研究圆锥的体积时用什么方法

‘壹’ 你觉得用什么方法可以研究出圆锥体积的计算方法,把你的想法写出来

实验法：

实验原理

‘贰’ 怎么推导出圆锥的体积

圆柱的体积为;SH
圆锥的体积是圆柱的三分之一(这个自己做实验就可以看出来.如:拿一个圆柱的器具和一个圆锥的器具,在圆锥的器具里倒满水,把水往圆柱的器具里倒,倒三次才倒满.对了,这个圆锥的器具的半径和高要和圆柱的器具一样)
所以圆锥的体积V＝1/3Sh

或用积分。
不然用祖暅原理加一点几何直观的办法也可以。

会问这个问题的大概肯定不会微积分，所以我说一下用祖暅原理的想法。
祖暅原理指：等高处横截面积恒相等的两个立体，其体积也必然相等。严格证明其实还是要用微积分，不过这个比较直观，拿来用吧。

圆锥的横截面是一个圆，用几何关系不难推出截面圆的半径与截面与顶点距离h、圆锥高H及底面大圆半径R的关系（请自己画个图做），设它为r，则易见r = Rh/H。
于是看出r与高h是一次关系，故可以构造一个三棱锥，使它与圆锥等高且截面积与之相等。问题转化为求三棱锥体积。
三棱锥体积可以用割补的方法来证明，为了简单，还可以用祖暅原理化为求底为直角三角形的直棱锥，在立方体上进行割补。就不详细写了。

‘叁’ 推到圆锥的体积公式运用了什么实验方法

把一个圆柱容器盛满水倒到这个圆锥容器里刚好倒了三次，说明圆柱是圆锥的三倍

‘肆’ 圆锥的体积是怎么推算出来的

圆锥的体积是这样推导出的
其实很简单.任何物体的体积都离不开底面积×高的求法
圆柱的体积公式是V=Sh 那么与它等底等高的圆锥的体积是多少呢?
把与它等底等高的圆锥装满水,倒进圆锥体里,你可以发现倒3次才能倒满圆柱.
所以与圆柱等底等高的圆锥是这个圆柱的三分之一
所以：圆锥的体积就是V=1/3Sh 三分之一乘底面积乘高

‘伍’ 圆锥体积推导过程（详细）

棱锥、圆锥的体积

课型：新课

教学目的与要求：掌握锥体的等积定值，锥体的体积公式。

理解“割补法”求体积的思想，培养学生发现问题，解决问题的能力。

教学重点与难点：公式的推导过程，即“割补法”求体积。

教学方法：发现式教学 教具：三棱柱模型、多媒体

1、复习祖日恒 原理及柱体的体积公式。

2、等底面积等高的任意两个锥体的体积。

（类比于柱体体积公式的得出）。首先研究等底面积等高的任意两个锥体体积之间的关系。

取任意两个锥体，设它们的底面积都是S，高都是h。

（图形没有打印）

（创造祖日恒 原理的条件）把这两个锥体放在同一个平面α上。这时它们的顶点都在和平面α的任意平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和底面顶点的距离是h，截面面积分别是S1、S2，那么：

∵S1/S=h12/h2，，S2/S=h12/h2，

∴S1/S=S2/S，S1=S2。

根据祖日恒 原理，这两个锥体的体积相等，由此得到下面的定理：

定理，等底面积等高的两个锥体的体积相等。

[本段设相利用多媒体使平行于底面的截面动态地作出，更直观地体现祖日恒 原理的实质。]

3、三棱锥的体积公式

为研究三棱锥的体积，可类比于初中三角形面积的求法。

[利用纪灯打出]

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C C D C D

② C ②

① �0�7 �0�7 ① �0�7 ① B

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A B A B A B

在初中，学习三角形的面积公式之前，已知有平行四边形的面积公式，为此，将ΔABC“补”成和它同底等高的平行四边形ABDC，然后沿其对角线BC，将平行四边形“分”成两个三角形，由对称性，得到的ΔABC的面积为平行四边形面积的一半，即为：SΔABC=1/2ah，（a其底边长，h为高）

而今，欲求三棱锥的体积，亦可类比地借助于已知的柱体体积公式。

能否将三棱锥“补”成一个底面积为S，高为h的三棱柱呢？

[可以]以AA’为侧棱，以ΔABC为底面补成一个三棱柱。

也采用“分”的方法，这个三棱柱可分成怎样的三棱锥呢？

（图形没有打印）

[引导学生观察分析]将三棱柱分割成三个三棱锥，如图就是三棱锥1，和另两个三棱锥2、3。

[设想，这个过程由计算机完成，先将三棱柱分割下三棱锥1，将剩余部分旋转一下，使BCC’B’作为底面，可看出为一四棱锥A’-BCC’B’，然后将其分成两个三棱锥]

三棱锥1、2的底ΔABA’、ΔB’A’B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。三棱锥2、3的底ΔB’CB’、ΔC’B’C的面积相等，高也相等。（顶点都是A’）。

∴V1=V2=V3=1/3V三棱柱

∵V棱柱Sh

∴V三棱锥=1/3Sh

最后，因为和一个三棱锥等底面积等高的任何锥体都和这个三棱锥的体积相等，所以得到下面的定理。

定理：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是：V锥体=1/3Sh。

推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是：

V圆锥=1/3πr2h

‘陆’ 圆锥体的体积是怎样推导的

圆锥体的体积由圆柱推导而来。

设 h为圆台的高， r和R为棱台的上下底面半径， V 为圆台的体积。由于圆台是由一个平面截去圆锥的一部分（也就是和原来圆锥相似的一个小圆锥）得到，所以计算体积的时候，可以先算出原来圆锥的体积。再减去和它相似的小圆锥的体积。

圆锥被平行于底面的平面所截时，截面圆的半径与底面半径的比，等于小圆锥和原圆锥的高的比。

(6)研究圆锥的体积时用什么方法扩展阅读：

圆锥组成：

圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高；

圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。

圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。

圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。

‘柒’ 探索圆锥的体积公式时我们是用什么的方法验证的

排水法？
在圆柱容器中装满水，并标记好刻度，放入圆锥，多余的水排出，发现比例关系？

‘捌’ 推导圆锥的体积计算方法主要采用了（ ）法。

等效替代
（用一个圆锥盛三次水，正好等于一个等低等高圆柱的容积，用圆柱的容积替代了圆锥的体积）

‘玖’ 圆锥的体积是利用什么方法得到的

有计算公式
圆锥的体积=1/3πr²*高
π是个常数，一般用3.14计算
知道半径r和高就可以算了

‘拾’ 圆锥体的体积是怎样推导的

圆锥体体积的推导方法：

方法一、初等的方法

设圆锥高H，底面半径为R，底面积S=π*R^2

用平行于底面的平面把它切成n片，则每片的厚度为H/n

可把每片近似看做底半径为k/n*r的圆柱

其体积为(π*k/n*r)^2*h/n,对k=1到n求和得

S=πR^2H*(1/6/n^3)*n*(n+1)*(2n+1)

令n=无穷大，则S=1/3πR^2H

方法二、通过圆柱来推导

任何物体的体积都离不开底面积×高的求法

圆柱的体积公式是V=Sh

把与它等底等高的圆锥装满水，倒进圆锥体里，你可以发现倒3次才能倒满圆柱。

所以与圆柱等底等高的圆锥是这个圆柱的三分之一

所以，圆锥的体积就是V=1/3Sh 三分之一乘底面积乘高

(10)研究圆锥的体积时用什么方法扩展阅读：

圆锥是一种几何图形，有两种定义。解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。

圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。

以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

注意：圆锥不是特殊的圆柱。

圆锥三视图是观测者从三个不同位置观察而画出的图形。其主视图和侧视图均为等腰三角形，俯视图是一个圆和圆心。