数值分析求积方法

A. 数值计算的构造数值积分

构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式。但它们的精度较差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式。当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。

B. 数值计算的数值积分

numerical integration
求定积分的近似值的数值方法。即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来， 因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分学作出杰出贡献的数学大师，如I.牛顿、L.欧拉、C.F.高斯等人也在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。

C. 实验3 求数值积分

数值分析实验报告——实验目的[1] 掌握复化梯形和辛普森数值积分法的基本原理和方法；[2] 编程MATLAB程序实现复化梯形和辛普森数值积分实验内容与步骤实验内容与步骤1. 编程序实现复化梯形数值积分求积公式function y=f(x)y=sqrt(x).*log(x);function T_n=F_H_T(a,b,n)h=(b-a)/n;for k=0:n x(k+1)=a+k*h; if x(k+1)==0 x(k+1)=10^(-10); endendT_1=h/2*(f(x(1))+f(x(n+1)));for i=2:n F(i)=h*f(x(i));endT_2=sum(F);T_n=T_1+T_2;运行结果：>> T_n=F_H_T(0,1,20)T_n = -0.43362.编程序实现复化辛普森数值积分求积公式function y=f(x)y=sqrt(x).*log(x);function S_n=S_P_S(a,b,n)h=(b-a)/n;for k=0:n x(k+1)=a+k*h; x_k(k+1)=x(k+1)+1/2*h; if (x(k+1)==0)|(x_k(k+1)==0) x(k+1)=10^(-10); x_k(k+1)=10^(-10);endS_1=h/6*(f(x(1))+f(x(n+1)));for i=2:n F_1(i)=h/3*f(x(i));endfor j=1:n F_2(j)=2*h/3*f(x_k(j));endS_2=sum(F_1)+sum(F_2);S_n=S_1+S_2;运行结果：>> S_n=S_P_S(0,1,20)S_n = -0.4423 实验心得 通过此次实验的操作，我掌握了复合梯形公式和复合辛普森公式，对编程又有了新的突破！参考文献地址： http://wenku..com/view/135fd1274b35eefdc8d33395.html

D. 求助数值分析的一道题，高斯型求积公式的，谢啦，有解答的部分，但是看不明白啊，为什么那么做啊。。

1. 三次正交多项式与零次、一次、二次多项式正交

2. 上面四个式子为0，即可求出三次正交多项式的系数

E. 数值分析小题目，求解答

设有n+1个求积结点，对于求积公式
∫{a,b}f(x)dx=∑{i=0,n}λi*f(xi) ①
要使①式具有m次代数精度，则要求f(x)为1,x,x^2,x^3,...,x^m时求积公式准确成立，即
∑{i=0,n}λi=∫{a,b}1dx=b-a
∑{i=0,n}λi*xi=∫{a,b}xdx=1/2*(b^2-a^2)
∑{i=0,n}λi*(xi)^2=∫{a,b}x^2dx=1/3*(b^3-a^3)
∑{i=0,n}λi*(xi)^3=∫{a,b}x^3dx=1/4*(b^4-a^4)
...
∑{i=0,n}λi*(xi)^m=∫{a,b}x^mdx=1/(m+1)*[b^(m+1)-a^(m+1)]
该非线性方程组中未知数为λi与xi，i=0,1,...n，总共有2*(n+1)个
因此，要求出所有未知数，最多有2*(n+1)个方程，此时m=2*n+1
即最高代数精度为2*n+1

由于原题为两个求积结点，故n=1，最高代数精度m=2*n+1=3
令a=-1,b=1，则方程组为
∑{i=0,1}λi =λ₀+λ₁=2 ②
∑{i=0,n}λi*xi =λ₀*x₀+λ₁*x₁=0 ③
∑{i=0,n}λi*(xi)²=λ₀*(x₀)²+λ₁*(x₁)²=2/3 ④
∑{i=0,n}λi*(xi)³=λ₀*(x₀)³+λ₁*(x₁)³=0 ⑤
不妨设a≤x₀<x₁≤b，易知x₀≠0且x₁≠0（否则方程组无解）
∵λi≠0，由③⑤得x₀=-x₁<0 ⑥
将⑥代入③得λ₀-λ₁=0 ⑦
联立②⑦得λ₀=1，λ₁=1
将λ₀与λ₁代入④得x₀=-√3/3，x₁=√3/3

F. 数值分析中常用的求积公式有哪几中

构造一个多项式近似代替某个未知函数或复杂函数。据此，可以推导用来近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式。这就是数值积分与数值微分的基本内容.推导积分和导数的数值计算公式的重要性是显而易见的
插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一。
插值型求积公式
复合求积公式
Romberg求积公式
牛顿－科特斯求积公式及其余项
机械型求积公式
梯形求积公式
龙贝格求积公式
辛普森(Simpson)求积公式
抛物线求积公式
复合Simpson求积公式
牛顿求积公式
Gauss型求积公式
有理Gauss-Lobatto求积公式
Gauss - Legendre求积公式
复化Gauss型求积公式
柯特斯求积公式及其余项公式
三角形三斜求积公式
辛普森 (Simpson) 求积公式或抛物线求积公式:
梯形求积公式对所有次数不超过1 的多项式是准确成立的；
辛普森求积公式对所有次数不超过3 的多项式是准确成立的；
牛顿求积公式对所有次数不超过3 的多项式是准确成立的；
柯特斯求积公式对所有次数不超过5 多项式是准确成立的。
此牛顿-柯特斯求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的。
由于龙格现象存在，不难得知，牛顿-柯特斯求积公式不一定具有收敛性。
稳定性和收敛性可知，数值计算中应主张使用低阶的牛顿-柯特斯求积公式。太多了，不再列举了，有时间切磋切磋

G. 数值分析试题 证明题 确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精度

计算3个积分，另f(x)分别取1，x，x^2会3个方程,为方便输入，我用ABC代替系数

1:2k=A+B+C

x:0=A-h+0B+Ch

x^2:2/3k^3=Ah^2+0B+Ch^2

解关于ABC的线性方程组，解是唯一的。是k和h的函数。我用软件解了（实际手算作业一般都是k，h是数而不是字母）

然后再取f(x)=x^3，算得左边≠右边，证明只有3次精度。。。。这种数值分析题目很典型，也比较简单，必须掌握。