等

概念：N个正实数的算术平均数大于等于其几何平均数
算术平均数，arithmetic mean，用一组数的个数作除数去除这一组数的和所得出的平均值，也作average
几何平均数，geometric mean，作为n个因数乘积的数的n次方根，通常是n的正数根
设a1,a2,a3,...,an是n个正实数，则(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an)，当且仅当a1=a2=…=an时，均值不等式左右两边取等号
[编辑本段]●【均值不等式的变形】
(1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)
(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab
(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a^2+b^2)/2）
[编辑本段]●【均值不等式的证明】
方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)
即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)
[编辑本段]●【均值不等式的应用】
例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)
证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3
所以，2√x≥3-1/x
例二 长方形的面积为p，求周长的最小值
解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p
因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p
周长最小值为4√p
例三 长方形的周长为p，求面积的最大值
解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p
因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16
面积最大值是p^2/16
[编辑本段]●【均值不等式的总结】
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号

【柯西不等式的证法】
柯西不等式的一般证法有以下几种：
■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。
■②用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．
[编辑本段]【柯西不等式的应用】
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
■巧拆常数：
例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立。
像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献．

Ⅲ 《数学奥林匹克小丛书》（高中卷）共有那几本

1集合 2函数与函数方程 3三角函数

4 平均值不等式与柯西不等式

5:不等式的解题方法与技巧6:数列与数学归纳法

7平面几何

8复数与向量 9几何不等式 10数论

11组合数学 12图论 14:高中数学竞赛中的解题方法与策略
求采纳！打字打的好辛苦！

Ⅳ 数学奥林匹克不等式证明方法和技巧 难不难

我估计楼主说的代数不等式的证明方法和技巧。
按我自己的培训过程和参赛体会，
不等式证明方法和技巧不算太难，最难的是组合数学和数论的赛题。
代数不等式的证明方法和技巧，我常用的有：
①作差法、作商法、分析、综合法、反证法、三角代换法、缩放法、局部不等式法、磨光变换法、增量代换法、切函数法、数形结合法等等.
②重要不等式法，如均值不等式法(基本不等式)、柯西不等式法(Cauchy不等式法)、排序不等式法、赫尔德不等式法、母不等式(嵌入不等式法)、舒尔不等式法(Scher不等式法)、凸函数法(Jensen不等式法及其多元推广)、权方和不等式法、卡尔松不等式法、微分中值定理法(主要是拉格朗日中值定理法),等等.
③构造法，如构造函数求导数用函数单调性法、构造向量法、构造复数法、构造图形法，等等.
总之，初等代数不等式的证明方法和技巧非常多，但是不算太难，希望楼主对自己要有自信心。

Ⅳ 高中数学竞赛 不等式证明（高手进）

见图

Ⅵ 数学奥林匹克小丛书 初中卷．因式分解技巧 求PDF

1. 提取公因式
   这个是最基本的.就是有公因式就提出来,这个大家都会,就不多说了
   2.完全平方
   a&#178;+2ab+b&#178;=(a+b)&#178;

   a&#178;-2ab+b^2=(a-b)&#178;
   2.看到式字内有两个数平方就要注意下了,找找有没有两数积的两倍,有的话就按上面的公式进行.
   3.平方差公式
   a²-b²=(a+b)(a-b)
   这个要熟记,因为在配完全平方时有可能会拆添项,如果前面是完全平方,后面又减一个数的话,就可以用平方差公式再进行分解.
   4.十字相乘
   x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
   这个很实用,但用起来不容易.
   在无法用以上的方法进行分解时,可以用下十字相乘法.
   例子:x²+5x+6
   首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法.
   一次项系数为1.所以可以写成1*1
   常数项为6.可以写成1*6,2*3,-1*-6,-2*-3(小数不提倡)
   然后这样排列
   1 - 2
   
   1 - 3
   (后面一列的位置可以调换,只要这两个数的乘积为常数项即可)
   然后对角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘积相加.2+3=5,与一次项系数相同(有可能不相等,此时应另做尝试),所以可一写为(x+2)(x+3) (此时横着来就行了)

Ⅶ 初等不等式的证明方法.pdf

《初等不等式的证明方法》为韩京俊所着，共分15章，选取300余个国内外初等不等式的典型问题，以解析解题方法，并对部分问题加以拓展，不少例题都配有较大篇幅的注解，本书可作为数学奥林匹克训练的参考教材，供高中及以上文化程度的学生、教师使用，也可作为不等式爱好者及从事初等不等式研究的相关专业人员阅读参考。

Ⅷ 求一道数形结合的奥林匹克数学不等式证明题

这方面的题目实在是太多了啊，有很多不等式都是用这个方法做的。我提供你我这个暑假碰到的一道题目：
已知正数A,B,C,A1,B1,C1,他们满足A+A1=B+B1=C+C1=K(K为常数)。求证：A*B1+B*C1+C*A1<K^2
本题通过构造一个变长为K的等边三角行，并在3边上取点，设线段长度分别为A,A1,B,B1,C,C1，然后在通过三角形面积公式S=1/2*A*B*SINα这个公式来表是三角形面积，最后通过这个大正三角形的面积大于里面部分小三角形的面积来证的
楼主想要解法，其实很简单。
先画一个等边三角形XYZ，去XY边上任意一点为P，去YZ边上任意一点为Q，去ZX边上任意一点为R，设线段长度XY=YZ=XZ=K，XP=A，PY=A1，YQ=B，QZ=B1，ZR=C，RX=C1。那么显然就有A+A1=B+B1=C+C1=K，这道题目的几何构形就这样建造完毕了。
等式两边同时乘以1/2*SIN60得：1/2*SIN60*A*B1+1/2*SIN60*B*C1+1/2*SIN60C*A1=1/2*SIN60*K*K
等式左边是三角形PQY，三角形QRZ，三角形PRX的面积之和，而等式右边是三角形XYZ的面积，看一下图就知道显然是三角形XYZ的面积大于三角形PQY，三角形QRZ，三角形PRX的面积之和。所以此题得证。
你只要对三角形的面积公式S=1/2*SIN60*A*B这个公式很熟悉，那么这个构造是很容易想到的。