各种取值方法和技巧

⑴ 解释变量一般有几种取值方式

两种
常用的方法是“最小二乘法”。这种方法可使最终由模型计算出来的被解释变量的估计值与其实际值之差的平方和为最小，也就是可使最终由模型计算出来的被解释变量的估计值更接近其实际值。
第二种模型为“回归模型”。判断回归模型的估计值与被解释变量实际值的回归拟合程度的指标称为“判定系数”或“可决系数”。判定系数介于0和1之间，越接近于1，表明回归模型的拟合程度越好。
解释变量亦称“说明变量”、“可控制变量”，是 经济计量模型中的自变量。
解释变量，按照一定的规律对模型中作为因变量的经济变量产生影响，并对因变量的变化原因作出解释或说明。例如，对于描述市场上某种商品价格和供给量之间关系的经济计量模型，价格的变化影响生产者向市场提供商品的数量。因此，价格变量是该模型的解释变量。

⑵ 求近似数的取值范围有什么技巧吗

求近似数，对学生来说，特别是对二年级的学生来说是比较难的。这一段时间，我都在加强这方面的练习，如在早读、午读出题给他们练习，有错的一个一个的纠正，不断的让他们明确“四舍五入”的方法。就学生与家长的问题，特做下面的解析。

⑶ 取值函数的使用方法

取值函数的使用方法：取数组的最大值的函数是MAX，但是你这个不是数组，是字符串，要把字符串分列，分为多个列，每列一个数字，那样就可以使用MAX函数了。

G1到K1单元格先填上标题，在G2单元格输入下面公式=INDEX(A:A,SMALL(IF(MATCH($A$1:$A$999&"",$A$1:$A$999&"",0)=ROW($A$1:$A$999),ROW($A$1:$A$999),4^8),ROW(A1)))。

取值函数奇偶性：

为一个实变量实值函数，若有f（-x）= - f（x），则f（x）为奇函数。几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。奇函数的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。

设f（x）为一实变量实值函数，若有 ，则f（x）为偶函数。几何上，一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。偶函数的例子有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。偶函数不可能是个双射映射。

⑷ 做数学题的方法和技巧

中小学数学，还包括思维数学，在学习方面要求方法适宜，有了好的方法和思路，可能会事半功倍！那有哪些方法可以依据呢？文都教育建议家长们，培养孩子从小就习惯用这些思维和方法来解题！

形象思维方法

形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法。它的思维基础是具体形象，并从具体形象展开来的思维过程。

形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。它的认识特点是以个别表现一般，始终保留着对事物的直观性。它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象，对表象进行加工、提炼进而提示出本质、规律，或求出对象。它的思维目标是解决实际问题，并且在解决问题当中提高自身的思维能力。

实物演示法

利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题，及条件与条件，条件与问题之间的关系，在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法。

这种方法可以使数学内容形象化，数量关系具体化。比如：数学中的相遇问题。通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语，而且为学生指明了思维方向。再如，在一个圆形（方形）水塘周围栽树问题，如果能进行一个实际操作，效果要好得多。

二年级数学教材中，“三个小朋友见面握手，每两人握一次，共要握几次手”与“用三张不同的数字卡片摆成两位数，共可以摆成多少个两位数”。像这样的有关排列、组合的知识，在小学教学中，如果实物演示的方法，是很难达到预期的教学目标的。

特别是一些数学概念，如果没有实物演示，小学生就不能真正掌握。长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习，都依赖于实物演示作思维的基础。

所以，小学数学教师应尽可能多地制作一些数学教（学）具，而且这些教（学）具用过后要好好保存，可以重复使用。这样可以有效地提高课堂教学效率，提升学生的学习成绩。

图示法

借助直观图形来确定思考方向，寻找思路，求得解决问题的方法。

图示法直观可靠，便于分析数形关系，不受逻辑推导限制，思路灵活开阔，但图示依赖于人们对表象加工整理的可靠性上，一旦图示与实际情况不相符，易使在此基础上的联想、想象出现谬误或走入误区，最后导致错误的结果。比如有的数学教师爱徒手画数学图形，难免造成不准确，使学生产生误解。

在课堂教学当中，要多用图示的方法来解决问题。有的题目，图画出来了，结果也就出来的；有的题，图画好了，题意学生也就明白了；有的题，画图则可以帮助分析题意、启迪思路，作为其他解法的辅助手段。

列表法

运用列出表格来分析思考、寻找思路、求解问题的方法叫做列表法。列表法清晰明了，便于分析比较、提示规律，也有利于记忆。它的局限性在于求解范围小，适用题型狭窄，大多跟寻找规律或显示规律有关。比如，正、反比例的内容，整理数据，乘法口诀，数位顺序等内容的教学大都采用“列表法”。

用列表法解决传统数学问题：鸡兔同笼问题。制作三个表格：第一张表格是逐一举例法，根据鸡与兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔就有19只，腿共有78条……这样逐一列举，直至寻找到所求的答案；第二张表格是列举了几个以后发现了只数与腿数的规律，从而减少了列举的次数；第三张表格是从中间开始列举，由于鸡与兔共20只，所以各取10只，接着根据实际的数据情况确定列举的方向。

探索法

按照一定方向，通过尝试来摸索规律、探求解决问题思路的方法叫做探究法。我国着名数学家华罗庚说过，在数学里，“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式来。”苏霍姆林斯基说过：在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。“学习要以探究为核心”，是新课程的基本理念之一。人们在难以把问题转化为简单的、基本的、熟悉的、典型的问题时，常常采取的一种好方法就是探究、尝试。

第一、探究方向要准确，兴趣要高涨，切忌胡乱尝试或形式主义的探究。例如，教学“比例尺”时，教师创设“学生出题考老师”的教学情境,师：“现在我们考试好不好?”学生一听：很奇怪，正当学生疑惑之时，教师说：“今天改变过去的考试方法，由你们出题考老师，愿意吗?”学生听后很感兴趣。教师说：“这里有一幅地图，你们用直尺任意量出两地的距离，我都能很快地告诉你们这两地之间的实际距离，相信吗?”于是学生纷纷上台度量、报数，教师都一个接一个地回答对应的实际距离。学生这时更感到奇怪，异口同声地说：“老师您快告诉我们吧，您是怎样算的?”教师说：“其实呀，有一位好朋友在暗中帮助老师，你们知道它是谁吗?想认识它吗?”于是引出所要学习的内容“比例尺”。

第二、定向猜测，反复实践，在不断分析、调整中寻找规律。

第三，独立探究与合作探究结合。独立，有自由的思维时空；合作，可以知识上互补，方法上互相借鉴，不时还能碰撞出智慧的火花。

观察法

通过大量具体事例，归纳发现事物的一般规律的方法叫做观察法。巴浦洛夫说:"应当先学会观察,不学会观察永远当不了科学家.”

小学数学“观察”的内容一般有：①数字的变化规律及位置特点；②条件与结论之间的关系；③题目的结构特点；④图形的特点及大小、位置关系。

如：观察一组算式：25×4＝4×25，62×11＝11×62，100×6＝6×100……归纳出

乘法交换率：在乘法算式里，交换两个因数的位置，积不变。

“观察”的要求：

第一、观察要细致、准确。

第二、科学观察。科学观察渗透了更多的理性因素,它是有目的,有计划地察看研究对象。比如，在教学长方体的认识时，要做到“有序”观察：（1）面——形状、个数、面与面之间的关系；（2）棱——棱的形成、条数、棱与棱之间的关系（相对的棱相等；相对的棱有四条；长方体的棱可以分为三组）；（3）顶点——顶点的形成、个数，认识顶点的一个重要作用是引出长方体长、宽、高的概念。

验证法

你的结果正确吗？不能只等教师的评判，重要的是自己心里要清楚，对自己的学习有一个清楚的评价，这是优秀学生必备的学习品质。

验证法应用范围比较广泛，是需要熟练掌握的一项基本功。应当通过实践训练及其长期体验积累，不断提高自己的验证能力和逐步养成严谨细致的好习惯。

（1）用不同的方法验证。教科书上一再提出：减法用加法检验，加法用减法检验，除法用乘法验算，乘法用除法验算。

（2）代入检验。解方程的结果正确吗？用代入法，看等号两边是否相等。还可以把结果当条件进行逆向推算。

（3）是否符合实际。“千教万教教人求真，千学万学学做真人”陶行知先生的话要落实在教学中。比如，做一套衣服需要4米布，现有布31米，可以做多少套衣服？有学生这样做：31÷4≈8（套）

按照“四舍五入法”保留近似数无疑是正确的，但和实际不符合，做衣服的剩余布料只能舍去。教学中，常识性的东西予以重视。做衣服套数的近似计算要用“去尾法”。

（4）验证的动力在猜想和质疑。牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”“猜”也是解决问题的一种重要策略。可以开拓学生的思维、激发“我要学”的愿望。为了避免瞎猜，一定学会验证。验证猜测结果是否正确，是否符合要求。如不符合要求，及时调整猜想，直到解决问题。

抽象思维方法

运用概念、判断、推理来反映现实的思维过程，叫抽象思维，也叫逻辑思维。

抽象思维又分为：形式思维和辩证思维。客观现实有其相对稳定的一面，我们就可以采用形式思维的方式；客观存在也有其不断发展变化的一面，我们可以采用辩证思维的方式。形式思维是辩证思维的基础。

形式思维能力：分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理。

辩证思维能力：联系、发展变化、对立统一律、质量互变律、否定之否定律。

小学、中学数学要培养学生初步的抽象思维能力，重点突出在：

（1）思维品质上，应该具备思维的敏捷性、灵活性、联系性和创造性。

（2）思维方法上，应该学会有条有理，有根有据地思考。

（3）思维要求上，思路清晰，因果分明，言必有据，推理严密。

（4）思维训练上，应该要求：正确地运用概念，恰当地下判断，合乎逻辑地

推理。

对照法

如何正确地理解和运用数学概念？小学数学常用的方法就是对照法。根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。

这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。

公式法

运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。它体现的是由一般到特殊的演绎思维。公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。

比较法

通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。

比较法要注意：

(1)找相同点必找相异点，找相异点必找相同点，不可或缺，也就是说，比较要完整。

(2)找联系与区别，这是比较的实质。

(3)必须在同一种关系下（同一种标准）进行比较，这是“比较”的基本条件。

(4)要抓住主要内容进行比较，尽量少用“穷举法”进行比较，那样会使重点不突出。

(5)因为数学的严密性，决定了比较必须要精细，往往一个字，一个符号就决定了比较结论的对或错。

排除法

排除对立的结果叫做排除法。

排除法的逻辑原理是：任何事物都有其对立面，在有正确与错误的多种结果中，一切错误的结果都排除了，剩余的只能是正确的结果。这种方法也叫淘汰法、筛选法或反证法。这是一种不可缺少的形式思维方法。

解题技巧

选择题答题攻略

1、剔除法

利用已知条件和选项所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。

2、特殊值检验法

对于具有一般性的数学问题，在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。

3、极端性原则

将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，采用极端性去分析，就能瞬间解决问题。

4、顺推破解法

利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。

5、逆推验证法

将选项代入题干进行验证，从而否定错误选项而得出正确答案的方法。

6、正难则反法

从题的正面解决比较难时，可从选项出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。

7、数形结合法

由题目条件，做出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。

8、递推归纳法

通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。

9、特征分析法

对题设和选择项的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。

10、估值选择法

有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。

填空题答题攻略

数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。

1、直接法

这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

2、特殊化法

当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论。

3、数形结合法

借助图形的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。

4、等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

⑸ 取值方法

取值方法主要有统计分析方法和类比分析方法两种。

1.统计分析方法

通过统计分析方法，得到不同类型油气藏采收率的分布特征。

2.类比分析方法

将不同类型油气藏采收率进行归类处理，结合各项提高采收率技术潜力分析结果，确定油气资源可采系数，通过类比得到不同评价单元的油气可采系数取值。

⑹ 常见的求值域的方法 和题型

函数值域训练题
1.映射 : A B的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）设 是集合 到 的映射，下列说法正确的是 A、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个元素在 中必有原象 C、 中每一个元素在 中的原象是唯一的 D、 是 中所在元素的象的集合（答：A）；（2）点 在映射 的作用下的象是 ，则在 作用下点 的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若 ， ， ，则 到 的映射有 个， 到 的映射有 个， 到 的函数有 个（答：81,64,81）；（4）设集合 ，映射 满足条件“对任意的 ， 是奇数”，这样的映射 有____个（答：12）；（5）设 是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则 一定是_____（答： 或{1}）.
2.函数 : A B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与 轴的垂线至多有一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数 ， ，那么集合 中所含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数 的定义域、值域都是闭区间 ，则 ＝ （答：2）
3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为 ，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）
4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数 中 且 ，三角形中 , 最大角 ，最小角 等。如（1）函数 的定义域是____(答： )；（2）若函数 的定义域为R，则 _______(答： )；（3）函数 的定义域是 ， ，则函数 的定义域是__________(答： )；（4）设函数 ，①若 的定义域是R，求实数 的取值范围；②若 的值域是R，求实数 的取值范围（答：① ；② ）
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。
（3）复合函数的定义域：若已知 的定义域为 ,其复合函数 的定义域由不等式 解出即可；若已知 的定义域为 ,求 的定义域，相当于当 时，求 的值域（即 的定义域）。如（1）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为__________（答： ）；（2）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________（答：[1,5]）．
5.求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数 的值域（答：[4,8]）；（2）当 时，函数 在 时取得最大值，则 的取值范围是___（答： ）；（3）已知 的图象过点（2,1），则 的值域为______（答：[2, 5]）
（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1） 的值域为_____（答： ）；（2） 的值域为_____（答： ）（令 ， 。运用换元法时，要特别要注意新元 的范围）；（3） 的值域为____（答： ）；（4） 的值域为____（答： ）；
（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数 ， ， 的值域（答： 、（0,1）、 ）；
（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求 ， ， 的值域为______（答： 、 、 ）；
（5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点 在圆 上，求 及 的取值范围（答： 、 ）；（2）求函数 的值域（答： ）；（3）求函数 及 的值域（答： 、 ）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在 轴的同侧。
（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
① 型，可直接用不等式性质，如求 的值域（答： ）
② 型，先化简，再用均值不等式，如（1）求 的值域（答： ）；（2）求函数 的值域（答： ）
③ 型，通常用判别式法；如已知函数 的定义域为R，值域为[0，2]，求常数 的值（答： ）
④ 型，可用判别式法或均值不等式法，如求 的值域（答： ）
（7）不等式法――利用基本不等式 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是____________.（答： ）。
（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数 ， 的最小值。（答：－48）
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？
6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 时，一定首先要判断 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数 ，则使得 的自变量 的取值范围是__________（答： ）；（2）已知 ，则不等式 的解集是________（答： ）
7.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式： ；顶点式： ；零点式： ，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知 为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2 ,求 的解析式 。（答： ）
（2）代换（配凑）法――已知形如 的表达式，求 的表达式。如（1）已知 求 的解析式（答： ）；（2）若 ，则函数 =_____（答： ）；（3）若函数 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，那么当 时， =________（答： ）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即 的定义域应是 的值域。
（3）方程的思想――已知条件是含有 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方程组。如（1）已知 ，求 的解析式（答： ）；（2）已知 是奇函数， 是偶函数，且 + = ,则 = __（答： ）。
8. 反函数：
（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个 值，都有唯一的 值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有 有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数 在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是A、 B、 C、 D、 （答：D）
（2）求反函数的步骤：①反求 ；②互换 、 ；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数 的反函数不是 ，而是 。如设 .求 的反函数 （答： ）．
（3）反函数的性质：
①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数 满足条件 = x ，其中 ≠ 0 ，若 的反函数 的定义域为 ，则 的定义域是____________（答：[4,7]）.
②函数 的图象与其反函数 的图象关于直线 对称，注意函数 的图象与 的图象相同。如（1）已知函数 的图象过点(1,1),那么 的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；（2）已知函数 ，若函数 与 的图象关于直线 对称，求 的值（答： ）；
③ 。如（1）已知函数 ，则方程 的解 ______（答：1）；（2）设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数 ，f (4)＝0，则 ＝ （答：－2）
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知 是 上的增函数，点 在它的图象上， 是它的反函数，那么不等式 的解集为________（答：（2,8））；
⑤设 的定义域为A，值域为B，则有 ，
，但 。
9.函数的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数 ，
为奇函数，其中 ，则 的值是 （答：0）；
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：如判断函数 的奇偶性____（答：奇函数）。
②利用函数奇偶性定义的等价形式： 或 （ ）。如判断 的奇偶性___.（答：偶函数）
③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称。
（3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
③若 为偶函数，则 .如若定义在R上的偶函数 在 上是减函数，且 =2，则不等式 的解集为______.（答： ）
④若奇函数 定义域中含有0，则必有 .故 是 为奇函数的既不充分也不必要条件。如若 为奇函数，则实数 ＝____（答：1）.
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设 是定义域为R的任一函数， ， 。①判断 与 的奇偶性； ②若将函数 ，表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和，则 ＝____（答：① 为偶函数， 为奇函数；② ＝ ）
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（ ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
10.函数的单调性。
（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间 内，若总有 ，则 为增函数；反之，若 在区间 内为增函数，则 ，请注意两者的区别所在。如已知函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是____(答： ）)；
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意
型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为 ，减区间为 .如（1）若函数 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数 的取值范围是______(答： ）)；（2）已知函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围_____（答： ）；（3）若函数 的值域为R，则实数 的取值范围是______(答： 且 ）)；
③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数 的单调递增区间是________(答：（1,2）)。
（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数 在区间 上为减函数，求 的取值范围（答： ）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ，求实数 的取值范围。（答： ）
11. 常见的图象变换
①函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位得到的。如设 的图像与 的图像关于直线 对称， 的图像由 的图像向右平移1个单位得到，则 为__________(答： )
②函数 ( 的图象是把函数 的图象沿 轴向右平移 个单位得到的。如（1）若 ，则函数 的最小值为____(答：2)；（2）要得到 的图像，只需作 关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答： ；右)；（3）函数 的图象与 轴的交点个数有____个(答：2)
③函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向上平移 个单位得到的；
④函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向下平移 个单位得到的；如将函数 的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线 对称,那么 (答：C)
⑤函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的。如（1）将函数 的图像上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将此图像沿 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答： )；（2）如若函数 是偶函数，则函数 的对称轴方程是_______(答： )．
⑥函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 倍得到的.
12. 函数的对称性。
①满足条件 的函数的图象关于直线 对称。如已知二次函数 满足条件 且方程 有等根，则 ＝_____(答： )；
②点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为 ；
③点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为 ；
④点 关于原点的对称点为 ；函数 关于原点的对称曲线方程为 ；
⑤点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 。特别地，点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为
；点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 。如己知函数 ,若 的图像是 ,它关于直线 对称图像是 关于原点对称的图像为 对应的函数解析式是___________（答： ）；
⑥曲线 关于点 的对称曲线的方程为 。如若函数 与 的图象关于点（-2，3）对称，则 ＝______（答： ）
⑦形如 的图像是双曲线，其两渐近线分别直线
(由分母为零确定)和直线 (由分子、分母中 的系数确定)，对称中心是点 。如已知函数图象 与 关于直线 对称，且图象 关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）
⑧ 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 轴的对称图形，然后擦去 轴下方的图象得到； 的图象先保留 在 轴右方的图象，擦去 轴左方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到。如（1）作出函数 及 的图象；（2）若函数 是定义在R上的奇函数，则函数 的图象关于____对称 （答： 轴）
提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像 与 的对称性，需证两方面：①证明 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 上；②证明 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 上。如（1）已知函数 。求证：函数 的图像关于点 成中心对称图形；（2）设曲线C的方程是 ,将C沿 轴, 轴正方向分别平行移动 单位长度后得曲线 。①写出曲线 的方程（答： ）；②证明曲线C与 关于点 对称。
13. 函数的周期性。
（1）类比“三角函数图像”得：
①若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且一周期为 ；
②若 图像有两个对称中心 ，则 是周期函数，且一周期为 ；
③如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ，则函数 必是周期函数，且一周期为 ；
如已知定义在 上的函数 是以2为周期的奇函数，则方程 在 上至少有__________个实数根（答：5）
（2）由周期函数的定义“函数 满足 ，则 是周期为 的周期函数”得：
①函数 满足 ，则 是周期为2 的周期函数；
②若 恒成立，则 ；
③若 恒成立，则 .
如(1) 设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则 等于_____(答： )；(2)定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数，若 是锐角三角形的两个内角，则 的大小关系为_________(答： )；（3）已知 是偶函数，且 =993， = 是奇函数，求 的值(答：993)；（4）设 是定义域为R的函数，且 ，又 ，则 = (答： )
14.指数式、对数式：
， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 。如（1） 的值为________(答：8)；（2） 的值为________(答： )
15. 指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。
16. 函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立 型。
17. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型： --------------- ；
②幂函数型： -------------- ， ；
③指数函数型： ------------ ， ；
④对数函数型： ----- ， ；
⑤三角函数型： ----- 。如已知 是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则 ____（答：0）
（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数 表示 除以3的余数，则对任意的 ，都有 A、 B、 C、 D、 （答：A）；（2）设 是定义在实数集R上的函数，且满足 ，如果 ， ，求 （答：1）；（3）如设 是定义在 上的奇函数，且 ，证明：直线 是函数 图象的一条对称轴；（4）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时， 单调递增。如果 ，且 ，则 的值的符号是____（答：负数）
（3）利用一些方法（如赋值法（令 ＝0或1，求出 或 、令 或 等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若 ， 满足
，则 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若 ， 满足
，则 的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图像如右图所示，那么不等式 的解集是_____________（答： ）；（4）设 的定义域为 ，对任意 ，都有 ，且 时， ，又 ，①求证 为减函数；②解不等式 .（答： ）．

函数值定义域训练题
1.已知函数g(x)=f(3-2x)的定义域为[-1,2]，则函数f(x)的定义域为_____。
2.y=1/[(x^2+2x+6)^0.5]设x^2+2x+6为t，(x^2+2x+6)^0.5为a
3.定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围
4.若x,z,y是正数且，x+y+z=1,求16/x^3+81/8y^3+1/27z^3的最小值。
5.求a的值使得f(x)为单调函数
6.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?

7.设计一幅宣传画，要求画面的面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)
，画面上下各留8cm空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用的纸张面积最小？如果要求 ，那么λ为何值时，能使宣传画所用的纸张最小？
8.甲，乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小
时，已知：汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a。
9.已知函数f(x-1)= x2－2x+3,则f(x)=______________, f(x+1)=____________.

⑺ 高中数学取值范围技巧

取值范围有着自身的技巧。
所以一定要把技巧学习好。

⑻ 自由未知量取值有什么技巧

在阶梯型矩阵中：第（1）步，观察阶梯型矩阵的第一行，把第一行中第一个非零元素找出来，划掉这个非零元素所在的列。 第（2）步，观察阶梯型矩阵的第二行，把第二行中第一个非零元素找出来，划掉这个非零元素所在的列。