数列极限定理证明论文的研究方法

㈠ 关于数列极限的证明，求详细解答和步骤

用数学归纳法来解

(1)
x1 =1 , x 2 = √（1+Xn）= √2
假设 x{k}满足: 1<= x{k} <2
x{k+1} = √（1+X{k} ）< √（1+2) <√4 = 2
x{k+1} = √（1+X{k} ）>√1 =1

故 xn: 1<= xn <2 成立

(2)
x2/ x1 = √2 / 1 >1
假设 x{k}/x{k-1}满足: x{k}/x{k-1}>1

X{k+1}/Xk =√(1+Xk）/√(1+X{k-1}） >√(1+X{k-1}/√(1+X{k-1} =1
故Xn是递增数列

㈡ 前人怎么研究数列的极限

前人也是一开始用最朴实的方法一个一个推导，后来经过长时间的观察与推理得出了一系列结论，世上无难事只怕有心人。
数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。
存在的条件编辑：单调有界定理在实数系中，单调有界数列必有极限。致密性定理任何有界数列必有收敛的子列。数列求极限方法汇总：一、利用数列极限的定义、二、利用夹逼准则、三、利用单调有界定理、四、利用定积分的定义

㈢ 求数列极限的几种方法

摘要：本文介绍了计算极限的几种方法，讨论如何用定积分、幂级数、微分中值定理、O-Stolz公式、泰勒展式等方法计算极限．关键词：计算极限；定积分；幂级数；泰勒展式1. 引言极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法（见 [1]-[4]）. 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献[1]-[4]的结论进行了推广，讨论如何利用定积分、幂级数、O-Stolz公式、泰勒展式、微分中值定理计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想.2. 利用定积分求极限3. 利用幂级数求极限 利用简单的初等函数（特别是基本初等函数）的麦克劳林展开式，常能求得一些特殊形式的数列极限.4. 利用级数收敛性判定极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系. 因此，数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题.5 .利用O-Stolz公式计算极限6. 利用泰勒公式求极限等价无穷小代换是求极限的重要方法，往往可以减少计算量，使问题得以简化. 但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量的乘积或除的极限，而对两个无穷小量非乘且非除的极限，以上方法不能凑效，而Taylor公式代换是解决此类极限问题的一种有效的方法.7. 利用微分中值定理求极限Lagrange定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛，下面我们来看一下Lagrange定理在求极限中的应用 .参考文献[1]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京：高等教育出版社，1993. [2]刘玉琏. 数学分析讲义[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.[3]同济大学数学教研室. 高等数学（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社, 1996.[4]费定晖,周学圣. 数学分析习题集题解[M]. 山东: 山东科学技术出版社,2002.（作者杨海珍系首都师范大学在读研究生）注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。（剩余0字）

㈣ 怎样利用极限定义证明数列的极限

用极限定义证明数列极限的关键是:

1、对Πε>0,都能找到一个正整数N,当n>N时,有|an-a|<ε成立・这里的Πε>0,由证题者自己给出・因此,关键是找出N・那么,如何寻找N呢?

2、显然,要寻找的N,一定要满足当n>N时,有|an-a|<ε成立・而|an-a|可以看成是关于正整数n的函数,我们可以通过求解不等式|an-a|<ε,找到使|an-a|<ε成立,n所要满足的条件,亦即不等式|an-a|<ε的解集・该解集是自然数集N的无限子集・对同一个ε,N并不惟一。

3、因此,只需在该解集找出一个作为N即可・这样寻找N的工作就转化成求解不等式|an-a|<ε的问题了。

㈤ 用数列极限的定义证明题什么原理

答：
1、数学最基本的两大思想就是：归纳和演绎；也可以说，归纳和演绎是数学的灵魂，从现实中讲，这种思维方法已经触及到了每个人的思维深处了，常说的“吃一堑长一智”“由此及彼”等都是这个原理。
2、但数学作为一门抽象逻辑学科，不能仅从简单的归纳或演绎中得出结论就了事，因为这样构成不了逻辑体系，因此，对于归纳或演绎出的结论，结果必须给予证明。例如，科德巴赫猜想就是归纳出的结论，虽然都感觉是对的，但是证明却非常困难，目前也仅仅停留在（1+2）上。
3、你所遇到的数列极限的证明方法是“ε-δ”证明法，它的由来你可以去查一查，是经过了几代数学家，大量的理论逻辑建立才达到的，你所用到的只是最初级的应用，它是一种极限推进证明法，∀和∃是其中非常重要的逻辑含量，表明了任意取值的完备性和存在数值的唯一性，堪称数学史上的伟大创新。就如哥德巴赫猜想一样，在初级就是体现在了（1+1）上，你能说好证明么？
4、数学是非常严密高度抽象的逻辑学科，新的数学理论的诞生往往就会支撑一个产业的诞生，试想，如果牛顿没有在微积分有所建树，他能发现动量守恒么？高斯在7岁就能算从1加到100，以后他在数论方面有了惊人的成就，因此，很多人都说，学物理可以靠勤奋，学数学一定要天才！爱因斯坦是伟大的物理天才，但是很少有人知道，他12岁就自学了微积分，在他后半生都在致力于研究的“统一场论”中，大部分时间都在研究空间数学和微积分，他可以算是半个数学家！
5、数学讲求的就是思维和方法，“ε-δ”证明法是一种对于极限的递推式定义证明法，它不是推演证明法，因此会让你感觉有点“凑形”的意思。但是，你必须要理解这种证明思维，学会这种递推式的极限思维，这些才是“ε-δ”证明法的精髓，也是几代数学家毕生研究的精华所在！
6、最后，要分清楚归纳证明法和推演求解之间的区别，你可能对推演求解更感兴趣吧

㈥ 怎么证明数列极限存在

1.概念法：存在一个正数ε,当n>N时,|an-M| < ε恒成立
2.定理法：
(1)单调且有界数列必存在极限；
(2)夹逼准则；
(3)数学归纳法（有可能和（1）、（2）结合使用）
3.函数法：将数列的通项公式构成成函数,利用对函数求极限来判定数列的极限,要和夹逼准则或者概念法一起使用
1,证明数列{xn=(n-1)/(n+1)}极限存在并求出其极限
证明：
∵1 -1/(1+1/n) = 1- n/(n+1)< 1-2/(n+1) = xn < (n-1)/n = 1-1/n
即：1 -1/(1+1/n) < xn < (n-1)/n = 1-1/n
已知：当n无穷大时：lim 1/n =0
∴lim[1 -1/(1+1/n)]=1
lim[1-1/n]=1
根据夹逼准侧：xn极限存在,且limxn=1

㈦ 用数列极限定义证明，求高手 求详细过程

往证：对于任意小e>0;总存在正整数N>0;使得只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e.
证明：对于任意小e>0,我们令(n^2+1)/(n^2-1)-1<e；
化简得n>√(2/e-1);
这里我们取N=[√(2/e-1)]+1;
则有只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e总成立。
即(n^2+1)/(n^2-1)关于n趋向无穷大的极限为1。
证毕。

㈧ 用数列极限的定义证明，过程详细些

|1/n^k-0|=1/n^k

对任意ε>0，要1/n^k<ε，只要取N=[(1/ε)^(1/k)]+1>0。

当n>N，就有|1/n^k-0|<ε。

因此，根据定义：lim 1/n^k=0。

例如：

|往证：对于任意小e>0；总存在正整数N>0；使得只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e。

证明：对于任意小e>0，令(n^2+1)/(n^2-1)-1<e；

化简得n>√(2/e-1);

这里取N=[√(2/e-1)]+1;

则有只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e总成立。

即(n^2+1)/(n^2-1)关于n趋向无穷大的极限为1。

证毕。

数列极限的求法：

1、如果代入后，得到一个具体的数字，就是极限。

2、如果代入后，得到的是无穷大，答案就是极限不存在。

3、如果代入后，无法确定是具体数或是无穷大，就是不定式类型。

存在条件：

单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。

致密性定理，任何有界数列必有收敛的子列。