一个例题有多种解答方法如何拆分

1. 一道数学题（多种解答方法）

第一种：设甲仓库存粮x吨，则乙仓库存粮（880-x）吨。方程：2/5x=2/3（880-x）这就是甲仓库的2/5和乙仓库的2/3相等了。方程自己解
第二种：先以甲为单位“1“。根据已知有：甲×2/5=乙×2/3即乙=1×2/5÷2/3，已知甲+乙=880，求单位“1”用除法，列式为：1：甲：880÷（1+3/5）
2： 乙：550× 2/5÷ 2/3
=880÷ 8/5
=550× 2/5 ×3/2
=880× 5/8
=330（吨）
=550（吨）
第三种设 甲×2/5=乙×2/3=1
甲:1÷2/5=5/2
乙:1÷2/3=3/2
甲：乙=5/2:3/2=5:3
甲=880×5/(5+3)=550(吨)
乙=880×3/(5+3)=330(吨)

2. 初三化学计算题中归一法,XY法, 拆分法,分配法,K值法是怎样的，最好有具体的例子

归一法： 找到化学方程式中关键的化学式，定其化学式前计量数为1，然后根据关键化学式去配平其他化学式前的化学计量数。若出现计量数为分数，再将各计量数同乘以同一整数，化分数为整数，这种先定关键化学式计量数为1的配平方法，称为归一法。
例如：甲醇（CH3OH）燃烧化学方程式配平可采用此法：CH3OH＋O2――H2O＋CO2，显然决定生成H2O与CO2的多少的关键是甲醇的组成，因而定其计量数为1，这样可得其燃烧后生成H2O与CO2的分子个数：CH3OH＋O2――2H2O＋CO2。然后配平氧原子：CH3OH＋3/2O2===2H2O＋CO2，将各计量数同乘以2化分为整数：2CH3OH＋3O2＝＝4H2O＋2CO2。 需要注意的是，不论用何种方法配平化学方程式，只能改动化学式前面的化学计量数，而决不能改动化学式中元素右下角的数字。因为改动元素符号右下角的数字即意味着改动反应物与生成物的组成，就可能出现根本不存在的物质或改变了原有化学变化的反应物或生成物，出现根本不存在的化学变化。

交叉法（XY法）
十字交叉法
十字交叉法是确定二元混合物组成的重要方法。
①适用范围：在二元混合物体系中，各组分的特性数值具有可加性，如：质量、体积、耗氧量、摩尔质量、微粒个数。此时多可以用十字交叉法求算混合物各组分含量。
②数学推导：请看下面两个典型具体实例：
[例1]C2H4、C3H4混合气体平均分子量为30，求混合物中两种烃的体积比。
解：设两种气态烃物质的量分别为n1、n2，混合气体的质量为两种气体质量之和。
28n1 + 40n2 = 30 (n1 + n2) n2 (40 -30)= n1 (30 - 28)
将 改为十字交叉的形式
28 40—30
30
40 30—28
10 5
2 1

∴体积比 = 5:1
[例2]量浓度为60%和20%的NaCl溶液混合后浓度为30%，求如何配比？
解：设两溶液的质量分别为n1克、n2克，混合后溶液中溶质的质量等于原两溶液中溶质质量之和。
n1×60% + n2×20% = (n1 + n2)×30%
n1× (60%—30%) = n2× (30%—20%)
改为十字交叉：
20% 60%—30%
30%
60% 30%—20%
10% 1
30% 3

③使用十字交叉法应注意的事项：
要弄清用十字交叉法得到的比值是物质的量之比还是质量之比。
当特性数值带有物质的量的因素时（例如：分子量即摩尔质量，1mol可燃物的耗氧量，1mol物质转移电子数等），十字交叉法得到的比值是物质的量之比。
当特性数值是质量百分数时（例如：溶液质量百分比浓度，元素质量百分含量等），则用十字交叉法得到的比值是质量比。

④十字交叉法主要应用在以下几方面的计算中：有关同位素的计算；有关平均分子量的计算；有关平均耗氧量的计算；混合物质量百分含量的计算。

[例3]铜有两种天然同位素，65Cu和63Cu，铜元素的原子量为63.5，则65Cu的百分含量为___________。
65 0.5
63.5
63 1.5
分析：

答案:25%

3拆分法 高一化学离子反应化学式的拆分
记住以下口诀：
碱类只溶钾钠钙钡，
钾钠铵硝酸盐全部溶于水，
硫酸盐不容硫酸钡，
碳酸盐不容碳酸钡，
氯化盐不容氯化银。

拆分原则：
①“写”：写出有关反应的化学方程式。
②“拆”：可溶性的强电解质(强酸、强碱、可溶性盐)用离子符号表示，其它难溶的物质、气体、水等仍用分子式表示。微溶的强电解质应看其是否主要以自由离子形式存在，
③“删”：删去方程式两边不参加反应的离子。
④“查”：检查式子两边的各种原子的个数及电荷数是否相等（看是否配平），还要看所得式子化学计量数是不是最简整数比，若不是，要化成最简整数比。

极限法一般用在化学的可逆反应中，即反应生成最大量或者最小量，举个例子
在一密闭容器中进行反应，N2+3H2=2NH3已知反应过程中某一时刻N2 H2 NH3 的浓度分别为0.1mol\l,0.3mol\l,0.2mol\l 当反应达到平衡时，可能存在的数据是
AN2为0.21mol\l H2 0.6...
BN2 0.15MOL\L
CN2 H2 都为0.18mol\l
DNH2为0.4mol\l
答B
麻烦说明一下0<NH3浓度<0.4MOL/L
0<N2浓度<0.2mol\l
0<H2浓度<0.6mol\l
用极限法
假设0.1molN2和0.3mol3H2都反应完全生成0.2molNH3加上原有0.2molNH3所以NH3的浓度为0.4mol
同理假设逆反应即NH3生成N2和3H2完全，根据方程式知0.2molNH3生成0.1molN20.3molH2加上原有的即N2为0.2molH2为0.6mol。
因为可逆反应不能完全反应，所以以上数据为极限，实际数据必在其之间
差量法
一、差量法
差量法是依据化学反应前后的某些变化找出所谓的理论差量（固体质量差、溶液质量差、气体体积差、气体物质的量之差等），与反应或生成物的变化量成正比而建立的一种解题方法。此法将“差量”看作化学方程式右端的一项，将已知差量（实际差量）与化学方程式中的对应差量（理论差量）列成比例，其他解题步骤与按化学方程式列比例或解题完全一样。
例1、向50gFeCl3溶液中放入一小块Na，待反应完全后，过滤，得到仍有棕黄色的溶液45.9g，则投入的Na的质量为
A、4.6g B、4.1g C、6.9g D、9.2g
[解析] Na投入到FeCl3溶液发生如下反应
6Na+2FeCl3+6H2O=6NaCl+2Fe(OH)3↓+3H2↑
若2mol FeCl3与6molH2O反应，则生成6molNaCl，溶液质量减少82g，此时参加反应的Na为6mol；
现溶液质量减少4.1g，则参加反应Na应为0.3moL，质量应为6.9g。答案为（C）
例2、同温同压下，某瓶充满O2共重116g，充满CO2时共重122g，充满某气体共重114g，则该气体相对分子质量为（ ）
A、28 B、60 C、32 D、14
[解析] 由“同温同压同体积下，不同气体的质量比等于它们的摩尔质量比”可知此题中，气体质量之差与式量之差成正比。因此可不计算本瓶的质量，直接由比例式求解：
（122-116）/（44-32）=（122-114）/（44-M（气体））

解之得，M（气体）=28。 故答案为（A）

、守恒法
所谓“守恒”就是以化学反应过程中存在的某些守恒关系如质量守恒、元素守恒、得
失电子守恒，电荷守恒等。运用守恒法解题可避免在纷纭复杂得解题背景中寻找关系式，提高解题的准确度。
例3、有一在空气中放置了一段时间的KOH固体，经分析测知其含水2.8%、含K2CO337.3% 取1克该样品投入25毫升2摩／升的盐酸中后，多余的盐酸用1.0摩／升KOH溶液30.8毫升恰好完全中和，蒸发中和后的溶液可得到固体
(A）1克 （B）3.725克 （C）0.797克 （D）2.836克
[解析] 本题化学反应复杂，数字处理烦琐，但若根据Cl-守恒，便可以看出：蒸发溶液所得KCl固体中的Cl-，全部来自盐酸中的Cl-，即：生成的n（KCl）=n（HCl）。
m（KCl）=0.025L×2mol/L×74.5g/mol=3.725g 答案为（B）
例4、将KCl和KBr混合物13.4克溶于水配成500mL溶液，通入过量的Cl2，反应后将溶液蒸干，得固体11.175g则原溶液中K+，Cl-，Br-的物质的量之比为 （ ）
A、3:2:1 B、1:2:3 C、1:3:2 D、2:3:1
[解析] 此题的解法有多种，但作为选择题，可以从答案中求解。原溶液中含有K+，Cl-，Br-，由电荷守恒可知：n（K+）=n（Cl-）+n（Br-），选项中符合这一关系式的只有答案（A）
例5、将纯铁丝5.21克溶于过量稀盐酸中，在加热条件下，用2.53克KNO3去氧化溶液中Fe2+，待反应后剩余的Fe2+离子尚需12毫升0.3摩/升KMnO4溶液才能完全氧化，则KNO3被还原后的产物为 （ ）
A、N2 B、NO C、NO2、 D、NH4NO3
[解析] 根据氧化还原反应中得失电子的总数相等，Fe2+变为Fe3+失去电子的总数等于NO3+和MnO4-得电子的总数
设n为KNO3的还原产物中N的化合价，则
5.21g/56g/moL×（3-2）=0.012L×0.3mol/L×（7-2）+2.53g/101g/mol×（5-n）
解得 n=3 故KNO3的还原产物为NO。 答案为（B）
极值法是一种重要的数学思想和分析方法。化学上所谓“极值法”就是对数据不足而感到无从下手的计算或混合物组成判断的题目，采用极端假设（即为某一成分或者为恰好完全反应）的方法以确定混合体系中各物质的名称、质量分数、体积分数，这样使一些抽象的复杂问题具体化、简单化，可达到事半功倍之效果。下面结合一些具体的试题，浅谈一下极值法在化学计算中的巧妙应用与技巧。

1、用极值法确定混合物的含量问题

例1 某混合物含有KCl、NaCl和Na2CO3，经分析含钠31.5％，含氯27.08％（以上均为质量分数），则混合物中Na2CO3的质量分数为（ ）

A.25％ B.50％ C.80％ D.无法确定

解析：若混合物质量为100g，则可求出n (Cl－)= 0.763mol ，①假设这0.763mol的Cl－全部来自于KCl（即混合物为KCl和Na2CO3）则m(KCl)=56.84g，②假设这0.763mol的Cl－全部来自于NaCl（即混合物为NaCl和Na2CO3）则m(NaCl)=44.63g，因Cl－来自于NaCl、KCl两种物质，由平均值原理知（1－56.84％）＜m(Na2CO3) ％＜（1－44.63％）。

答案：B

2、用极值法确定物质的成份

例2 某碱金属单质与其普通氧化物的混合物共1.40g，与足量水完全反应后生成1.79g碱，此碱金属可能是（ ）

A.Na B.K C.Rb D.Li

解析: 本题若用常规思路列方程计算，则很难解答此问题。但若将1.40g混合物假设成纯品（碱金属或氧化物），即可很快算出碱金属相对原子质量的取值范围，以确定是哪一种碱金属

①假定1.40g物质全是金属单质（设为R） ②假定1.40g全是氧化物设为R2O

则：R→ROH △m 则：R2O → 2ROH △m

MR 17 2MR+16 18

1.40 （1.79-1.40） 1.40 （1.79-1.40）

解得：MR=61 解得：MR=24.3

实际上1.40g物质是R和R2O的混合物，故R的相对原子质量应介于24.3—61之间。题中已指明R是碱金属，相对原子质量介于24.3—61之间的碱金属只有钾，其相对原子质量为39。

答案：B

3、用极值法确定溶液的浓度

例3 碱金属（如锂、钠、钾、铷等）溶于汞中可形成良好的还原剂“汞齐”。取7g某种碱金属的汞齐与水作用得到0.2g氢气，并得到1L 密度为p g•cm-3的溶液，则溶液中溶质的质量分数可以是（ ）

A.0.8g％/p B.0.48g％/p C.0.32g％/p D.0.7g％/p

解析：假设碱金属汞齐全部为碱金属（用M表示）时，则得：

2M＋2H2O=2MOH＋H2↑

2x 2

7g 0.2g

解得x=35，故碱金属汞齐中的碱金属可以为锂或钠，然后再根据具体的反应2Li＋2H2O=2LiOH＋H2↑、 2Na＋2H2O=2NaOH＋H2↑计算可得0.8g％/p 、0.48g％/p

答案：AB

4、用极值法确定混合气体的平均相对分子质量

例4 0.03mol Cu完全溶于硝酸，产生氮的氧化物（NO、NO2、N2O4）混合气体共0.05mol 。该混合气体的平均相对分子质量是（ ）

A.30 B.46 C.50 D.66

解析：设NO、NO2、N2O4三者的物质的量分别为：x、y、z，根据题意得：x + y + z = 0.05①式，再由电子守恒可得：3x+y+2z=0.06 ②式。②式减去①式得：2x + z = 0.01 ③式。现讨论③、①式：

（1）假设x=0时，则z=0.01 mol，即N2O4物质的量的为极值0.01 mol、NO2为0.04 mol，可得此时气体的平均相对分子质量为：(92×0.01+46×0.04)/0.05 =55.2。

（2）假设z=0时，则x=0.005 mol，即NO物质的量的极值为0.005 mol、NO2为0.045 mol可得此时气体的平均相对分子质量为：(30×0.005+46×0.045)/0.05 =44.4。

故原混合气体的平均相对分子质量介于44.4和55.2之间，故选B、C

答案：BC

5、用极值法确定反应物或生成物的取值范围

例5 将Mg粉放入盛有CO2和O2混合气体的密闭容器中充分燃烧 。（1）若Mg粉的质量为6.0g，反应后容器内O2剩余，则在反应后容器内的固体物质中一定含有 ，该固体的质量为 。（2）若Mg粉的质量为ag，混合气体的体积为bL ，反应后容器内O2有剩余，则在bL混合气体中V(O2) 的取值范围是 。（3）若Mg粉的质量仍为ag，混合气体的体积仍为bL ，反应后容器内无气体剩余，则反应后容器内固体物质质量的最大值是 。（气体体积均已折算成标况下的数据）

解析：本题涉及的化学反应有：2Mg＋O2 2MgO 2Mg＋CO2 2MgO＋C ，又知CO2的氧化性比O2弱。（1）当反应后容器内有O2剩余时，则可推知镁完全反应；CO2没有反应，即反应后容器内的固体物质中一定含有MgO，根据2Mg＋O2 2MgO计算可得m(MgO) =10g。（2）若求混合气体中V(O2) 的取值范围，就影响到极值法。假设氧气完全反应，根据2Mg＋O2 2MgO可求得V(O2)=(7a/15)L，因而根据题意可知V(O2) 的取值范围：(7a/15)L<V(O2)<bL。（3）求反应后容器内固体物质质量的最大值时，可采用极端假设混合气体全部为CO2或O2，当全部为O2时，则容器内固体物质的质量为m=(a+32×b/22.4)g=(a+10b/7)g；当全部为CO2时，则容器内固体物质的质量为m=(a+44×b/22.4)g =(a+55b/28)g，然后经比较可得反应后容器内固体物质质量的最大值是(a+55b/28)g。

答案：（1）MgO 10g （2）(7a/15)L<V(O2)<bL （3）(a+55b/28)g

6、用极值法确定反应中的过量问题

例6 18.4g NaOH 和NaHCO3固体混合物，在密闭容器中加热到250℃，经过充分反应后排除气体，冷却，称得剩余固体质量为16.6g，试计算原混合物中NaOH的质量分数。

解析：这是在密闭容器中进行反应，可能的反应有：NaOH+ NaHCO3 = Na2CO3+H2O ---① 2NaHCO3 Na2CO3+ CO2↑+ H2O---②。究竟第②种情况是否发生，必须判断出NaOH与NaHCO3在反应①中何者过量，然后才能进行计算。若借助极值法，则很容易解答此问题。

假设NaOH与NaHCO3恰好完全反应，

NaOH+ NaHCO3 = Na2CO3+H2O △m

40 84 106 18

x y (18.4-16.6)g=1.8g

解得：x=4g y=8.4g

因x+y=(4+8.4)g=12.4g<18.4g，故18.4g NaOH 和NaHCO3固体混合物不能恰好反应，所以存在过量问题，再由于NaHCO3受热能分解、NaOH则不能，因而知过量物质为NaOH。即原混合物中NaHCO3的质量为8.4g 、NaOH的质量为10g。故原混合物中NaOH的质量分数为：w(NaOH)％ = (10 g/18.4g)×100％= 54.3％

答案：54.3％

7、用极值法确定反应的化学方程式

例7 已知Cl2和NO2在一定条件下可以化合成一种气态化合物A。为了测定A的组成，进行如下实验：（1）当Cl2和NO2混合气体以不同比例混合时，测得其平均相对分子质量为51及61，则Cl2在上述混合气体中的体积分数分别为 和 ；

（2）取上述不同比例的混合气体各5 L ，分别在一定条件下充分反应，气体体积仍均为4L，则Cl2与NO2反应的化学方程式为： 。

解析：（1）依据混合气体平均相对分子质量的定义M=〔n(Cl2)×M(Cl2)+n(NO2)×M(NO2)〕/〔n(Cl2)+n(NO2)〕可求得Cl2在上述混合气体中的体积分数分别为1/5和 3/5。由于总体积为5 L，故气体的组成：第一种，V(Cl2)=1 L、V(NO2)= 4L ；第二种，V(Cl2)=3L、V(NO2)= 2L。

（2）由题意知此反应的方程式只有一个，因在不同条件下混合气体的体积变化值相同，故说明不同比例的混合气体参加反应的量相同，进而推知在两种条件下肯定都存在一种反应物完全反应、另一种反应物过量情况，所以第一种情况是1 L Cl2完全反应；第二种情况是2L NO2完全反应，故可知1 L Cl2和2L NO2是恰好完全反应，故化学方程式为：Cl2＋2NO2 = 2 NO2Cl（体积之比等于化学式前面的系数之比）

答案：（1）1/5和 3/5 （2）Cl2＋2NO2 = 2 NO2Cl

巩固练习：

1.两种金属的混合物共12g，加到足量的稀硫酸中可产生1g氢气，该混合物可能是（ ）

A.A1和Fe B.Zn和Fe C.Mg和Zn D.Mg和Fe

2.CO2 和NO共30mL，将混合气体通过足量的固体并充分反应后，气体体积缩小到20mL，原混合气体中NO的体积是（ ）

A.10mL B.15mL C.20mL D.25mL

3.在标准状况下，将混合后充入容器，倒置于水中，完全溶解无气体剩余。若产物不扩散，则所的溶液物质的量浓度（mol/L）的数值范围是（ ）

A.0<C<1/22.4 B.1/39.2<C<1/22.4 C.1/39.2<C<1/28 D.1/28<C<1/22.4

4.在一定条件下，对于可逆反应A(g)+B(g) 2C(g)中的A、B、C的起始浓度分别为amol/L、bmol/L、cmol/L（均大于0），达到平衡后，测得A、B、C的浓度分别为0.5mol/L、0.1mol/L、1.6mol/L。求：

（1）a、b应满足的关系是______________; （2） a的取值范围是_____________。

5.将适量CO2的通入含0.8gNaOH的碱溶液中，将产物在减压、低温下蒸干后得到1.37g固体物质。问（1）产物是什么物质？（2）通入CO2的质量为多少?

参考答案：1.A 2.C 3.C 4.(1)a-b=0.4 (2)0.4<a<1.3 5.(1)Na2CO3和NaHCO3 (2)0.66g

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3. 因式分解的方法太多了，我拿到一道题后怎么选择解题方法

观察公式里数字间的关系，如果不能直接提取公因式的话就看能不能拆分或者十字相乘，再不行就试着加上一个数字再减去，套入式中。

4. 公务员考试资料分析题，拆1法

一、什么叫运算拆分法?
在资料分析中，将计算式中的数据拆分成两个或两个以上便于计算的和或差的形式，再分别进行相应的计算，就叫做运算拆分法。
二、运算拆分法的应用环境是什么?
运算拆分法多适用于简单的乘法运算，尤其是A×x%型列式计算。
三、运算拆分法的注意事项
可以根据选项以及具体的题目要求来确定拆分到什么程度，不需要完全拆分，但是要注意结果的缩放。
四、例题展示
例1：635×12.6%=()
A.79.54 B.79.93 C.80.01 D.80.12
例2：8434×56.7%=()
A 3416 B3736 C4342 D4782
例3:14377.29×26.1%=()
A 3329 B 3458 C 3752 D 3998
解析：此三道例题均适用于运算拆分法。接下来我们来说一下这三道例题的解题要点。第一题，按照我们估算的思维来说的话，我们可以直接将12.6%看成12.5%等于八分之一。但是我们发现四个选项差距都很小，需要我们精细的计算才能选择正确选项。所以我们可以将本题改为635×(12.5%+0.1%)=635×12.5%+635×0.1%=79.375+0.635=80.01
我们再来看第二题，第二题我们发现56.7%不是一个可以转化成容易计算的百分数，所以我们可以将此题中的56.7%看成55%，然后题目可得8434×(50%+5%)=4217+421.7=46xx，也就是四千六百多，我们所算的结果比题目偏小，所以我们选择第四个选项。
再来看最后一题，跟上题一样。我们可以将式子转化为14377.29×(25%+1%)=3594+143.77=3738略小于我们的真实值。所以我们选择C选项。

5. 如何对数学习题进行一题多变

变式其实就是创新。当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。 一、在形成数学概念的过程中，利用变式启发学生积极参与观察、分析、归纳，培养学生正确概括的思维能力。 从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。 通过对式子的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此教师在以后的练习中也明确类似知识点的考查方向，防止教师盲目出题，学生盲目练习，在有限的时间内使得效益最大化。 二、在理解定理和公式的过程中，利用变式使学生深刻认知定理和公式中概念间的多种联系，从而培养学生多向变通的思维能力。 数学思维的发展，还赖于掌握、应用定理和公式，去进行推理、论证和演算。由于定理和公式的实质，也是人们对于概念之间存在的本质联系的概括，所以掌握定理和公式的关键在于明确理解定理和公式中概念的联系，对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活应用定理和公式的根源，它是缺乏多向变通思维能力的结果。因此在定理和公式的教学中，也可利用变式，展现相关定理和公式之间的联系以及定理、公式成立依附的条件，培养学生辨析与定理和公式有关的判断，运用。 通过变式训练，是要防止形式地、机械地背诵、套用公式和定理提高学生变通思考问题和灵活应用概念、公式以及定理的能力。 三、在解题教学中，利用变式来改变题目的条件或结论，揭示条件、目标间的联系，解题思路中的方法之间的联系与规律，从而培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力。 （一）多题一解，适当变式，.培养学生求同存异的思维能力。 许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。 （二）一题多解，触类旁通，培养学生发散思维能力，培养学生思维的灵活性。 一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。 （三）一题多变，总结规律，培养学生思维的探索性和深刻性。 通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。 伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能。 譬如书本上有这样一道题，求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。教师可以不失时机地进行变式，调动起学生的思维兴趣。变式（1）顺次连接矩形各边中点所得四边形是什么图形？变式（2）顺次连接菱形各边中点所得四边形是什么图形？变式（3）顺次连接正方形各边中点所得四边形是什么图形？做完这四个练习，教师还可以进一步引导学生概括影响组成图形形状的本质的东西是原来四边形的对角线所具有的特征。 又如应用题教学是初中教学中的一个难点，在教学中就可以把同类型的题目通过变式的方式展现给学生，把学生的思维逐步引向深刻。 例如在讲解一元一次方程的实践和探究这节课时，教师从奥运冠军孟关良训练为题材编了一题关于追及问题的应用题，一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？然后教师可对本例作以下变式。 变式1：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？（从先行20米改为先行了20秒） 变式2：我们学校有一块300米的跑道在比赛跑步时经常会涉及到相遇问题和追及问题 现有甲、乙两人比赛跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他们两人同地出发 （1）两人同时相向而行经过几秒两人相遇。 （2）两人同时同向而行经过几秒两第一次相遇。 （3）乙先出发5秒，然后甲开始出发，问甲经过几秒两人第一次相遇。 这题该为平时学生熟悉的操场环形跑道，这里三题也是一组变式题，（1）、（2）是同时同地出发的相遇和追及问题，（3）是不同时出发相遇和追及问题，这题还蕴涵着分类讨论的思想。 变式3：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教练要求他用45秒追上快艇，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，他以每秒6米的速度划行，划了5秒后他发现用这样的速度不能在规定的时间内追上，请问他的想法用45秒不能追上快艇对不对？如果他要追上请你算一算孟关良后来要用多少速度才能在规定的时间内追上快艇？ 这样的变式覆盖了同时出发相遇问题、不同时出发相遇问题、同时出发和不同时出发的追及问题等行程问题的基本类型。这样通过一个题的练习既解决了一类问题，又归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而不能自拔。 （三）一题多问，通过变式引申发展，扩充、发展原有功能，培养学生的创新意识和探究、概括能力。 牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。 教学中要特别重视对课本例题和习题的“改装”或引申。数学的思想方法都隐藏在课本例题或习题中，我们在教学中要善于对这类习题进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于知识的建构。 总之，在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要的作用。特别是，变式训练能培养培养学生敢于思考，敢于联想，敢于怀疑的品质，培养学生自主探究能力与创新精神。当然，课堂教学中的变式题最好以教材为源，以学生为本，体现出“源于课本，高于课本”，并能在日常教学中渗透到学生的学习中去。让学生也学会“变题”，使学生自己去探索、分析、综合，以提高学生的数学素质。

6. 小学数学应用题的解题步骤和方法

小学数学10道经典应用题解题思路及答题

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提取码：ae3g

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7. 求分解因式例题解答的每一个步骤，过程！

例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1

解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)

=(m3+1)(m12+m6++1)

=(m3+1)[(m6+1)2-m6]

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)

例2分解因式：x4+5x3+15x-9

解析可根据系数特征进行分组

解原式=（x4-9）+5x3+15x

=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)

=(x2+3)(x2+5x-3)

8. 求解一元二次方程有4种解法例题 每种方法5个例题（解一元二次方程：简单的，详细过程）

一元二次方程的解法有如下几种:
第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).（3）提取公因式
例1:X^2-4X+3=0
本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。
例2：X^2-8X+16=0
本题运用因式分解法中的完全平方公式，原方程分解为（X-4）^2=0 可以得出X1=4 X2=4（注意：碰到此类问题，一定要写X1=X2=某个数，不能只写X=某个数，因为一元二次方程一定有两个根，两个根可以相同，也可以不同）
例3：X^2-9=0
本题运用因式分解法中的平方差公式，原方程分解为（X-3）（X+3）=0 ，可以得出X1=3，X2=-3。
例4：X^2-5X=0
本题运用因式分解法中的提取公因式法来解，原方程分解为X（X-5）=0 ，可以得出X1=0 ，X2=5
第二种方法是配方法，比较复杂，下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程：
X^2+2X-3=0
第一步：先在X^2+2X后加一项常数项，使之能成为一项完全平方式，那么根据题目，我们可以得知应该加一个1这样就变成了（X+1)^2。
第二步：原式是X^2+2X-3，而(X+1)^2=X^2+2X+1，两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4，才会等于原式，所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。
还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。
最后如果用了上面所有的方法都无法解方程，那就只能像楼上所说的用求根公式了。
定理就是韦达定理，还有根的判别式，韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a
举例：X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4，两根之积就是3/1=3,（你可以自己解一下，看看是否正确）。
因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 •2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
例5．用适当的方法解下列方程。(选学）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差
公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。
（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2） x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方
法）
[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q

9. 高考数学题，如果解题的方法和标答不一样，如何给分

超纲的知识使用是可以的，前提是这道题你必须作对并且是计算题，至少答案的
数字
是必须正确的，如果是压轴的、大的证明题应该不会给分，这一点要十分注意。
如果解题的方法和标答不一样在正常情况下老师会考虑的，因为你只要不是使用超纲的知识，那么会有大量的人使用和你一样的方法，只一点你可以放心。那我高考来说吧，我是济南人，高考时有一道
导数
大题
我完全用均值不等式解的，我算的分比高考得分低一分，说明这道题一分没扣，我是去年高考的。这种
例子
同学们数不胜数。但这都在所学范围之内，而超纲知识几乎都不给分，你千万要小心使用，毕竟上了好大学再说，那是你还有很多机会用
新知识
嘛。

10. 分解因式中的分组分解法.详解!

分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.
当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。

例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1

解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)

=(m3+1)(m12+m6++1)

=(m3+1)[(m6+1)2-m6]

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)

例2分解因式：x4+5x3+15x-9

解析可根据系数特征进行分组

解原式=（x4-9）+5x3+15x

=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)

=(x2+3)(x2+5x-3)

附：仅供参考

第4课 因式分解
〖知识点〗
因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。
〖大纲要求〗
理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。
〖考查重点与常见题型〗
考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
因式分解知识点
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：
(1)提公因式法
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
(2)运用公式法，即用
写出结果．
(3)十字相乘法
对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则 对于一般的二次三项式 寻找满足
a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则
(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.
(5)求根公式法：如果 有两个根X1，X2，那么

考查题型：
1．下列因式分解中，正确的是（ ）���������
(A) 1- 14 x2= 14 (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2
(C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1)
(D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)
2．下列各等式(1) a2－ b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2
(3 ) 1 x2 –y2 －1 ( x + y) (x – y ) ,(4 )x2 + 1 x2 －2－（ x －1x )2
从左到是因式分解的个数为（ ）
(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个
3．若x2＋mx＋25 是一个完全平方式，则m的值是（ ）
(A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10
4．若x2＋mx＋n能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ;
5．若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则m= ;
6．若x2+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是 ;
7．把下列因式因式分解：
(1)a3－a2－2a (2)4m2－9n2－4m+1

(3)3a2+bc－3ac-ab (4)9－x2+2xy－y2

8．在实数范围内因式分解：
(1)2x2－3x－1 (2)－2x2+5xy+2y2

考点训练：
1. 分解下列因式：
(1).10a(x－y)2－5b(y－x) (2).an+1－4an＋4an-1

(3).x3(2x－y)－2x＋y (4).x(6x－1)－1

(5).2ax－10ay＋5by＋6x (6).1－a2－ab－14 b2

*(7).a4＋4 (8).(x2＋x)(x2＋x－3)＋2

(9).x5y－9xy5 (10).－4x2＋3xy＋2y2

(11).4a－a5 (12).2x2－4x＋1

(13).4y2＋4y－5 (14)3X2－7X+2

解题指导：
1．下列运算:(1) (a－3)2＝a2－6a＋9 (2) x－4＝(x ＋2)( x －2)
(3) ax2＋a2xy＋a＝a(x2＋ax) (4) 116 x2－14 x＋14 ＝x2－4x＋4＝(x－2)2其中是因式分解，且运算正确的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．不论a为何值，代数式－a2＋4a－5值（ ）
（A）大于或等于0 （B）0 （C）大于0 （D）小于0
3．若x2＋2（m－3）x＋16 是一个完全平方式，则m的值是（ ）
（A）－5 （B）7 （C）－1 （D）7或－1
4．(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0,则x2＋y2的值是 ；
5．分解下列因式：
(1).8xy(x－y)－2(y－x)3 ＊(2).x6－y6

(3).x3＋2xy－x－xy2 ＊(4).(x＋y)(x＋y－1)－12

(5).4ab－（1－a2）（1－b2） (6).－3m2－2m＋4

＊4。已知a＋b＝1,求a3＋3ab＋b3的值

5．a、b、c为⊿ABC三边，利用因式分解说明b2－a2＋2ac－c2的符号

6．0＜a≤5，a为整数，若2x2＋3x＋a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a

独立训练：
1．多项式x2－y2, x2－2xy＋y2, x3－y3的公因式是 。
2．填上适当的数或式，使左边可分解为右边的结果：
(1)9x2－( )2＝(3x＋ )( －15 y), (2).5x2＋6xy－8y2＝(x )( －4y).
3．矩形的面积为6x2＋13x＋5 (x>0),其中一边长为2x＋1,则另为 。
4．把a2－a－6分解因式，正确的是( )
(A)a(a－1)－6 (B)(a－2)(a＋3) (C)(a＋2)(a－3) (D)(a－1)(a＋6)
5．多项式a2＋4ab＋2b2,a2－4ab＋16b2,a2＋a＋14 ,9a2－12ab＋4b2中，能用完全平方公式分解因式的有( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
6．设(x＋y)(x＋2＋y)－15＝0,则x＋y的值是（ ）
(A)-5或3 (B) -3或5 (C)3 (D)5
7．关于的二次三项式x2－4x＋c能分解成两个整系数的一次的积式，那么c可取下面四个值中的（ ）
(A) －8 (B) －7 (C) －6 (D) －5
8．若x2－mx＋n＝(x－4)(x＋3) 则m,n的值为（ ）
(A) m＝－1, n＝－12 (B)m＝－1,n＝12 (C) m＝1,n＝－12 (D) m＝1,n＝12.
9．代数式y2＋my＋254 是一个完全平方式，则m的值是 。
10．已知2x2－3xy＋y2＝0（x,y均不为零），则 xy ＋ yx 的值为 。
11．分解因式:
(1).x2(y－z)＋81(z－y) (2).9m2－6m＋2n－n2

＊(3).ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2) (4).a4－3a2－4

＊(5).x4＋4y4 ＊(6).a2＋2ab＋b2－2a－2b＋1

12．实数范围内因式分解
（1）x2－2x－4 （2）4x2＋8x－1 （3）2x2＋4xy＋y2

初二数学因式分解测试题
刘锦珍
一、 选择题：
1. 多项式15x3y4m2－35x4y2m2+20x3ym的各项公因式是（ ）
A 5x3y B 5x3ym C 5x3m D5x3m2y
2. 下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A (a+b)2=a2+2ab+b2 B x2-4x+5=(x-2x)2+1
C x2-5x-6=(x+6)(x-1) D x2-10x+25=(x-5)2
3. 若多项式x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A 6 B 3 C －6 D －6或6
4. 把多项式a2+a-b2-b用分组分解法分解因式不同的分组方法有（ ）
A 1种 B 2种 C 3种 D 4种
5. 多项式a2+b2, x2-y2, -x2-y2, -a2+b2中，能分解因式的有（ ）
A 4个 B 3个 C 2个 D 1个
6. 如果多项式x2－mx－15能分解因式，则m的值为（ ）
A 2或－2 B 14或－14 C 2或－14 D ±2或±14
7. 下列各多项式中不含有因式 (x-1) 的是（ ）
A x3-x2-x+1 B x2+y-xy-x C x2-2x-y2+1 D (x2+3x)2-(2x+2)2
8. 若 则x为（ ）
A 1 B －1 C D －2
9. 若多项式4ab－4a2－b2－m有一个因式为（1-2a+b）则m的值为（ ）
A 0 B 1 C －1 D 4
10. 如果 (a2＋b2－3) (a2+b2) －10 = 0那么a2+b2的值为（ ）
A －2 B 5 C 2 D －2或5
二、分解下列各式：
1、- m2 – n2 + 2mn + 1 2、(a + b)3d – 4(a + b)2cd+4(a + b)c2d

3. (x + a)2 – (x – a)2 4.

5. –x5y – xy +2x3y 6. x6 – x4 – x2 + 1

7. (x +3) (x +2) +x2 – 9 8. (x –y)3 +9(x – y) –6(x – y)2

9. (a2 + b2 –1 )2 – 4a2b2 10. (ax + by)2 + (bx – ay)2

三、 简便方法计算：
1. 2.

四、 化简求值：
1. 2ax2 – 8axy + 8ay2 – 2a 2. 已知：a2 – b2 – 5=0 c2 – d2 – 2 =0
其中x –2 y =1 a=3 求：(ac + bd)2 – (ad + bc)2的值

五、 观察下列分解因式的过程： 分解因式的方法，叫做 配方法。
x2 + 2ax – 3a2 请你用配方法分解因式：
=x2+2ax+a2 – a2 – 3a2 （先加上a2,再减去a2） m2 – 4mn +3n2
=(x+a)2 – 4a2 （运用完全平方公式）
=(x+a+2a) (x+a – 2a) （运用平方差公式）
=(x+3a) (x – a)
像上面这样通过加减项配出完全平方式把二次三项式
http://www.shitibaodian.com/chu/UploadFiles_8875/200607/20060727002.doc
http://www.kaoshi.ws/html/2005/0311/132010.html
2. 填空
（1）（2m+n）（2m-n）=4m2-n2此运算属于 。
（2）x2-2x+1=（x-1）2此运算属于 。
（3）配完全平方式 49x2+y2+ =（ -y）2
自主学习：
1. 993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。
小时是这样做的？
993-99
=99×992-99×1
=99（992-1）
=99×9800
=98×99×100
所以，993-99能被100整除。
（1） 小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？
（2） 993-99还能被哪些正整数整除。
答案：（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除。
（2）还能被98，99，49，11等正整数整除。
2. 计算下列各式：
（1）（m+4）（m-4）= ;
（2）（y-3）2= ；
（3）3x（x-1）= ；
（4）m（a+b+c）= .
根据上面的算式填空：
（1）3x2-3x=（ ）（ ）
（2）m2-16=（ ）（ ）
（3）ma+mb+mc=（ ）（ ）
（4）y2-6y+9=（ ）（ ）
请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？
答案：第一组：
（1）m2-16；（2）y2-6y+9；（3）3x2-3x；（4）ma+mb+mc；
第二组：
（1）3x（x-1）；（2）（m+4）（m-4）；（3）m（a+b+c）；（4）（y-3）2。
第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。
3. 下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（x+3）（x-3）=x2-9 B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1
C．a2b+ab2=ab（a+b） D．
答案：C
4. 证明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被99整除。
证明：设原数百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，则原数可表示为100x+10y+z，交换位置后数字为100 z +10y+ x。
则：（100 z +10y+ x）-（100x+10y+z）
=100 z-100x+x-z
=100（z-x）-（z-x）
=99（z-x）
则原结论成立。
5.（陕西省，中考题）如图3-1①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长了b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示），通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-b2=（a+b）（a-b）
答案：D。
§2.2提公因式法
教学目的和要求: 经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况);进一步了解分解因式的意义,加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法.
教学重点和难点：
重点：是让学生理解提公因式的意义与原理。
难点：能确定多项式各项的公因式
关键:是让学生理解提公因式的意义与原理。
快速反应：
1. 2m2x+4mx2的公因式___________。
2. a2b+ab2+a3b3的公因式_____________。
3. 5m（a-b）+10n（b-a）的公因式____________。
4. -5xy-15xyz-20x2y=-5xy（____________）.
自主学习：
1. 张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。他来到文具商店，经过选择决定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10本，4元一瓶的墨水10瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9折出售，问共需多少钱。
关于这一问题两位同学给出了各自的做法。
方法一：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36=225（元）
方法二：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%（16+5+4）=225（元）
请问：两位同学计算的方法哪一位更好？为什么？
答案：第二位同学（第二种方法）更好，因为第二种方法将因数10×90%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量。
2. （1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb呢？
（2）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。
答案：（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式b，多项式3x2+x各项都含有相同的公因式x，多项mb2+nb各项都含有相同的公因式b。
3. 将下列各式分解因式：
3x+6； 7x2-21x； 8a3b2-12ab3c+abc； a（x-3）+2b（x-3）； 5（x-y）3+10（y-x）2。
答案：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2） （2）7x2-21x=7x•x-7x•3=7x（x-3）
（3）8a3b2-12ab3c+abc=ab•8a2b-ab•12b2c+ab•c=ab（8a2b-12b2c+c）
（4）a（x-3）+2b（x-3）=（x-3）（a+2b）
（5）5（x-y）3+10（y-x）2=5（x-y）3+10[-（x-y）]2=5（x-y）3+10（x-y）2=5（x-y）2（x-y+2）
4. 把下列各式分解因式：
（1）3x2-6xy+x （2）-4m3+16m2-26m
答案：（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1） （2）-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13）
5. 把 分解因式
答案： =
6. 把下列各式分解因式：
（1） 4q（1-p）3+2（p-1）2
（2） 3m（x-y）-n（y-x）
（3） m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）
答案：（1）4q（1-p）3+2（p-1）2=2（1-p）2（2q-2pq+1）
（2）3m（x-y）-n（y-x）=（x-y）（3m+n）
（3）m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）=2am（x+y）
7. 计算
（1） 已知a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值；
（2） 1998+19982-19992
答案：（1）a2b+ab2=ab（a+b）,当a+b=13时，原式=40×13=520
（2）1998+19982-19992=-1999
8. 比较2002×20032003与2003×20022002的大小。
解答：设2002=x
∵2002×20032003-2003×20022002=x•10001（x+1）-（x+1）•10001 x=0
∴2002×20032003=2003×20022002
§2.3运用公式法
教学目的和要求: 经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；运用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）
教学重点和难点：
重点：发展学生的逆向思维和推理能力
难点：能够理解、归纳因式分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.
快速反应：
1. 分解因式：①x2-y2= ; x2-4= ;②a2b2-2ab+1= ; = ;
2. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．16a2-25b3 B．-16a2-25b2 C．16a2+25b2 D．-(16a2-25b2)
3. 下列各式不能用完全平方公式分解的是( )
A．x2+y2+2xy B．-x2+y2+2xy C．-x2-y2-2xy D．-x2-y2+2xy
4. 把下列各式分解因式：
(1)9a2m2-16b2n2; (2) ; (3)9(a+b)2-12(a+b)+4 (4)
自主学习：
1. (1)观察多项式x2-25.9x-y2,它们有什么共同特证？
(2)将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。
答案：(1)多项式的各项都能写成平方的形式。如x2-25中：x2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x-y2也是如此。
(2)逆用乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,可知x2-25= x2-52=(x+5)(x-5),9x2-y2=(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
2. 把乘法方式
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2,反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2=(a-b)2
上面这个变化过程是分解因式吗？说明你的理由。
答案：a2±2ab+b2=(a±b)2是分解因式。因为(a+b)2是因式的乘积的形式，(a-b)2也是因式的乘积的形式。
3. 把下列各式分解因式：
(1)25-16x2； (2) (3)9(m+n)2-(m-n)2; (4)2x3-8x;
(5)x2+14x+49; (6)(m+m)2-6(m+n)+9(7)3ax2+6axy+3ay2; (8)-x2-4y2+4xy
答案：
(1)25-16x2=(5+4x)(5-4x) (2) =
(3)9(m+n)2-(m-n)2=4(2m+n)(m+2n)
(4)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-2x)=2x(x+2)(x-2)
(5)x2+14x+49= x2+2×7x+72=(x+7)2
(6)(m+m)2-6(m+n)+9=[(m+n)-3]2=(m+n-3)2
(7)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2
(8)-x2-4y2+4xy=-(x-2y)2
4. 把下列各式分解因式：
(1) ； (2)(a+b)2-1； (3)-(x+2)2+16(x-1)2；
(4)
答案： (1) ; (2)(a+b)2-1=(a+b+1)(a+b-1)
(3)-(x+2)2+16(x-1)2=3(x-2)(5x-2);
(4)
5. 把下列各式分解因式：
(1)m2-12m+36； (2)8a-4a2-4；
(3) ； (4) 。
答案：(1)m2-12m+36=(m-6)2； (2)8a-4a2-4=-4(a-1)2；
(3) ；
(4)
6. 求证(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个完全平方式。
证明一：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25
=(x2+5x+5)2 ∴原命题成立
证明二：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令a=x2+5x+4，则x2+5x+6=a+2
原式=a(a+2)+1=(a+1)2
即(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x2+5x+5)2
证明三：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令
原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1
=(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2
7. 已知a,b,c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0试判断△ABC的形状。
答案：∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0
∴(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2=0
∵(a-b) 2≥0，(b-c) 2≥0，(a-c) 2≥0
∴a-b=0，b-c=0，a-c=0
∴a=b，b=c，a=c
∴这个三角形是等边三角形.
8. 设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值？
答案：当x+2z=3y时，x2-9y2+4z2+4xz的值为定值0。
6. 求证(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个完全平方式。
证明一：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25
=(x2+5x+5)2 ∴原命题成立
证明二：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令a=x2+5x+4，则x2+5x+6=a+2
原式=a(a+2)+1=(a+1)2
即(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x2+5x+5)2
证明三：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令
原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1
=(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2
1. 根据因式分解的概念，判断下列各等式哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
（1）6abxy=2ab•3xy;
（2）
（3）（2x-1）•2=4x-2
（4）4x2-4x+1=4x（x-1）+1.
2. 填空
（1）（2m+n）（2m-n）=4m2-n2此运算属于 。
（2）x2-2x+1=（x-1）2此运算属于 。
（3）配完全平方式 49x2+y2+ =（ -y）2