混沌的研究方法

㈠ 怎么研究“混沌数学”

课题太大，不如小处着手。

㈡ 研究混沌的意义有哪些

混沌现象并不神秘，但在人类认识自然的历史上却意义空前 自从人类开始认识自然以来，一直处于盲人摸象的猜测式探索方式，每一次重大的转折，往往是人们通过工具的帮助，发现了以往我们不知道的现象，最终引起默认思维基点改变，进而迎来认识自然的重大转折和全新的时期。透镜工具的发明，让人类第一次更清楚的看到了微观世界和宏观宇宙，并不断发现新的、以往闻所未闻现象，直到哥白尼发布日心说，彻底颠覆了人们习惯的默认思维与推理起点----地心说，改变了人们的基本思维逻辑，消除了从原有默认思维为起点出发推理引起的无谓的争论和悖论，因此迎来了认识自然以来的一个全新的发展时期，并伴随着牛顿等科学巨匠的不断涌现。 如果说地心说打破的是人类认识自然以来的推理和思考的“默认出发起点”，那么混沌现象被发现和认识，则是颠覆了人类自打认识自然以来始终保持的“默认思维逻辑”----线性因果逻辑。 混沌现象的发现，第一次颠覆了人类始终保持的默认思维逻辑，其意义空前，绝不亚于哥白尼的发现对人类认识自然的影响，人类再一次处在认识自然的重大转折点和全新的发展时期。以往被我们奉为真理无处不在的普遍现象和习惯性思维定式---线性因果论被彻底颠覆，就像突然发现地球不是宇宙的中心一样。 哲学与统计的本质目的，是要通过现象看到自然事物本质，人类的想象和思维都局限在现象的基础之上，地心说时期，无论提与不提，人们的思维定式习惯都是以地球是宇宙的中心作为出发点的，因为他是默认出发起点，并已经形成了顽固思维惯性，难以改变。可见，如果所看到的现象空间受到局限，只运用哲学也不会有什么意义。随着混沌这一现象被发现和认识，第一次颠覆了人类始终保持的默认思维逻辑----线性因果逻辑关系，在把大量的未知变成了已知过程中，将极大消除以往混淆状态下无谓的争论和悖论。哲学的适用范围，是面对未知，对于已知事件，哲学唯一的作用就是把水搅混，就好比，当你已经知道地球不是宇宙的中心，却还在运用哲学去争论和探讨地球中心论。 混沌的发现，很多事件的性质变成了已知，在这类问题上，已经到了停止争论不休的时刻，人类可以抛开这些无谓的争论，把精力智力放在需要的地方。本文远远超过3000字，无法完全转帖，

㈢ 混沌理论简述

混沌，已成为具有严格定义的科学概念，成为一门新科学的名字.混沌，它揭示有序与无序的关系，确定性和随机性的统一，覆盖面广到包括自然科学与社会科学的几乎各个领域.

自然界现象遵循的原则可以看成是一部机器（见图6-1（a））.当我们向机器输入初始条件时，机器会产生一个输出，它告诉我们未来将是怎样的.如果说初始条件Ⅰ发生了很小的变化δ，当这部机器是个线性系统时，输出A只会发生很小的变化δA.我们熟知的牛顿力学方程组就是构成这部机器的核心，这样的动力学方程组确定了过去、现在和将来的关系.因果一一对应是这种机器的特征，这种动力学模型叫做确定性模型.我们在地球科学中遇到的绝大多数模型都属于这种确定性模型.这在科学上是一种传统的经典的模型.但是，自然界还存在着另一种模型：当输入初始条件发生很小变化δ_i（i=1，2，…，∞）时，机器的输出却发生显着的变化，输出的结果分别为A_i（i=1，2，…，∞）.在许多情况下，初始条件δ_i变化是如此之小，以至难于被测量所察觉.然而，一种奇怪现象发生了〔见图6-1（b）〕：一部确定性机器，可以输出许多不同的结果A_i.从有限的观测精度来看，这部机器的输入都是Ⅰ，但输出却是不同的A₁，A₂，…，A_∞，每个A_i的出现是以概率p_i这种统计形式显示出其规律性的.这种对初始条件极端敏感的动力学行为，叫做混沌（Chaos）.不难证明，产生混沌行为的机器的动力学方程组必须是非线性的.因此，混沌动力学是现代非线性理论研究的核心问题之一.在目前已知的绝大多数情况下，输出状态A_i的集合，是一种统计分形集合.

图6-1（a）传统的动力学——确定论；（b）非线性动力学——混沌

混沌概念在稳定的确定性的解和不稳定的确定性的解之间起着桥梁作用.混沌解必须从统计学上进行处理.混沌解在时间演化上以指数方式敏感于初值条件.一个确定解，当其在时间演化时，如果初值相差很少的两个解以指数方式发散，则定义为混沌解.在演化中解的可预测性仅有统计学意义.一个解是混沌的必要条件是支配方程是非线性方程.

混沌体系是一种行为不规则而且对初始条件高度敏感的体系.这种体系的行为又是决定论的，即可用数学方法（常常是很简单的方程）来描述.

混沌现象是非常有意思的，它使决定性系统看起来是非决定性的、杂乱无章的.其实不然，混沌的理论找到了从决定性到非决定性的解释.发现混沌的根源是系统的非线性，而不是外在的因素所致，这无疑是个非常重要的突破.

混沌理论的广泛适用范围和独特的数学手段，使它能够更加全面、准确地揭示和描述客观世界的属性及其复杂的规律性，无论对自然科学研究还是社会科学研究，均有重要的方法论意义.

混沌理论在一定程度上实现了系统行为确定性描述与随机性描述的沟通和统一.在方法论上，它把自然科学中长期存在着的系统行为的确定性和随机性二种不相容的描述体系，即确定性描述和随机性描述沟通起来.混沌理论揭示出，系统行为的随机性在一个确定论的发展过程中作为内在的必然行为而产生出来，这就使我们把系统行为的原因理解为确定性和随机性二种因素.这一事实说明，在描述系统混沌行为时，在一定程度上沟通和统一了确定性和概率论这二种不相容描述体系演化的方法，这是方法论体系的丰富和扩展.

混沌理论表明，混沌现象是系统演化传统概念的有序与无序的中介态.这种形态依赖于形态演化的内在规律性及系统与环境的相互作用，它不是固定不变的，而是系统运动过程中的一种暂态.这就给了我们这样的启示：由于系统行为中有序与无序的相对性以及系统演化为混沌的阶段性，我们要在普遍存在混沌的世界里掌握系统演化的这种机制，加以合理控制，从而有可能利用或避免混沌现象.

混沌理论已向我们展开了广阔的理论和应用前景.在理论上，它深化了人类对客观世界的观察与分析，大大丰富了我们对客观事物的认识，它丰富和发展了系统理论，这或许要影响乃至改变我们对若干问题的看法.在应用上，有可能在一定程度上实现对混沌现象的预测、控制和利用.

混沌有以下几个特性：

（1）随机性.体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为，常称之为内随机性.例如，在一维非线性映射中，即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项，即使控制参数、初始值都是确定的，而系统在混沌区的行为仍表现为随机性.这种随机性自发地产生于系统内部，与外随机性有完全不同的来源与机制，显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用.体系内的局部不稳定是内随机性的特点，也是对初值敏感性的原因所在.

（2）敏感性.系统的混沌运动，无论是离散的或连续的，低维的或高维的，保守的或耗散的，时间演化的还是空间分布的，均具有一个基本特征，即系统的运动轨道对初值的极度敏感性.这种敏感性，一方面反映出在非线性动力学系统内，随机性系统运动趋势的强烈影响；另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性.气象学家洛仑兹（E.N.Lorenz）提出的所谓“蝴蝶效应”，就是对这种敏感性的突出而形象的说明.

（3）分维性.混沌具有分维性质，是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述.例如，Koch雪花曲线的分维数是1.26；描述大气混沌的洛仑兹模型的分维数是2.06.体系的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结，构成具有无穷层次的自相似结构.

（4）普适性.当系统趋于混沌时，所表现出来的特征具有普适意义.其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化.这类系统都与费根鲍姆常数相联系.这是一个重要的普适常数δ=4.66920160910299097….

（5）标度律.混沌现象是一种无周期性的有序态，具有无穷层次的自相似结构，存在无标度区域.只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高，则可以从中发现小尺寸混沌的有序运动花样，所以具有标度律性质.例如，在倍周期分叉过程中，混沌吸引子的无穷嵌套自相似结构，从层次关系上看，具有结构的自相似，具备标度变换下的结构不变性，从而表现出有序性.

混沌定义：令f（x）为区间I到自身的连续映射，如果满足下列条件：

（1）f的周期点的周期无上界.

（2）存在I的不可数子集S，满足

a.对于任何x，y∈S，当x≠y时有

b.对于任何x，y∈S，有

则称f（x）描述的系统为混沌系统，S为f的混沌集.

在日常生活里，洛伦兹所指出的对初始条件的敏感性比比皆是.如一个男人早上晚离家了30分钟，一个花瓶只有毫米之差险些打破他的头，随后他被一辆卡车撞倒.或者说，他没赶上每10分钟一趟的公共汽车，因而耽误了每一小时一趟的火车.一个人日常轨道中的小小扰动可能留下巨大的后果.

对初始条件的敏感性并非一个新概念，民谣中早已有之：缺掉一枚钉，坏了一支蹄铁；缺了一支蹄铁，跌翻了一匹马；翻了一匹马，死了一个骑马的武士；死了这位骑马武士，失去这场战争的胜利；失去了这个胜利，亡掉了这一个帝国！

㈣ 混沌学的原理

关于混沌，我们已经形成了下列一些认识:

(1)我们在此讨论的混沌一般是从有序态演化进入混沌态，因此称为非平衡混沌。

(2)混沌是决定论系统的内在随机性，这种随机性与我们过去所了解的随机性现象，比如掷色子，抛硬币等有很大的区别:具有混沌现象的系统，其短期行为是可以知道的，只有经过长期演化，其结果才是不确定的。

(3)混沌对初值的敏感依赖性。在线性系统中，小扰动只产生结果的小偏差，但对混沌系统，则是"失之毫厘，差之千里"。

(4)混沌不是简单的无序，也不是通常意义下的有序。首先，混沌运动是一种典型的非周期运动，是周期运动对称性的破缺，而对称性破缺实质上意味着有序程度的提高，所以混沌运动是另一种类型的有序;混沌区的系统行为并非真的一团乱麻，混沌谱本身还具有无穷的内部结构，其中嵌套着各种周期窗口，非周期与周期难分难解地交叉、缠绕在一起，表明混沌行为是一种非平庸的有序性;混沌内部的无穷嵌套结构具有标度变换的不变性，局部放大后其结构与整体相似，这种自相似性也是某种意义上的对称性，因此，混沌可以看成具有更高层次上的对称特征的有序态。其次，非平衡混沌遵循着某些共同的规律:奇异吸引子行为。吸引子是描述力学系统状态在相空间的状态点的集合，这些点或点的集合对系统相空间的运动轨线有吸引作用;而有些点，则是状态达不到的点，称为排斥子。从相空间中任一点出发的运动轨线，总是愈来愈趋近于一定的吸引子，而远离排斥子。混沌吸引子与一般系统的吸引子不同，处于混沌态的系统其相轨迹进人吸引子后，两条相距非常近的轨线将发生指数分离。一方面，状态的演化最终要进入吸引子，另一方面，初值敏感依赖性又使系统呈现随机特点，形成了一个矛盾的统一体。

混沌绝不是一堆有趣的数学现象，混沌是比有序更为普遍的现象，它使我们对物质世界有了更深一层次的认识，为我们研究自然的复杂性开辟了一条道路，同时也引出了关于物质世界认识论上的一些哲学思考。

6.2 哲学思考

1 混沌理论提供了使人们领悟这个世界除有序和稳定以外，还有更多的东西。用《哈姆雷特》中的一句话即“在天国和地球上有比你哲理所想象的更多的东西”，混沌让人领悟了自然界圆满的描述必须包括复杂的行为。

2 混沌理论强迫我们正视我们的局限性，通常我们对世界的感性认识受制于我们对自然界的了解。混沌的概念将改变我们的世界观，将我们从钟样宇宙中解放出来，特别是在决定与随机、必然与偶然、有序与无序、稳定与非稳定，简单与复杂，局部与整体等矛盾关系和辩证转化条件与机制方面，给人们以新的启迪。

(1)决定论与非决定论

物理学中有两种人们普遍接受的认识自然的观点，一个是由牛顿经典力学建立起来的因果决定论观点，另一个是由统计力学和量子力学发展起来的概率论观点，这两种规律实验于不同的对象。

混沌的奇特之处在于，它把表现的无序与内在的决定性机制巧妙地融为一体，混沌是内在随机性的代名词。“决定性混沌”说明决定性与随机性之间存在着由此及彼的桥梁，这大大丰富了我们对偶然性和必然性这对辩证法基本范畴的认识。首先，混沌现象继量子力学不确定原理之后，又一次暗示，偶然性在科学上并非是无足轻重的东西。其次，混沌意味着，对某些决定性方程，我们对未来的预测能力受到某种新的根本限制，初始测量的不确定性会扩展于整个吸引子上。混沌将决定性和随机性集于一身，同时既是偶然性又是必然性的东西。它证明在表观的有序背后隐藏着一种奇异的无序，而在无序深处又隐藏着更奇异的秩序。

(2) 稳定性与不稳定性

混沌无论怎样杂乱无章，但既然可用吸引子描述，而吸引子又是有限大小的，因此使得无规无序的运动只能占据有限测度的空间。混沌吸引子的两条轨道既要指数分离，互相排斥、对立，又要保持在有限测度空间中，即被吸引子限制住，因而形成了完美的吸引与排斥的对立统一。系统内所有在吸引子处的状态都向吸引子靠拢，反应了系统运动“稳定性”的一面，而一旦到达吸引子处，其运动又相互排斥，这对应了“不稳定”的一面，“稳定”与不稳定形成了一个矛盾的统一体。

3 混沌理论让我们更贴近现实

自然界是统一的整体，在自然科学中有确定论及概率论两套描述体系，牛顿以来的科学传统比较推崇确定论体系，而统计力学着重于概率描述。但完全的决定论和纯粹的概率论都是抽象的极限情形，真正的自然界介于二者之间。对混沌的研究帮助我们从更为实际的角度认识世界，使我们从确定论和概率论的根深蒂固的人为对立中解脱出来，人们对偶然性和必然性这些哲学范畴的认识也会随之深化

㈤ 关于混沌的一些认识

在混乱中，我们有一定的了解：

（1），我们已经讨论了在这混乱的，有序的状态演化进入混沌状态，所谓的非平衡混乱。

（2）混乱的系统，这种随机性和随意性的现象确定性固有的随机性，我们知道过去发生的，如掷骰子，掷硬币，等方面有很大的区别混沌现象的系统，知道的短期行为，只有经过长时间的演变，其结果是不确定的。

（3）混沌初始值敏感依赖。线性系统，小扰动，产生的结果只有一个小的偏差，但混沌系统，“新官上任三把火”。

（4）混沌不是简单的无序，也不是通常意义上的有序。首先，混沌运动是一种典型的非周期运动，周期运动的对称性破缺对称性破缺，基本上就意味着订货，所以混沌运动的程度的改善，是另一种类型的有序，混沌区的系统行为是不是一个真正的一塌糊涂，混乱光谱本身也有无限的内部结构，嵌套周期窗口，非周期循环有着千丝万缕的交叉缠绕在一起，混乱的行为是一个非平庸的有序;混乱的内部嵌套的结构，具有无限的尺度变换不变性，局部放大的它的结构和整体的相似性，自相似性也是一个对称感，因此，混沌，可视为有序的状态在更高层次上的对称特征。二，非平衡混沌遵循共同的规律：奇怪吸引子的行为。吸引描述的机械系统状态集合在相空间中的状态点，这些点或点的集合，系统的运动轨线在相空间的吸引力，而另一些点，达到这一点是一种境界，叫抑制子。任何阶段从空间的角度来看，总是越来越多的吸引，并远离排除子的运动轨迹。混沌吸引子和一般系统处于混沌状态的系统，它的运动轨迹吸引，两个相距非常接近的铁路线将分离。一方面，国家的演变将最终进入吸引初值的敏感依赖性，另一方面，使系统显示的随机特性的一个矛盾的统一体。

混乱是不是一堆有趣的数学现象，混沌是一种较为常见的现象，不是有序的，它可以让我们对物理世界的一个更深层次的理解，为我们研究自然的复杂性开辟了一个道路，也导致一些物质世界的认识论的哲学思考。

6.2哲学思想的人理解这个世界的有序和稳定，有更多的事情

1混沌理论。 “哈姆雷特”中的一句话“在天堂和地球上的，更多的东西比你想象的理念，混乱人们理解的性质令人满意的描述必须包括复杂的行为。
2混沌理论迫使我们面对我们的的限制，通常我们理解的性质，我们的知觉对世界的认识的混乱概念将会改变我们对世界的看法，我们从钟形的宇宙中解脱出来，特别是在随机的，必然性与偶然性的决定有序和无序，稳定和非稳定的，简单的和复杂的局部与整体等的关系，辩证的条件和机制的矛盾，给人以新的灵感。

（1）的决定非决定论

物理学的角度来看，有两个广泛接受的对自然的认识，一组由牛顿的经典力??学的因果决定论的角度来看，另一种是通过概率统计力学的发展和量子力学理论的角度来看，这两部法律对不同对象的实验。

混乱的奇特之处在于它的性能障碍固有的决定性机制巧妙地融为一体，混沌的内在随机性的代名词。果断混沌“决定性和随机性从这里得到的桥梁，极大地丰富了我们的理解辩证法的基本范畴偶然性和必然性。首先，混沌量子力学的不确定??性原理后，再次暗示，在科学的应急不是一件简单的事情。第二，混沌意味着，一些决定性的方程对未来的预测能力受到初步测量不确定度将扩展到整个吸引一些基本的限制。混沌将是决定性和随机性集于一身，在同一时间同时具有偶然性和必然性。它证明??了一个奇怪的无序隐藏在明显的有序后面的，深藏在无序的奇怪顺序。

（2）稳定和不稳定

混乱，无论是多么的凌乱，但由于描述可以吸引吸引规模有限，从而使随机的无序运动只能占据了有限的措施空间。两个轨道的混沌吸引子指数分离，相互排斥，对抗，也能保持一个有限测度空间是必要的，即被吸引锁定，从而形成对立完美的吸引和排斥的统一。系统状态更接近的吸引吸引，反应系统运行的“稳定”，一旦达到吸引，他们的运动和相互排斥的，这对应于“不稳定”稳定“和不稳定形成了一个矛盾的统一体。 / a>
3混沌理论，让我们更接近现实

自然是一个统一的整体，确定寻址概率论集描述系统在自然科学，科学的传统，因为牛顿更多的尊重确定性系统，重点统计力学的概率描述。全确定性和概率论，纯粹是抽象的限制的情况下，之间的真正本质。在混沌的研究，以帮助我们了解世界，从更实际的角度来看，使我们摆脱确定性和概率人类根深蒂固的反对，也将加深了解的机会，这些哲学范畴的必要性。

㈥ 混沌的混沌研究的发展方向

混沌运动、奇怪吸引子、通向混沌道路等概念的提出，开阔了理论和实验工作者的思路。从20世纪80年代开始，在等离子体放电系统、非线性电路、声学和声光耦合系统、激光器和光双稳态装置、化学振荡反应、动物心肌细胞的强迫振动、野生动物种群的数目消长、人类脑电波信号乃至社会经济活动等领域内到处发现混沌，显示出混沌运动是许多非线性系统的典型行为。作为非线性科学主要研究领域，混沌研究的主要方向集中在如下几个方面：①时空混沌；②量子混沌；③混沌运动的进一步分类；④混沌吸引子的精细刻画；⑤混沌的同步和控制等。
对混沌的研究虽已有一些严格的数学方法，但大量的研究主要依靠计算机数值实验。混沌的研究和许多学科有关。在分析力学中，运用KAM定理可判断一类近似可积的哈密顿系统（一种非线性动力学系统）中能否出现混沌运动。开放系统的混沌运动的研究与耗散结构理论有密切联系。混沌的研究与协同学也紧密相关，两者都研究系统由有序向无序和由无序向有序的转化。在系统科学中，也日益重视对混沌的研究。对混沌研究的应用前景还有待进一步揭示。混沌现象的发现还使人们对于认识确定论与随机论之间的关系得到新的启示。

㈦ 什么是混沌理论

混沌理论（Chaos
theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。
“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯
关于决定论式可预测的幻想。”
首先一点就是未来无法确定。如果某一天确定了，那是撞上了。
第二事物的发展是通过自我相似的秩序来实现的。看见云彩，知道是云彩，看见一座山，就知道是一座山，凭什么？就是相似。这是混沌理论两个基本的概念。
混沌理论还有一个是发展人格，有三个原则：
1、能量永远会遵循阻力最小的途径
2、始终存在着通常不可见的根本结构，这个结构决定阻力最小的途径。
3、这种始终存在而通常不可见的根本结构，不仅可以被发现，而且可以被改变。

㈧ 混沌经济学的研究内容

在研究对象和研究方法上，混沌经济学与传统经济学都是利用提出假设，利用数学工具通过规范推演和实证检验来揭示社会经济现象的客观规律；但是由于客观地认识到经济系统的非均衡、非线性、非理性、时间不可逆、多重解和复杂性等特点，混沌经济学在研究和解决问题的具体思维方式和假设前提上以及确切的方法论上，与传统经济学存在显着差异。
混沌经济学假设关系是非线性的，认为经济系统所呈现的短期不规则涨落并非外部随机冲击的结果，而是系统内部的机制所引起的。经济系统中时间不可逆、多重因果反馈环及不确定性的存在使经济系统本身处于一个不均匀的时空中，具有极为复杂的非线性特征。非对称的供给需求、非对称的经济周期波动(现已证明：经济周期波动呈“泊松分布”而非“正态分布”)非对称的信息、货币的对称破缺（符号经济与实物经济的非一一对应）、经济变量迭代过程中的时滞、人的行为的“有限理性”等正是这种非线性特征的表现。
混沌经济学的时间概念是时间具有不可逆性。认为系统的演化具有累进特征(积累效应)，时间之矢是永远向上的。随着时间的演进，系统总是不断地具有新的性态，绝不重复，原因与结果之间的联系并非唯一确定的，是一种循环因果关系。因此，混沌经济学的一个核心命题是“对初始条件的敏感依赖性”(亦称“蝴蝶效应”)。用通俗的语言来说，混沌系统象一个放大装置，可以将初始条件带进的差异迅速放大，最终将真实状态掩盖，从而实质上导致长期演变轨道的不可预测性。 混沌经济学更注重对递增报酬的研究，认为经济系统在一定条件下（指系统结构演化的各种临界值），小效果的影响力不但不会衰减，而且还倾向于扩大。而这种小效果的扩大趋势也正是由非线性动力系统内的本质特征所决定的。混沌经济学并不排除理性因素，只是认为那种完全理性的假设是不现实的，只有将理性因素和非理性因素综合起来考虑才更符合现实。它认为混沌这种表面上看起来是随机的现象后面隐藏着一定的规律性和秩序，如奇异吸引子、分支、窗口等。混沌学研究的内容就是找出其中存在的规律和秩序，并将事物发展的必然性和偶然性，几率描述和决定论描述统一起来，最后再将研究结果作为工具去解决实践中困扰我们的复杂性难题。
受到众多自然、富有创建性思想体系综合启发的混沌经济学，其思想根基比传统经济学触及更广的自然科学领域，因而也就开阔了它的经济研究视野。

㈨ 混沌神经网络主要研究什么

中文名混沌神经网络网络单层网络系统信息系统模型网络模型1引进2现状混沌神经网络引进编辑目前对混沌神经网络的研究还处于初始阶段，其研究主要限于认识单个神经元的混沌特性和对简单混沌神经网络的行为分析

㈩ 混沌现象的研究起源

1963年，Lorenz（中文名译作洛伦兹）在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，指出在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期与不可预见性之间的联系。他还发现了混沌现象“对初始条件的极端敏感性” 。这可以生动的用“蝴蝶效应”来比喻：在做气象预报时，只要一只蝴蝶扇一下翅膀，这一扰动，就会在很远的另一个地方造成非常大的差异，将使长时间的预测无法进行。
在60年代研究的基础上，混沌学的研究开始进入高潮。1971年，科学家在耗散系统中正式的引入了奇异吸引子的概念（如Henon吸引子[见图（1-1）]、Lorenz吸引子[见图（2-2）]。1975年，J.York和T.Y lie提出了混沌的科学概念。整个70年代中期，人们不但在理论上对混沌做更深层次的研究，而且努力在实验室中找寻奇异吸引子。J.York在他的着名论文“周期3意味着混沌”中，指出：在任何一维系统中，只要出现周期3，则该系统也能出现其他长度的周期，也能呈现完全的混沌。
在确定性的系统中发现混沌，改变了人们过去一直认为宇宙是一个可以预测的系统的看法。用决定论的方程，找不到稳定的模式，得到的却是随机的结果，彻底打破了拉普拉斯决定论式的可预测性的幻想。但人们同时发现到过去许多曾被认为是噪声的信号，其实是一些简单的规则生成的。这些包含内在规则的“噪声”不同于真正的噪声，它们的这种规则是完全可以应用的。