数学投影的教学方法

1. 如何选择合适的数学教学方法

教学方法是指完成教学任务所使用的工作方法，它包括教师教的方法和学生学的方法。传统的数学教学方法有讲解法、谈话法、演示法、讨论法等。今天我主要来讲解几种我们新课程倡导的的几种常用的教学方法:
（一）发现法
发现法是指教师不直接把现成的知识传授给学生，而是引导学生根据教师和教科书提供的课题与材料，积极主动地思考，独立地发现相应的问题和法则的一种教学方法。
发现法教学举例（一位数除两位数的教学）
给出一道题39÷3。学生可先拿39个物品，每3个一份，把它们分成13份。做几个这样的题目后，可以让他们把物品10个组成一组。例如，给出这样一道题：“哈利买了4条糖果，每条有10块。他吃了1块，把剩下的每3块包成一包，分给同学们，分给了几个同学？”学生可能有以下几种解法：
（1）每3个分成一堆，然后数出分得的堆数。
（2）从3个10中各先拿出1个，剩下的每9个分给3个同学，再把其余的也每3个分成一堆。
9+9+9+3+3+3+3=39（块）
↓↓↓↓↓↓↓
3+3+3+1+1+1+1=13（人）
（3）与（2）相似，但他们看出有4个9。
9+9+9+9+3=39（块）
↓↓↓↓↓
3+3+3+3+1=13（人）
（4）他们看出3个10正好分给10个人，剩下的每3个分成一组。
30+3+3+3=39（块）
↓ ↓↓↓
10+1+1+1=13（人）
（5）与（4）相似，但他们看出剩下的9正好分给3个人。
30+9=39（块）
↓ ↓
10+3=13（人）
在学生得出解法之后，全班进行讨论。教师对不同的算法不给出评价。再出一道题，许多学生会选用比他第一次用的更为简便的方法。教师进一步提出引导性问题，促使学生找出更为有效的计算方法，形成一般的竖式计算。
发现法有它的的局限性：（1）就教学效率而言，使用发现法需要花费的时间比较多。（2）就教学内容而言，它的适应是有一定范围的。通常适用于概念和前后有联系的概括性知识的教学，如求平均数、运算定律等。而概念的名称、符号、表示法等，仍需要由教师来讲解。（3）就教学的对象而言，它更适用于中、高年级的学生。
（二）尝试教学法
尝试教学法是小学数学教学方法中一种影响比较大的教学方法。它是一种具有中国特色的教学方法。
1．尝试教学法的基本内容
尝试教学法的基本思路就是：教学过程中，不是先由教师讲，而是让学生在上知识的基础上先来尝试练习，在尝试的过程中指导学生自学课本，引导学生讨论，在学生尝试练习的基础上，教师再进行有针对性的讲解。尝试教学法的基本程序分为五个步骤：出示尝试题；自学课本；尝试练习；学生讨论；教师讲解。
尝试教学法与普通的教学方法的根本区别就在于，改变教学过程中“先讲后练”的方式，以“先练后讲”的方式作为教学的主要形式。
2．尝试教学法的教学程序和课堂教学结构
尝试教学法基本的教学程序可分为五个步骤。
（1）出示尝试题
尝试题一般是与课本上的例题相仿的题目，是课本上问题的变形。
如书上例题：1/2+1/3
尝试题：1/4+5/6
出示尝试题的目的在于激发学生的学习兴趣，使学生明确这节课所学习的内容。
（2）自学课本
在学生尝试练习，对这个问题产生了一定的兴趣之后，教师引导学生看一看书上对这个题目是怎样讲的。教师提出一些与解题思路有关的问题：如上题，“分母不同怎么办？”“为什么要通分？”
通过自学课本，学生可以知道自己对个问题认识的情况，教师也可以了解学生在学习中遇到的困难是什么。
（3）尝试练习
学生通过自学课本，对所学的内容有了一个基本了解，并且大部分学生对解答尝试题有了办法，这时，就再出尝试题让学生试一试。一般采取让好、中、差三类同学板演，其他同学同时在练习本上做的办法。
（4）学生讨论
在尝试练习时，可能有的同学做得不对，也可能出现不同的做法。可以让学生结合自己的解题方法，进行讨论。
（5）教师讲解
学生会做题，并不等于掌握了知识。教师这时可按照一定逻辑系统向学生讲解所学的内容。这种讲解是有针对性的，是在学生对所学的内容有了初步认识的基础上，在学生已经通过某种方式学会了或部分学会了解题方法时进行的讲解，更能够突出重点。
以上五个步骤是尝试教学法在进行新课时所用的，作为一节完整的课，尝试教学法的课堂教学结构包括以下六个环节：
（1）基本训练（5分钟）；（2）导入新课（2分钟）；（3）进行新课（15分钟）；（4）巩固练习（6分钟）；（5）课堂作业（10分钟）；（6）课堂小结（2分钟）。
这一教学结构的优点在于：突出了教学重点；增加了练习时间；改变了满堂灌的做法。
3．其优越性表现在如下几方面。
（1）有利于培养学生的探索精神和自学能力。学生在学习的过程中，都想自己试一试，用自己的方法来解决问题。（2）它可以充分利用教学中的最佳时间，使学生尽快地进入新内容的学习，并以较多的时间进行尝试性和巩固性的练习。（3）这种教学方法具有很强的操作性，教师一般都可以掌握，并且更有利于差等生的学习。
4. 尝试教学法应用举例
“商中间有零的除法”的教学实例。
（1）导入新课：把复习旧知题中的645÷3改成615÷3，来继续学习。
（2）进行新课：①学生尝试练习，试试看，这道题和以前的题有些不同，能做出这道题吗？②自学课本③学生讨论，针对学生的出现的算法进行讨论。④教师讲解。
（3）巩固练习
（4）课堂作业
5.课堂小结其局限性表现在如下几方面：
（1）需要学生具备一定的数学基础和自学能力，对年龄较小的学生不适合用这种教学方法。（2）适合于后继课的教学，对于新的概念原理的教学不宜使用。（3）对于操作性较强的内容不适用于运用。
（三）自学辅导法
1．自学辅导法的基本含义：在小学数学教学中运用自学辅导法一般是指在教师的指导下，学生通过阅读课本，获得知识与技能的教学方法。
2．自学辅导法的教学程序
自学辅导法运用心理学的原理，采取适当步子、及时反馈的原则重新编写教材，运用自学辅导法，在教学中以学生的自学为主，规定了一节课中学生用于自学的时间在30~35分钟，这包括自学、自练、自检。教师用于讲解的时间一般不超过15分钟。
自学辅导法在教学中的基本步骤分为五步。
（1）提出课题。教师可以直接导入新课，也可以复习有关知识后提出课题，后一种方法更加适合小学生的学习特点。对高年级学生提出课题的同时，还应提供自学提纲，使其带着问题自学，围绕课题的中心问题边读边想，求得问题的解决。
（2）学生自学。这一步主要让学生独立阅读课本，与此同时教师进行必要的指导。教师要从实际出发，根据不同年级、不同认知水平和教材难易选用相应的方式指导自学，考题指导要提纲挈领、简明扼要。
（3）答疑解难。针对学生在自学中出现的问题，教师有针对性地进行解答，也可以启发学生进行讨论互相解答。为进一步提高学生自学能力，在答疑之后，还要以再让学生阅读课本以巩固所学的内容。
（4）整理和小结。由教师出题对学生学习效果进行检查，如发现有理解方面的问题要及时补救，还要对所学的内容进行归纳小结。小结时尽量让学生运用准确的数学语言进行概括，得出结论，逐步培养学生运用数学语言进行表达的能力。
（5）巩固和应用。根据教学内容布置课堂独立作业，目的是使学生进一步理解和巩固知识，初步形成技能。
3．自学辅导法的主要优点在于：这种教法，能在课堂上基本解决问题，大大减轻了学生课业负担。由于学生在课堂上能够及时改正作业中的错误，使得教师从作业中解放出来，将更多的时间用来备课和研究学生问题，有利于提高教学质量。
4、自学辅导法教学实例（比例的意义和基本性质）
具体教学过程：
（1）教师谈话
（2）准备练习
（3）进行新课
①出示例题和自学思考题
例题：一辆汽车第一次2小时行驶80千米，第二次5小时行驶200千米。
时间（时）
2
5
路程（千米）
80
200
从表中可以看到，这辆汽车：
第一次所行驶的路程和时间的比是 ；
第二次所行驶的路程和时间的比是 。
这两个比的比值是多少？它们有什么关系？
思考：什么是比例？组成比例需要什么条件？由这几个条件可以得到比例吗？如果把比例写成分数的形式是怎样的？比例的基本性质是什么？
②引导自学，总结法则
引导学生观察两个比例，说出比例的意义。
引导学生集体讨论：组成比例的条件。
让学生将比例转化为分数的形式。
引导学生练习，思考：比和比例的区别。
让学生认识比例各部分的名称。
引导学生通过运用加、减、乘、除不同的方法，探索比例的基本性质。
③质疑问难、精讲点拨
教师根据学生提出的问题，在解释疑惑的基础上，指出比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积，这叫做比例的基本性质。
（4）课堂练习
（四）“探究—研讨”法
1．“探究—研讨”法的基本内容
“探究—研讨”法的基本思路是把教学分为两个大的环节，即“探究”和“研讨”。
第一个环节“探究”是指在教师的指导下，学生自己去探索。教师为学生提供一定的问题情景和必要的操作材料，让学生自己通过操作、思考，研究问题中各种因素或数量的关系。教师在教学活动的过程中，给予适当的指导。
第二环节“研讨”是给学生充分发表自己意见的机会。最后由师生共同找出所学习问题的规律或结论。
在具体的教学过程中，可以不受这两个环节的限制，灵活地组织和运用。
2．“探究—研讨”法的应用举例（求平均数问题）
先把全班学生分成若干个小组，每组四个人。
量出每个学生的身高，并根据测量的身高剪下一张纸条。教师提出，“怎样知道四个人连起来一共有多高？”“四个人平均有多高？”
然后教师说明什么是平均数。并提出“如何求出全班同学的平均身高？”“怎样表示出这个平均身高？”学生说出可以把全班的身高加起来，然后再用总人数去除。接着学生把表示每一个人身高的纸条贴在墙上钉的一张纸上，在平均数的地方画一条线。发现有些在线的下方，有些在线的上方。并分别用“-”和“+”来表示。学生把高出来的部分剪下来，恰好可以补上低下去的那一部分。学生感到非常兴奋。
接下来又有同学提出了计算平均数的简便方法。找出最矮的同学的身高。把全班同学高出这个数字的值加起来，再除以全班总人数，再加上最矮的同学的身高，就是全班的平均身高。
还有的同学提出了随便找一个标准线，与这个标准线进行比较计算平均身高的简便方法。
教学有法，教无定法。对同一个知识点的教学，不同的教学方法会有不同的效果。那么在实际的教学中如何根据教学内容和学生的学习特点选择合适的教学方法呢?教学方法的优化应该做到以下几点。
1.保证学生学习活动的自主性
教师选择教学方法必须把要学习的新知识同学生已有的认知结构结合起来,使学生自身主动参与学习的全过程。但教学必须越过学生现实的发展水平,走在学生智力发展的前面,让学生始终处于"跳一跳"摘果子的学习状态。尝试教学法、引导——发现法、探究法在这方面体现得比较明显。 如教学“十几减9”是，首先由一个实际问题引人,"小明家来了一批客人,为了招待客人,小明洗了11个苹果,客人吃了9个,还剩几个苹果?"由问题引出题图,当学生直观数出还剩两个苹果后,教师进行目标激励:不看图,谁能想出怎样计算?学生就会主动搜索自己原有的、与新问题最接近的认知图式9+( )=11,11-10=1,9+1=10等。教师放手让学生去探索,去创造。学生有多种思维方式:(1)想加算减;(2)先减去10,再加l ；(3)9和11都先加1再相减;(4)先算10-9,再算11-10,再把两个差和起来;(5)11先减去1得10,10再减去8;(6)11可以分为9和2,所以11-9=2;等等。教师安排学生互相交流想法,用"13-9=?"来验证自己的发现,互相出题,寻找十几减9的规律等一系列自主探索活动,使教学过程得到了明显优化。
2.使教学目标能够完整
不同的教学目标要求用不同的方法去实现,但绝不是各种方法的叠加,因此,在考虑将教学目标完整实施时,就必须将各种教学方法有机地结合起来,发挥其最佳功效。仍以"十几减9"一节为例,该节的认知目标是会用"想加算减"等方法进行"十几减9"的计算,可以选择讲授、探究、尝试等教学方法;情意目标是培养学生学习数学的兴趣、态度、价值观念和意志力等,教师由生活例子引人,学生非常感兴趣,认识到生活中处处有数学;技能目标是让学生熟练进行"十几减9"的计算,可以采用练习法;发展目标是激活和开发学生的潜能,提高学生发展需求的程度和层次,发展学生思维的灵活性和创造性(超越教材的多种思维方式),采用探究、常识、实证等教学方法;自我教育目标是培养学生自我评价、自我监督和自我调节能力,采用独立作业、独立思考、独立检查等教学方法。可见.在这一节课中采用了几种不同的教学方法,并整合为"自己探索‘十几减9'的计算方(法,互相出题,自我检验"的自主探索教学法。
3.促进教学进程的有序发展
小学数学教学内容无论有何不同,但所选用的教学方法一定要保证课堂教学进程紧凑有序,这是为了保证学生学习过程的完整性。一个完整的学习过程包括明确学习目标、提取材料信息、探索(猜测)方案、尝试实践、理解强化、内化运用等。在一节课里有时也可能是几个学习过程的循环提升。如在教学"圆的周长"时,有的教师首先让学生测量准备好的纸圆,找出各种不同的测量方法(绕线法、滚动法等)后,教师讲解,有的圆可以直接测量周长,但多数的圆不能直接测出周长,有没有别的办法呢?接着引导学生回顾长方形、正方形的周长计算公式,让学生感知、猜测周长可能和直径(半径)有关系,再让学生测量手中的纸圆，重复前一阶段的工作,把学生的思维定向从圆周长的探索上转移到对长方形、正方形周长的回顾上,找出周长与直径的关系。前后共用去了近30分钟,费时多,效果差,不如直接让学生自己探索。在学生寻求测量纸圆的方法中,随手记录测量结果,然后引导学生整理观察数据,猜测周长和直径(半径)是否有关系,是什么关系,从而发现规律,得出结论。这样能节约了十几分钟。要保证教学进程紧凑有序,学生学习过程完整流畅,就必须控制好教学节奏。如选用发现法教学,一定要注意对时间节奏的控制,选用讲授法,教师则要注意对自己语言节奏和学生情绪节奏的控制。另外,在教学节奏的安排上一定要考虑学生的思维活动规律,以一年级"10"的教学为例,知识的重点和难点都在10的组成与分解上,该知识点就要在前15分左右这一段时间安排完成,教师的指导语言必须清晰、明确,但如果教师不能很好地把握教学节奏,在前面耽误了时间,将近30分钟才开始安排学习10的组成与分解,于是不敢再放,只是让学生草草比划一下便开始了练习,就不会取得明显的教学效果。
好的教学方法不仅要使学生学会知识,重耍的是让学生会学、会用,提高学生应用数学的意识。如教学完百分数,学生就能应用百分数的有关知识去解决有关利息、利税、保险等的简单问题;学习了统计的有关知识后,学生就能主动去收集自己感兴趣的信息图表,了解社会的变化和发展。再一个是内部要素之间的延伸。数学具有严密的逻辑性,讲究推理,知识之间都是有内在联系的,可以利用已有知识进行有效正迁移,如学好了整数才可以延伸到分数、小数。教师选择的教学方法不仅要让学生有兴趣学习本节内容,还要给学生留有余念,如在教学2~4的乘法口诀时,就要诱导学生主动去想5的乘法口诀有几句,是什么,6、7、8、9的乘法口诀又各是什么,促使学生自己去探索。
4.深入了解学生.
了解学生的学习特点要从两个方面人手:一是要通过平时的作业反馈了解学生的思维深度和广度;二是通过课堂教学观察学生有意注意的持久性、语言表达的逻辑性、思维方式的延展性。对处于不同年龄特点、不同思维水平的学生要采用不同的教学方法。如低年级的教学要注意采用直观式的教学方法,中高年级的教学则要注意多用发现式教学法；对理解能力强的学生采用质疑式的教学方法,对推理能力强的学生采用联想式的教学方法等。
下面我们来看几个例子，分析一些课堂上容易出现的问题。
(一)自主：既要凸显主体，也要体现主导
[案例1]教学片段：《20以内的退位减法》
教师出示投影，屏幕上出现了公园里卖气球的场面，孩子们在买气球。
师：总共有15个气球，卖掉了9个，还有几个？同学们用你喜欢的方式算一算。
生A：15-10+1=6；
生B：10-9=1，1+5=6；
生C：因为9+6=15，所以15-9=6；
生D：9=5+4，5-5=0，10-4=6。
……
师：同学们想出了很多方法，在这些方法当中，你最喜欢哪一种方法？
学生们争先恐后地回答。
师：用你们喜欢的方法完成下面的问题（略）。
过去，我们过分地强调教师的主导作用，出现了“满堂灌…‘填鸭式”的做法；现在，我们强调了学生的主体地位，课堂中又出现了“放羊式”的现象。因此，我们必须正确地处理好教师主导作用和学生主体地位之间的关系，在两者之间找到一个“平衡点”，使课堂教学“严而不死，活而不乱”。教师在重视学生的独特理解、珍视学生的劳动成果时，也要正确发挥自己的主导作用，不能因为要“突出学生的主体地位”“尊重学生的感受”，该否定的就不予以否定；不能说要“赏识孩子”，该引导的就不予以引导。对学生的一些独特见解，对一些是非分明的问题，教师应毫不含糊地发表自己的看法，为学生指点迷津。教师的主导作用主要体现为一个“导”字：在自主学习的过程中，当学生出现偏差、走人误区时，要“引导”；当学生思路不清、认识肤浅时，要“开导”；当学生遇到困难、思维卡壳时，要“辅导”。
(二)合作：从形式走向实质
[案例2]《两步计算的应用题》的教学片段
教师呈现问题情境：
母亲节到了，商店康乃馨3支12元，菊花4支20元，百合花5支40元，老师想买一束50元左右的花，请你设计一种方案。
在这之后，教师立即让学生分组讨论。
(学生按自己的喜好组成小组，开始合作学习。有的是一个优秀生在发言，其他学生当听众；有的是你一言我一语，却没有围绕主题；有的对问题还不清楚，无从做起……)
然后各小组汇报学习成果并选派一名代表发言，其他同学的发言被代表取代了。
合作学习是一种学习方式，是否采用要根据学习内容而定，关键是要看实施的效果。因此，教师在备课时，必须在钻研教材和了解学生的基础上，对哪些问题应该由学生独立解决、哪些问题应该通过小组合作共同解决，做到了然于胸。要注意三点：一是做好合作准备。在小组合作学习之前，教师一定要留给学生充足的独立思考的时间，学生必须对所需要研究的问题有初步的认识和了解，然后再进行小组合作学习。二是明确合作目标。在小组合作之前，教师要让学生明确小组合作的目的是什么、通过合作要达到什么目标、各自在小组合作中担任什么角色、需要完成什么任务，从而让学生有的放矢地进行小组合作学习。三是形成合作机制。在小组合作的过程中，组内成员应该有明确的分工，每一个合作小组都要有一名“领头羊”负责组内活动的组织与协调，确保合作学习有序进行，保证组内成员有平等的参与机会。
(三)探究：该出手时才出手
“做数学”是数学课程改革的一个重要理念，改变了以往数学教学过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的状况。但学习方式的改变不能简单地理解为用一种方式去代替另一种方式，让学生每节课都去亲自经历知识产生和发展的过程，既无必要，更不现实。一些名词、概念、事实等只能用陈述和讲解的方式传授，如负数的表示，在数字前面加＂－＂号，告诉学生就行了；两条直线平行的判定，也是不好操作和体验的，这类知识必须通过教师的讲授。
四、整合：数学课别变了昧
[案例3] 教学片段：一年级《认识人民币》。
初步认识人民币后，教师设计了一个购物活动，让3名学生扮演售货员，其余学生模仿顾客，在布置好的小文具柜前购物。学生争先恐后地用仿真样币＂购买＂铅笔、本子、橡皮等。10多分钟过去了，学生仍兴致勃勃地摆弄着＂买＂来的物品，旁若无人地讨论，课堂气氛异常活跃……
[反思]本节课的任务是＂认识人民币＂，但在购物活动中，大部分学生把注意力放在了具体的物品上，＂买者＂和＂卖者＂都不去注意币值大小，对物品的兴趣远远超过了人民币。从形式上看，学生积极性高，主动地投入和参与了学习活动，活动中也渗透了情感、态度、价值观，但这节课要完成什么任务？活动与认识人民币有多大关联？
新课程提出要赋予学生更多自主实践、亲身体验的机会，以丰富学生的感性认识，改变以往数学教学忽视学生实践和感性操作的倾向。应该肯定，活动对人的发展具有重要意义。在本节课中，设计购物场景是十分必要的，也是本节课的一个亮点。但活动不应该只注重外在表现方式，更多的应是注重内在品质，要根据学科特点与学生年龄特点，围绕教学目标设计处于学生＂最近发展区＂的活动，用活动这一外显形式帮助学生理解、体会教学内容。教学形式是为教学内容服务的。强调数学教育生活化，不能简单地理解成内容的置换，用＂生活味＂取代数学教育特有的＂数学味＂，而应是借助现实、有趣的活动沟通生活场景与数学本质的联系，实现二者在更高层次上的整合。只是追求活动表面的热闹和形式，忽视对活动内在过程的有效转化和品质的提升，将使活动流于形式而难以收到实效。
作为数学教师，要能根据具体的教学内容、教学对象和不同的课型合理地选用不同的教学方法，而且还可以在这些教学方法的基础上，自己去探索和创立一些新的教学方法。只要是自己能够运用自如的，能达到教学目标的，就是好的教法。

2. 教学方法有哪些

1、讲授法

讲授法是教师通过简明、生动的口头语言向学生传授知识、发展学生智力的方法。它是通过叙述、描绘、解释、推论来传递信息、传授知识、阐明概念、论证定律和公式，引导学生分析和认识问题。

2、讨论法

讨论法是在教师的指导下，学生以全班或小组为单位，围绕教材的中心问题，各抒己见，通过讨论或辩论活动，获得知识或巩固知识的一种教学方法。优点在于，由于全体学生都参加活动，可以培养合作精神，激发学生的学习兴趣，提高学生学习的独立性。一般在高年级学生或成人教学中采用。

3、直观演示法

演示法是教师在课堂上通过展示各种实物、直观教具或进行示范性实验，让学生通过观察获得感性认识的教学方法。是一种辅助性教学方法，要和讲授法、谈话法等教学方法结合使用。

4、练习法

练习法是学生在教师的指导下巩固知识、运用知识、形成技能技巧的方法。在教学中，练习法被各科教学广泛采用。

5、读书指导法

读书指导法是教师指导学生通过阅读教科书或参考书，以获得知识、巩固知识、培养学生自学能力的一种方法。

6、任务驱动法

教师给学生布置探究性的学习任务，学生查阅资料，对知识体系进行整理，再选出代表进行讲解，最后由教师进行总结。任务驱动教学法可以以小组为单位进行，也可以以个人为单位组织进行，它要求教师布置任务要具体，其他学生要极积提问，以达到共同学习的目的。

7、参观教学法

组织或指导学习到育种试验地进行实地观察、调查、研究和学习，从而获得新知识或巩固已学知识的教学方法。参观教学法一般由校外实训教师指导和讲解，要求学生围绕参观内容收集有关资料，质疑问难，做好记录，参观结束后，整理参观笔记，写出书面参观报告，将感性认识升华为理性知识。参观教学法可使学生巩固已学的理论知识，掌握最新的前延知识。

8、现场教学法

是以现场为中心，以现场实物为对象，以学生活动为主体的教学方法。本课程现场教学在校内外实训基地进行，主要应用于育种试验布局规划、试验设计、作物性状的观察记载方法等项目的教学。

9、自主学习法

为了充分拓展学生的视野，培养学生的学习习惯和自主学习能力，锻炼学生的综合素质，通常给学生留思考题或对遇到一些生产问题，让学生利用网络资源自主学习的方式寻找答案，提出解决问题的措施，然后提出讨论评价。

(2)数学投影的教学方法扩展阅读：

教师选择教学方法的目的，是要在实际教学活动中有效地运用。

首先，教师应当根据具体教学的实际，对所选择的教学方法进行优化组合和综合运用。

其次，无论选择或采用哪种教学方法，要以启发式教学思想作为运用各种教学方法的指导思想。

另外，教师在运用各种教学方法的过程中，还必须充分关注学生的参与性。

3. 数学教学可视化的几点思考

在初中数学教学中，利用可视化技术沟通抽象思维与视觉直观，可使学生有足够时间经历观察与验证的活动过程。从而在激发学生兴趣的过程中实现抽象思维水平的提高。
一 前言
数学是抽象的思维艺术，数学的抽象性意味着对自然现象和生活经验的提炼和简化，去除现象的外壳，抽出原理的骨架。这一特征使数学能越过人类认知范围的边界，去追求宇宙奥妙的真理。初中数学在培养学生抽象思维的过程中具有承上启下的作用，一方面是抽象化，每一个知识点的引入，都以一个生活中可触可感的实例作为模型。例如二次函数以正方体表面积A=6x2作为起点，从可以拆成六个正方形的正方体表面，到6x2之间，便是一次高度抽象化的过程。另一方向是去抽象化，将原本抽象的理论用直观的方式展现，其中一种重要的方式是可视化。
可视化的概念最初来源于信息图形学，包括但不限于在科学或知识传播中，借助视觉手段的呈现和运用，让信息/知识更容易被理解传播和控制。例如统计图表即是数据可视化广泛而重要的阵地。另一为人熟知的应用是在科学与工程学，如气象学、建筑学或生物学等复杂系统中，对物相、形态、性质，面、体、光源等方面的逼真渲染，或静态或包含动态时间成分。
可视化在数学中的应用可追溯至数学的源头，传说阿基米德被害时，正在沙子上绘制几何图形。几何图形归根结底，便是一种视觉的呈现。数学意义上的点没有大小和尺寸，作图时的点乃是为了便于观察而加以刻画的结果。在两千多年几何学的传播和教学中，此种视觉呈现被证明是卓有成效的。
初中数学新课标中提出，学习是生动活泼的过程，学生应当有足够时间经历观察、实验的过程。“统计与概率”的主要内容所包括的绘制统计图表便为可视化的手段之一。对于几何直观，新课标更加以着重强调，“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象”。在代数部分，数形结合思想指导下以图像理解函数，是可视化的又一应用。
结合人教版初中数学教材，可视化可以作为教学的有效工具，帮助学生直观地理解数学，在数学学习中发挥重要作用。笔者认为，课堂可视化教学的应用可分为以下几类：
二 化抽象为直观
人教版八年级下教材以介绍勾股定理逆定理以埃及人构造直角的故事为引。埃及人在建造金字塔和尼罗河泛滥后丈量土地曾广泛应用勾股定理构造直角三角形。命题与命题属于抽象逻辑推理的概念，对首次接触的同学们来说显得陌生，利用可视化，可以让抽象的概念直观起来。
实验：准备一段足够长的细棉线，刻度尺，厚纸板。请两位同学上台，在棉线1上标记长度为15cm、20cm、25cm的线段，结成闭合绳索。在棉线2上标记长度为24cm、10cm、26cm的线段，结成闭合绳索。请第三位同学上台在厚纸板上以大头针拉直固定两段绳索。同学们不难发现，两个三角形的形状都是唯一和固定的，都构成了直角三角形，如图1（a）所示。
解说：32+42=52与122+52=132都是整数勾股数的特例。但真命题逆命题是否总是真命题呢。请看下面的例子。
演示：在棉线3上标记长度为10cm的四段线段，结成闭合绳索。以大头针拉直和固定，可得图1（b）所示形状。我们已经知道一个为真的原命题二：如果四边形ABCD是正方形，则四边长a=b=c=d。它的逆命题是，提问，由同学答出：如果四边形四边长满足a=b=c=d，则四边形为正方形。这个逆命题成立吗？
（a） （b） （c）
图1 利用绳子实现勾股定理逆定理的可视化
我们移动大头针的位置到A′、B′、C′、D′，a=b=c=d仍然维持不变，显然此时四边形不再是正方形，而是一个菱形。命题二的逆命题不成立。
利用简便易得的器材设计课堂数学实验，利用可视化技术，提高了同学的参与度，降低了知识抽象性。
三 构造空间观念
新课标对空间观念的定义是“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系”。
利用多媒体工具和3D建模软件，可以动态地展示几何形体和复杂模型的三视图、投影图，让同学们直观地建立三维空间观念。例如免费3D软件Google SketchUp自带丰富模型库，导入飞机模型，利用快捷键可以方便地在俯视图、主视图、左视图间切换，如图2所示。利用光源，各几何体在平面的投影也一目了然，如图3所示。空间平移、旋转、轴对称等变换操作也可以方便地实现。
图2 飞机模型三视图
三视图和投影是学生们最初接触三维空间，利用3D软件强大的可视化功能，可帮助学生们顺利完成从二维空间观到三维空间观的过渡。
四 直观化数据
七年级下统计学初步中介绍了数据的收集、整理与描述。条形图、折线图、扇形图与直方图都是描述数据的方式。下面以直方图为例，介绍统计图中在课堂中的融合应用。
人教版课本一道练习题：利用截至2002年费尔兹奖得主获奖时的年龄数据（数据略）。请根据不同分组方法，组距2、组距5、组距10，画出频数分布直方图，如图4所示。
图4 组距2费尔兹奖得主直方图年龄分布
在课堂例题中已向学生们发放坐标纸，手动绘制直方图的方式使同学们熟悉了频数统计。此处结合选学内容《利用计算机画统计图》来产生不同分组的频数统计。
演示：打开电子表格软件如Excel，A列输入年龄，B列输入组距2的分组28，30，…，40，C列输入组距5的分组25，30，35，40，D列输入组距10的分组20，30，40。选择数据—数据分析—直方图。以A列作为输入区域，分别以B、C、D列作为接收区域，生成直方图及频数统计，如图4所示。
电子表格软件生成直方图改变组距操作简便，较坐标纸作图省时省力。通过统计图表，一眼望去没有线索的数据展示出规律。例如菲尔兹奖得主的年龄在38岁左右达到高峰，这当然与费尔兹奖奖励年轻数学家，只颁发给不超过40岁的数学奖的规定有关。
通过可视化技术，直观图表与对数据的阐释有机地结合在一起。
五 总结
综合以上三个实例，本文总结了可视化技术在初中数学课堂几个方面的应用。可视化沟通了抽象的数学思维与视觉直观的认知过程，化难为易，化繁为简，提高了学生的学习兴趣，在流畅的体验中获取知识，收到极好的教学效果。充分发掘和利用身边的素材与器材，无论是教具还是软件，古老的尺规还是前沿的计算机图形，都是可应用的教学资源。

4. 教学方法与教学手段有哪些

1、教学方法：讲授法，讨论法，直观演示法，练习法，读书指导法，参观教学法，现场教学法，自主学习法，任务驱动法，课堂教学等。

2、教学手段：经历了口头语言、文字和书籍、印刷教材、电子视听设备和多媒体网络技术等五个使用阶段。传统教学手段主要指一部教科书、一支粉笔、一块黑板、几副历史挂图等。现代化教学手段是指各种电化教育器材和教材，即把幻灯机、投影仪、录音机、录像机、电视机、电影机、VCD机、DVD机、计算机等等搬入课堂，作为直观教具应用于各学科教学领域。

(4)数学投影的教学方法扩展阅读：

1、由于时代的不同、社会背景、文化氛围的不同、研究者研究问题的角度和侧面的差异，使得中外不同时期的教学理论研究者对“教学方法”概念的界说自然不尽相同。

2、科学、合理地选择和有效地运用教学方法，要求教师能够在现代教学理论的指导下，熟练地把握各类教学方法的特性，能够综合地考虑各种教学方法的各种要素，合理地选择适宜的教学方法并能进行优化组合。

3、现代化教学手段的软件技术水平直接制约现代化教学手段的使用。一方面，教学媒体软件的制作技术尚不全面成熟；另一方面教学软件的制作确有相当的技术难度，因为它涉及到多门学科的理论与技术，而同时精通多方面学科、熟悉制作全过程技术的人员较少。所以，教学软件成为世界性的问题。

5. 数学上的投影是什么东西

从初中数学的角度来说（可参见人教网九年级下册电子课本第二十九章 投影与视图），一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影
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6. 多媒体在数学教学中的应用

多媒体技术能创造出一个图文并茂、有声有色、生动逼真的教学环境，为教师教学提供形象的教学手段。实施数学创新素质教育的关键在于优化课堂教学过程，充分发挥学生的主体地位，提高课堂教学效率。而教学方法、教学手段的恰当运用，将在很大程度上决定一堂课的教学效果。在数学课堂教学中，使用多媒体技术辅助教学，将极大地丰富课堂教学的表现手法和表现方式，它的基本特点是：使抽象的数学问题具体化，枯燥的数学问题趣味化，静止的数学问题动态化，复杂的数学问题简单化等等。这些特点对于激发学生学习数学的兴趣，以及创新能力的培养提高发挥巨大的作用。一、创设情境，激发求知欲。所谓情境是指在教学过程中教师有目的地引入或创设具有一定情绪色彩的形象的场境，以引起学生一定的态度体验，从而帮助学生理解教材，使学生心理机能得到发展，情境的创设可以使学生与问题之间架设起一座“桥梁”，情境的创设不但可以吸引学生的注意力，增加学生的 学习兴趣,还能有效的引导学生分析和探索问题，产生解决问题的动力和方法,使学生更好的建构自己的知识体系。 计算机具有特殊的声、光、色、形，通过图像的翻滚、闪烁、定格、色彩变化及声响效果等给学生以新异的刺激感受。运用计算机辅助教学，向学生提供直观、多彩、生动的形象，可以使学生多种感官同时受到刺激，激发学生学习的积极性。例如：在教学初中几何第二册“轴对称图形”这一课时，就可以应用多媒体的鲜艳色彩、优美图案，直观形象地再现事物，给学生以如见其物的感受。教师可以用多媒体设计出多幅图案：如：等腰三角形、飞机、几幅古建筑图片等，一一显示后，用红线显现出对称轴，让学生观察。图像显示模拟逼真，渲染气氛，创造意境，使学生很快掌握了轴对称图形的特点，有助于提高和巩固学习兴趣，激发求知欲，调动学生积极性。再例如：在讲授“垂直”这一章概念时，教师可以让学生观看一段大型比赛的跳水录像，出示问题：当选手入水时，水花的大小说明什么？ 所有学生几乎同时说出来：“不垂直”水花就大，“垂直”水花就小教师问：“什么叫垂直呢？”接着教师讲解了有关垂直的概念这节课几乎没有费什么力气，就完整的进行下来了，几乎所有的学生都明白了什么叫“垂直”，可见这样的情景给学生留下多么深刻的印象。二、变静为动 突破教学重难点皮亚杰的“建构”的观点是与“活动”的观点有紧密的联系学生主动建构知识体系必须掌握“活”的几何概念，这就必须使学生在几何学习充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动，教育家斯腾伯格认为在教学过程中应视为交往过程，要注重交往的改进，特别强调学生个性的“自我实现”。传统的几何教学中的教具运用，并不能使抽象的几何概念真正的形象化、具体化。而多媒体技术可以使几何概念真正“活”起来。在用《几何画板》讲解《直线和圆的位置关系》可以使直线转动，产生与已知圆的相离、相切、相交的各种动态的位置关系，并在旁边显示圆的半径（R），并动态的显示圆心到直线的距离（d），学生们可以一目了然的动态的了解到直线与圆的位置关系，与圆的半径（R）与圆心到直线的距离 的数量关系，使学生在观察实验的同时，推出圆的位置关系，与圆的半径与圆心到直线的距离之间的关系， 相离＜＝＞R＜d相切＜＝＞R = d相交＜＝＞d＜R学生的脑海里只要一提到直线和圆的位置关系，就想到旋转着图像。类似这样的课件还有《垂直平分线的性质》、《平行四边形的判定》、《圆和圆的位置关系》等。三、激发学生学习兴趣，提高学生的学习能力和创新能力。学生的学习能力和创新能力，来源于对周围的事物的理解和对知识的观察和分析，现代教育观点认为学生学习知识的过程和发现这个知识的过程是一样的。而传统的教学方法是很难提供给学生足够的空间和足够的时间，使学生自己建构知识体系，而多媒体技术可以无限的提供给学生学习的空间和相对宽裕的学习时间。我认为 几何教学过程中的关键是让学生掌握知识的形成过程，使学生知其然，又知其所以然。运用多媒体教学可以将教学中涉及的事物形象、过程等全部内容再现于课堂，使教学过程形象生动，使难以觉察的东西清晰地呈现在学生的感觉能力可及的范围之内。例如：在教学“角的认识”这一课时，教学生如何画角是一个重要内容。教师用传统的教学方法在黑板上画给学生看，存在着一定的弊端。如：学生走神，教师画时部分学生不注意看；教师作图时，身体遮挡住部分学生视线等等。而运用多媒体辅助教学，情形就大不一样了。我们可以先用多媒体演示画角的步骤和基本方法，由于用多媒体演示，手段新颖，学生的注意力集中，给学生留下的表象深刻。演示结束后，教师再到黑板上示范画角，最后让学生独立画角。这样的教学过程设计，符合学生的心理需求，使学生对画角方法清楚明了，教学效果好。例如在研究《多边形的内角和公式》时，传统教学方法，只能在黑板上画几个图，给学生几个公式，而利用多媒体技术可以给出充分多的图形，让学生在观察中，分析众多图形，并且在分析后得出结论，并可以在更多图形中验证，使学生自己得到正确的公式，在几乎是无限的空间中，研究几何图形，从中分析得出正确的结论，这是传统教学不可能做到的。真正做到陈重穆教授提出的“淡化形式，注重实质”的效果。彻底的摆脱了教学中“烧中段”的教学方式，使学生自己自主的建构知识体系。多媒体教学可以使教师节省出大量的教书时间，可以使学生在单位时间内，获取最大限度的信息量，争取了更多的思考时间，可以利用图形的颜色和图像的闪烁给学生以暗示，还可以通过平移和旋转使学生了解知识形成的全过程，使学生在发现中掌握知识。还可以利用师生界面进行超级连接，达到师生互动，使学生在互动中，学习动态的，“活”的几何。四、，发挥学生在学习中的主体地位。多媒体不光可以显示信息，使学生获得知识，它还能帮助学生运用知识和技术，发展智力、才能。我们知道学生的学习客观上存在着一定的差异，承认与尊重个别差异是必要的。多媒体辅助教学就能适应个别化的教学。在教学软件编排中，教师可以针对不同类型的学生，设计各种思路和解题方法，让学生自主选择，培养学生做出决定的能力。这样人机交互，迅速反馈，视听合一。学生由教师单一的讲、书本枯燥的练习，上升到上机操作，与计算机对话，充分调动了学生学习的主动性，提高了学习效率，学习的能力也得到了发展。在多媒体这样的交互环境中学生可以按照自己的学习基础、学习兴趣来选择自己所要学习的内容，这种主动参与性为学生主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，能真正体现学生的认知主体作用。 例如，在几何教学中，一题多解问题，在传统课上只有给一种或几种答案，而不可能也没有足够的空间来展示所有的答案，造成对个别学生的学习积极性的打击。然而在多媒体的课件设计中，不但可以把所有的答案给出来，使学生对号入座，还可以把几何的开放型的题目做成动态题目，使学生各尽所能，真正变“选马”为“赛马”，使学生在平等的条件下，竞争着学习，激发他们的好胜心理，变被动学习为主动学习。五、体现教师对学生的关爱，体现了以学生为本的教学理念。俗语说：“好话一句三冬暖，冷言半语六夏寒”。和谐的教学环境氛围，可以使学生的大脑皮层处于良好的反馈状态，而作为教师应努力为学生创造和谐的学习环境，多媒体技术在这方面无疑帮了教师一个大忙。“机器无情人有情”，先不说多媒体技术的鲜明的色彩，动态的画面，和引人入胜的多种的特技，单从多媒体的课件设计的趣味性，就可以体现教师对学生的关爱，体现了以学生为本的理念。例如每个教师在设计考核和测验题时，往往在答题过程后，设计画面和声音都是：“你真棒，答对了！”，“太可惜了，再来一次！”和激励的画面。这都使学生在鼓励中体会成功，真正的进行赏识教育，它可以无数次的原谅学生的失败，真正作到了成功教育，使学生体验成功，还真正教会了学生怎样面对挫折，从而保护了学生积极性。它不会像人一样，因为话说多了而不耐烦，在这里计算机作为教师比常人更有耐心（不过程序是教师设计的）。在有多媒体技术可以通过教师对画面图形的操作，利用线段，角的闪烁，平移、旋转、对称等对学生进行解题的暗示，使学生有良好的心境。培养他们的自信心，和解题的兴趣。这比传统教学中的：“看这里，跟我学，请注意。”的喊叫，不知要强多少倍。这样不会使学生因为逆反心理产生厌学情绪。例如在讲授《中位线定理》时，可以通过平移、旋转、对称，在暗示中讲解中位线定理，图形中的闪烁、旋转学生几乎体察不到教师的提示，不自觉增强了学习几何自信心。再例如在讲授“边角边公理”时的课件设计了翻画片找全等三角形的游戏。在提高了学生判断能力的同时，又增加了学生学几何的兴趣。这一切无不体现了教师对学生的关爱，体现了以学生为本的理念。线段，角的闪烁，平移、旋转、对称等对学生进行解题的暗示，使学生有良好的心境。培养他们的自信心，和解题的兴趣。这比传统教学中的：“看这里，跟我学，请注意。”的喊叫，不知要强多少倍。这样不会使学生因为逆反心理产生厌学情绪。总之，恰当运用现代信息技术手段，是现代化教学的需要，是素质教育的需要，是培养二十一世纪合格人才的需要；同时，恰当地运用现代信息技术手段能使课堂教学形象、具体、生动、直观，能激发起学生学习的兴趣，理清概念，化难为易，化静为动，化繁为简，使具体的画面与抽象的数学内容紧密联系，突破传统的教学方法，挖掘教材的内在潜能，使学生正确形成完整的数学体系和空间观念，让学生充分感受、理解知识产生和发展的过程，开拓学生视野，有利于学生创新意识和能力的培养，就能提高课堂教学效率。

7. 如何发挥多媒体教学在数学教学中的作用

多媒体教学在教学中起到很大的作用。老师可以通过多媒体将声音、图像和视频展现给学生。学生通过多媒体可以获得更多生动的课堂内容。

多媒体是通过电脑和投影仪链接，进行展示教学课件。而展示内容基本都是通过电脑软件来实现。

要想用好多媒体：

首先要熟悉各种多媒体编辑软件。

其次，要准备丰富的音频、图像、视频等课堂素材。

再次，要把多媒体同老师的授课相结合，使课堂内容增多又不失课堂的趣味性。

多媒体教学是指在教学过程中，根据教学目标和教学对象的特点，通过教学设计，合理选择和运用现代教学媒体，并与传统教学手段有机组合，共同参与教学全过程，以多种媒体信息作用于学生，形成合理的教学过程结构，达到最优化的教学效果。

多媒体教学其实古已有之，教师一直在借助文本、声音、图片来进行教学。但是在20世纪80年代开始出现采用多种电子媒体如幻灯、投影、录音、录像等综合运用与课堂教学，这种教学技术又称多媒体组合教学或电化教学，90年代起，随着计算机技术的迅速发展和普及，多媒体计算机已经逐步取代了以往的多种教学媒体的综合使用地位。因此，现在我们通常所说的多媒体教学是特指运用多媒体计算机并借助于预先制作的多媒体教学软件来开展的教学活动过程。它又可以称为计算机辅助教学（computer assisted instruction，即CAI）。

多媒体计算机辅助教学是指利用多媒体计算机，综合处理和控制符号、语言、文字、声音、图形、图像、影像等多种媒体信息，把多媒体的各个要素按教学要求，进行有机组合并通过屏幕或投影机投影显示出来，同时按需要加上声音的配合，以及使用者与计算机之间的人机交互操作，完成教学或训练过程。

所以，多媒体教学通常指的是计算机多媒体教学，是通过计算机实现的多种媒体组合，具有交互性、集成性、可控性等特点，它只是多种媒体中的一种。

它利用计算机技术、网络技术、通讯技术以及科学规范的管理对学习、教学、科研、管理和生活服务有关的所有信息资源进行整合、集成和全面的数字化，以构成统一的用户管理、统一的资源管理和统一的权限控制。侧重于学生可随时通过Wifi接入校园网及互联网，方便的获取学习资源，教师可利用无线网络随时随地查看学生的学习情况、完成备课及进行科研工作。其核心在于无纸化教学的实施，及校园内无线网络的延伸。

8. 交互式投影教学是什么意思

说白了，就是使用电子互动白板来教学。见过可以点击触摸的电子白板吗？ 一米乘两米左右大小的。就是那个。

9. 投影仪在教学应用中应该如何摆放

目前各中小学所使用投影仪
，基本外形尺寸，机体结构大体一致。在使用过程中，往往由于摆放的高度、方位、距离的不正确，造成投影图像变形，画面大小不适中；或阻挡学生观察画面的视线，直接影响投影教学的效果。所以广大教师必须掌握投影仪的摆放技术
，使之规范化、科学化，以达到最佳教学效果。因而要注意以下三个问题：
1、投影仪不应放在教师的讲桌上，这样位置太高,阻挡学生观察画面；也不应放在高度较低的学生椅子上，这样教师操作演示不方便，也易产生投影变形；更不应放在前排学生的课桌上，干扰和影响学生的学习，正确的方法是将投影仪放在高度为80cm左右专门制做的投影仪架上或小车上，使投影仪能自由调整位置，且投影仪工作台距地面高度在1.2m左右为宜。这样既不阻挡学生观察画面的视线，又不影响教师操作。
2、造成投影图像左大右小或左小右大等现象的主要原因是由于投影仪摆放的位置不对.当投影仪放在银幕中心垂直线的左侧时，就造成图像左小右大；当投影仪放在银幕中心垂直线的右侧时，就造成图像左大右小所以投影仪必须放在银幕中心垂直线上，且投影仪与银幕平行，
镜头正对银幕中心时，才能得到左右大小对称图像。通过深入调查了解，有相当一部分教师对投影仪的摆放位置方位很随便，出现上述现象也不会调整；直接影响投影教学效果。所以教师必须学会科学规范的调整方法。
3、目前，有的中小学教室规格不标准，有的教室学生人数超员，造成学生课桌拥挤,教室前面活动过道窄小；有的教室甚至学生课桌靠着讲桌，造成教室没有放投影仪的地方。因而有的教师把投影仪放在讲桌上或学生课桌上使用，影响学生的视力和教学效果。同时由于投影仪放在距离银幕很近，造成图像过小，不到银幕面积的四分之一，影响后排学生观看，正确的投影图像应基本占满银幕幕面。投影图像最小也不得小于银幕幕面的二分之一。只有这样银幕才得到充分利用，为达到好的投影效果，投影仪一般应距银幕2.5m～3.5m的距离。距离的远近取决于投影片的大小，投影片大的距离可近一些，投影片小的距离就要远一些。因此，教师要学会调整距离即画面大小的方法，随时根据投影片的大小及时调整投影仪到银幕的距离。