函数研究的基本思路与方法

⑴ 总结函数性质及其研究方法

函数的定义
（1）传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么把y叫做x的函数，x叫做自变量，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。y是x 的函数，可以记作y ＝f（x）（f表示对应法则）。
（2）近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射f : A→B就叫做A到B的函数，记作y ＝f（x），其中x �8�3 A ,y�8�3B。原象的集合A叫做函数f（x）的定义域，象的集合C叫做函数f（x）的值域，显然C�8�2 B。
注意
①由函数的近代定义可知，函数是数集间的映射。
②对应法则f是联系x、y的纽带，是函数的核心，常用一个解析式表示，但在不少问题中，对应法则f也可能不便用或不能用上个解析式来表示，而是采用其他方式（如数表或图象等）。定义域（或原象集合）是自变量的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，它和对应法则是函数的两个重要因素。定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数。
③f（a）与f（x）的涵义是不同的，f（a）表示自变量x＝a时所得的函数值，它是一个常量，而f（x）是x的函数，是表示对应关系的。
2、函数的性质
（1）函数的单调性
设y ＝f（x）是给定区间上的一个函数， 是给定区间上的任意两个值，且x1<x2，如果都有f(x1)<f(x2)，则称f（x）在这个区间上是增函数（也称f（x）在这个区间上单调递增）；如果都有f(x1)>f(x2)，则称f（x）在这个区间上是减函数（也称f（x）在这个区间上单调递减）。
如果函数y ＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，就说f（x）在这一区间上具有（严格）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间。
（2）函数的奇偶性
①如果对于函数定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。
②如果对于函数定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。
奇函数的图象关于原点成中心对称图形；偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
3、反函数
（1）逆映射：设f : A→B是集合A到集合B上的一一映射，如果对于B中的每一个元素b，使b在A的原象a和它对应；这样所得的映射叫做映射f : A→B的逆映射，记作：f ^-1: A→B。
注：映射f : A→B也是映射f ^-1: A→B的逆映射，而且f ^-1: A→B 也是一一映射（从B到A上的一一映射）。
（2）如果确定函数y ＝f（x）的映射f : A→B是f（x）的定义域A到值域B上的一一映射，那么这个映射的逆映射f ^-1: A→B所确定的函数x=f^-1(y)叫做函数y ＝f（x）的反函数。
函数y ＝f（x）的定义域、值域分别是函数x=f^-1(y)的值域、定义域。
函数y ＝f（x）的反函数，习惯上写成y=f^-1(x)。
一般地，求函数y ＝f（x）的反函数的方法是先由y ＝f（x）解出x=f^-1(y)，然后把x=f^-1(y)改写成y=f^-1(x)。
函数y ＝f（x）和其反函数y=f^-1(x)的图象关于直线y＝x对称。
三角函数的图象和性质是平面三角的主体内容，它是代数中学过的函数的重要补充．本章复习的重点是进一步熟练和运用代数中已学过的研究函数的基本理论和方法，与三角变换配合由三角函数组成的较复杂函数的性质，在诸多性质中，三角函数的周期性和对应法则的“多对一”性，又是这里的特点所在，复习中不仅要注意知识、方法的综合性，还要注意它们在数学、生产、生活中的应用．

周期函数和最小正周期是函数性质研究的新课题，不仅要了解它们的意义，明确周期函数，函数值的变化规律，还要掌握周期性的研究对周期函数性质研究的意义，并会求函数的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期．

三角函数指的是，，，等函数，了解它们的图象的特征，会正确使用“五点法”作出它们的图象，并依据图象读出它们的性质，是本章的基础．对于性质的复习，不要平均使用力量，只要强调已学函数理论、方法的运用，强调数形结合的思想，而要把重点放在周期函数表达某些性质的规范要求上．例如，对于，怎么表述它的递增（减）区间，怎么表述它取最大（小）值时的取值集合，怎么由已知的函数值的取值范围，写出角的取值范围来，等等．还可对性质作些延伸，例如，研究它们的无数条对称轴的表示，无数个对称中心的表示等等．

正弦型函数是这里研究的又一个重点，除了会用“五点法”画出它的简图外，还要从图象变换的角度认识它与的图象的关系，对于三种基本的图象变换（平移变换，伸缩变换，对称变换）进一步进行复习和适当提交．

本章复习还要注意适当提交起点，注意把简单的三角变换与有关函数的性质结合起来，注意把三角函数和代数函数组合起来的综合性研究，注意在函数图象和单位圆函数线这两工具中的综合，择优使用．注意从数学或实际问题中概括出来的与正弦曲线有关的问题的研究，并注意立体几何、复数、解析几何等内容，对平面三角要求的必要准备的复习．

本章中数学思想最重要的是数形结合，另外换元的思想，等价变换和化归的思想，以及综合法、分析法、待定系数法等等，在复习中应有所体现．
反函数总是相对原函数而言的，原函数如果单调，反函数也单调（当然并不是单调性完全相同），原函数定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域。其他还有周期性，对称性，都要针对原函数来考虑。
一次函数y=kx+b (k≠0) k>0,b>0,则图象过1,2,3象限 k>0,b<0,则图象过1,3,4象限 k<0,b>0,则图象过1,2,4象限 k<0,b<0,则图象过2,3,4象限当k>0时，y随x的增大而增大；图像经过一、三象限当k<0时，y随x的增大而减小；图像经过二、四象限

⑵ 三角函数解题思路和技巧

三角函数解题思路和技巧：

求三角函数值的问题，可依循三种途径：

1、先化简再求值，将式子化成能够利用题设已知条件的最简形式；

2、从已知条件出发，选择合适的三角公式进行变换，推出要求式的值；

3、将已知条件与求值式同时化简再求值。

一、直接法

顾名思义，就是直接进行正确的运算和公式变形，结合已知条件，得到正确的答案。三角函数中大量的题型都是根据该方法求值解答的，需要对三角函数的基本公式要牢牢掌握。

二、换元法

换元法就是用一个量替代另一个量，发现题设中（隐含）条件，进行带式替换，从而将三角函数求值转变成代数式求值。

三、比例法

对三角等式变形，找出与之有关的函数值，利用比例性质，对三角函数值进行计算。

(2)函数研究的基本思路与方法扩展阅读：

三角函数的常见技巧性公式：

1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

2、sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

3、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

4、cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

5、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

6、tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

⑶ 函数概念基本思路是怎么样的呢

为使把函数说得简明易解，函数的基本思路可描述为：
“若任指定某一特定集合（如X集合）中的一个元素，就有另一特定集合（如Y集合）中的唯一一个元素与之对应，即Y就是X的函数。” 例如某校某班的同学，每人在某地各种两棵松树（记录档案），这里，，这某地记录档案的松树就是某一特定集合（X集合），而某校某班的同学就是另一特定集合（Y集合），任指定X集合中的一棵松树，就能在Y集合中找到一位同学与之对应，因此，这某校某班的同学就是某地记录档案的松树的函数。 相反，这里的X不是Y的函数，因为在Y中指定一个同学在X中找到的不是唯一的一棵松树。这里的松树与其他班级无关，这里的同学也与其他的松树无关，这就是特定集合的概念。
在数学中，常见的函数是指数与数之间的关系，这里的X集合的元素俗称自变量，而Y集合的元素俗称因变量。函数的种类实在太多，有幂函数，三角函数，对数函数，一元函数，多元函数，隐函数等等等等。
很多函数可以用图线表示，有递增，递减，间断，连续，极大值，极小值，拐点等。
函数是数学一门大分支，实践中也很有用，无底深。希望我说的对你有所启发。

⑷ 总结用导数研究函数性态的主要方法

函数
y
的性态主要是指单调性、极值以及曲线的凹凸性拐点。
先说一阶导数：
y'≥0，函数单调增加；y'≤0，函数单调减少。（这里两个不等式要求等号仅在有限个点成立）
使得
y'=0
成立的点（即驻点），或者使得
y'
不存在的点，有可能是极值点。
注意：仅仅是有可能！
如何判断是不是极值点呢？需要看该点左右两侧的一阶导数符号是否改变。
极值存在的充分条件一：
若左负右正，表示函数先减后增，该点是极小值点；反之就是极大值点。
当然对于驻点的情形，判断是否是极值点还有另一个方法，极值存在的充分条件二：
对于y'=0的点，计算该点的二阶导数y"，当y"<0时，是极大值；当y">0时，是极小值。而当y"=0时，无法判断是否是极值，仍需回到前一种方法。
再说二阶导数：
当y"≥0时，曲线凹；当y“≤0时，曲线凸。
曲线上凹与凸的分界点就是拐点。
因此与前面讨论极值点类似，使得
y”=0
成立的点，或者使得
y“
不存在的点，有可能是拐点。
判断拐点的方法也是研究上述点左右两侧二阶导数是否变号，变了就是拐点，没变就不是。

⑸ 高中函数概念和解题思路

在某变化过程中有两个变量x,y，按照某个对应法则，对于给定的x，有唯一确定的值y与之对应，那么y就叫做x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量。函数是高考重点中的重点，也就是高考的命题当中确实含有以函数为纲的思想，怎样学好函数主要掌握以下几点。第一，要知道高考考查的六个重点函数，一，指数函数；二，对数函数；三，三角函数；四，二次函数；五，最减分次函数；六，双勾函数Y＝X＋A/X(A＞0)。要掌握函数的性质和图象，利用这些函数的性质和图象来解题。另外，要总结函数的解题方法，函数的解题方法主要有三种，第一种方法是基本函数法，就是利用基本函数的性质和图象来解题；第二种方法是构造辅助函数；第三种方法是函数建模法。要特别突出函数与方程的思想，数形结合思想。

⑹ 怎样学习函数

1，首先把握定义和题目的叙述 2，记住一次函数与坐标轴的交点坐标，必须很熟 3，掌握问题的叙述，通法通则是连立方程（当然是有交点的情况） 函数其实在初中的时候就已经讲过了，当然那时候是最简单的一次和二次，而整个高中函数最富有戏剧性的函数实际上也就是二次函数，学好函数总的策略是掌握每一种函数的性质，这样就可以运用自如，有备无患了。函数的性质一般有单调性、奇偶性、有界性及周期性。能够完美体现上述性质的函数在中学阶段只有三角函数中的正弦函数和余弦函数。以上是函数的基本性质，通过奇偶性可以衍生出对称性，这样就和二次函数联系起来了，事实上，二次函数可以和以上所有性质联系起来，任何函数都可以，因为这些性质就是在大量的基本函数中抽象出来为了更加形象地描述它们的。我相信这点你定是深有体会。剩下的幂函数、指数函数对数函数等等本身并不复杂，只要抓住起性质，例如对数函数的定义域，指数函数的值域等等，出题人可以大做文章，答题人可以纵横捭阖畅游其中。性质是函数最本质的东西，世界的本质就是简单，复杂只是起外在的表现形式，函数能够很好到体现这点。另外，高三还要学导数，学好了可以帮助理解以前的东西，学不好还会扰乱人的思路，所以，我建议你去预习，因为预习绝对不会使你落后，我最核心的学习经验就是预习，这种方法使我的数学远远领先其它同学而立于不败之地。 综上，在学习函数的过程中，你要抓住其性质，而反馈到学习方法上你就应该预习（有能力的话最好能够自学） 。函数是高考重点中的重点，也就是高考的命题当中确实含有以函数为纲的思想，怎样学好函数主要掌握以下几点。第一，要知道高考考查的六个重点函数，一，指数函数；二，对数函数；三，三角函数；四，二次函数；五，最减分次函数；六，双勾函数Y＝X＋A/X(A＞0)。要掌握函数的性质和图象，利用这些函数的性质和图象来解题。另外，要总结函数的解题方法，函数的解题方法主要有三种，第一种方法是基本函数法，就是利用基本函数的性质和图象来解题；第二种方法是构造辅助函数；第三种方法是函数建模法。要特别突出函数与方程的思想，数形结合思想 .你还说做题不知道怎样入手，其实函数有很多工具，函数的图像、单调性、奇偶性、周期性、极值，最值、导数等等，这些都是研究函数的工具，也是解题的入手点，先把这些地方的基础题（就是直接要你求单调区间，定义域，值域，周期、奇偶性，导数这一类的题）做好，在相应地做一些应用到这些知识的综合题、类型题，做完之后总结一下，就能发现命题规律与解题思路技巧。

⑺ 函数定义域、值域、单调性、奇偶性的解题思路和方法

1.
求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（
注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。2.
求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3.
求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4.
求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：
（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；
（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。5.
函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x）
与f（－x）的关系。f（x）
－f（－x）＝0f（x）
＝f（－x）
f（x）为偶函数；f（x）+f（－x）＝0f（x）
＝－f（－x）
f（x）为奇函数。判别方法：定义法，图象法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。6.
周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）＝f（x），则T为函数f（x）的周期。其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）＝f（x－a），则2a为函数f（x）的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

⑻ 初三函数的解题思路

1.配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.形如 的函数值域均可用此法，要特别注意自变量的范围.
2分离常数法：将函数解析式化成含有一个常数和含有 的表达式，利用自变量取值范围确定表达式取值范围。形如 的函数的值域，均可以使用此法，此外这种函数的值域也可以利用反函数法，利用反函数的定义域进行值域的求解。
3.判别式法:把函数转化成关于的二次方程 ，通过方程有实根模型解题法，判别式 ，从而求得原函数的值域。形如 的函数的值域常用此法解决。
注意事项：①函数定义域为R；②分子、分母没有公因式。
4.不等式法:利用基本不等式取等号确定函数的最值，常用不等式有：
① 当且仅当a = b时，“=”号成立；
② 当且仅当a = b时，“=”号成立；
③ 当且仅当a = b = c时,“=”号成立；
④ ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.
注意事项：①基本不等式求最值时一定要注意应用的条件是“一正二定三等”.
②熟悉一个重要的不等式链：
5.换元法:运用代数或者三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如 的函数等常用此法解决.
注意事项：换元法使用时一定要注意新变元的取值范围.

6.数形结合法:当一个函数 图象较容易作出时，通过图像可以求出其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助几何方法求出函数的值域。例如距离、斜率等.
7.函数的单调性法:确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性以求出函数的值域.例如形如 的函数， 的函数等.
注意事项：1 函数单调性问题必须先在讨论定义域条件下进行。
2函数的单调性的判断方法有定义法，导数判断法等方法。
二 函数最值求解例析
例1 求下列函数的值域：

解：（1）方法一（分离常数法）由 知 ，
所以函数值域为
方法二（反函数法）由 ，得 ，所以 即
所以函数值域为
（2）方法一（换元法）设 ，得 ，


方法二（函数单调性法）


注：函数 的单调性也可以用导数法进行判断（ ）.
(3)方法一（判别式法）
。
，

所以函数值域为 。
方法二（不等式法）

。

（4）方法一（基本不等式法）
由 得

即 或 ，所以函数的值域为
方法二（判别式法）
由 得 。
方程有实根，

解得 或 ，所以函数的值域为
方法三（函数单调性法）由 得
所以当 和 时， 所以函数在 和 上是减少的，
当 和 时， 所以函数在 和 上是增加的，
所以
所以函数的值域为
注：函数 图象及性质
(1)函数 图象：
(2)函数 性质：
①值域： ；
②单调递增区间： ， ；
单调递减区间： ， .
例2对 ，记 ，函数 的最小值是（ ）
A C D
解法一(图像法):
函数 的图像如图所示，由图像可得，其最小值为 。[来源:Z,xx,k.Com]
解法二(零点分区间讨论法)：
当x＜﹣1时，|x+1|=﹣x﹣1，|x﹣2|=2﹣x， 2﹣x＞﹣x﹣1；
当﹣1≤x＜ 时，|x+1|=x+1，|x﹣2|=2﹣x， x+1＜2﹣x；
当 ＜x＜2时，|x+1|=x+1，|x﹣2|=2﹣x，x+1>2﹣x；
当x≥2时，|x+1|=x+1，|x﹣2|=x﹣2， x+1＞x﹣2；
故 ,故函数最小值为 ．
例3 设函数 ，求 在区间 上的最大值 和最小值 。
解：(函数单调性法)
由于 ，所以 ，
由 得： ；由 得： ，
所以函数 在区间 上是减少的；在区间 上是增加的。又由于
所以： ，
三 训练
1 下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）
A、 B、
C、y=x2+x+1 D、
2 函数 的值域是（）
A、（﹣∞，﹣1） B、（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C、（﹣1，+∞） D、（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
3 函数 的值域是
4 函数 的值域为

⑼ 研究对数函数和指数函数的一般思路和方法

经济数学团队为你解答，请及时评价谢谢！

一般来说，比较大小，判断关系，作图就可以了，通过作图可以判断增减，以及值域定义域

⑽ 函数解决实际问题的基本方法有哪些

您好。函数实际上就是一个等量关系，而且还是带有变量的动态的等量关系。在数学生活中，找到正确的等量关系，找到自变量因变量，列出函数表达式，求定义域值域，求出最值