⑴ 一文总结聚类分析步骤！
一、聚类
1.准备工作
（1） 研究目的
聚类分析是根据事物本身的特性研究个体分类的方法，聚类分析的原则是同一类别的个体有较大相似性，不同类别的个体差异比较大。
（2） 数据类型
1）定量：数字有比较意义，比如数字越大代表满意度越高，量表为典型定量数据。
2）定类：数字无比较意义，比如性别，1代表男，2代表女。
PS： SPSSAU会根据数据类型自动选择聚类方法。
K-modes聚类： 数据类型仅定类时。
2.上传数据到SPSSAU
登录账号后进入SPSSAU页面，点击右上角“上传数据”，将处理好的数据进行“点击上传文件”上传即可。
3.SPSSAU操作
（1）拖拽分析项
1） SPSSAU进阶方法→聚类。
2）检查
检查分析项是否都在左侧分析框中。
3）进行拖拽
（2）选择参数
聚类个数： 聚类个数设置为几类主要以研究者的研究思路为标准，如果不进行设置，SPSSAU默认聚类个数为3，通常情况下，建议设置聚类数量介于3~6个之间。
标准化： 聚类算法是根据距离进行判断类别，因此一般需要在聚类之前进行标准化处理，SPSSAU默认是选中进行标准化处理。数据标准化之后，数据的相对大小意义还在（比如数字越大GDP越高），但是实际意义消失了。
保存类别： 分析选择保存‘保存类别’，SPSSAU会生成 新标题 用于标识，也可以右上角“我的数据”处查看到分析后的“聚类类别”。
新标题类似如下：Cluster_********。
4.SPSSAU分析
（1）聚类类别基本情况汇总分析
使用聚类分析对样本进行分类，使用Kmeans聚类分析方法，从上表可以看出：最终聚类得到4类群体，此4类群体的占比分别是20.00%, 30.00%, 20.00%, 30.00%。整体来看， 4类人群分布较为均匀，整体说明聚类效果较好。
（2）聚类类别汇总图分析
上图可以直观的看到各个类别所占百分比，4类群体的占比分别是20.00%, 30.00%, 20.00%, 30.00%。
（3）聚类类别方差分析差异对比
使用方差分析去探索各个类别的差异特征，从上表可知：聚类类别群体对于所有研究项均呈现出显着性(p<0.05),意味着聚类分析得到的4类群体，他们在研究项上的特征具有明显的差异性，具体差异性可通过平均值进行对比，并且最终结合实际情况，对聚类类别进行命名处理。
（4）聚类项重要性对比
从上述结果看，所有研究项均呈现出显着性，说明不同类别之间的特征有明显的区别，聚类的效果较好。
（5）聚类中心
5.其它说明
（1）聚类中心是什么？
聚类中心是聚类类别的中心点情况，比如某类别时年龄对应的聚类中心为20，意味着该类别群体年龄基本在20岁左右。初始聚类中心基本无意义，它是聚类算法随机选择的聚类点，如果需要查看聚类中心情况，需要关注于最终聚类中心。实际分析时聚类中心的意义相对较小，其仅为聚类算法的计算值而已。
（2）k-prototype聚类是什么？
如果说聚类项中包括定类项，那么SPSSAU默认会进行K-prototype聚类算法（而不是kmeans算法）。定类数据不能通过数字大小直接分析距离，因而需要使用K-prototype聚类算法。
（3）聚类分析时SSE是什么意思？
在进行Kmeans聚类分析时SPSSAU默认输出误差平方和SSE值，该值可用于测量各点与中心点的距离情况，理论上是希望越小越好，而且如果同样的数据，聚类类别越多则SSE值会越小（但聚类类别过多则不便于分析）。
SSE指标可用于辅助判断聚类类别个数，建议在不同聚类类别数量情况下记录下SSE值，然后分析SSE值的减少幅度情况，如果发现比如从3个聚类到4个类别时SSE值减少幅度明显很大，那么此时选择4个聚类类别较好。
二、分层聚类
1.准备工作
（1）研究目的
从分析角度上看，聚类分析可分为两种，一种是按样本（或个案）聚类，此类聚类的代表是K-means聚类方法；另外一种是按变量（或标题）聚类，此类聚类的代表是分层聚类。
（2）数据类型
2.上传数据到SPSSAU
登录账号后进入SPSSAU页面，点击右上角“上传数据”，将处理好的数据进行“点击上传文件”上传即可。
3.SPSSAU操作
（1）拖拽分析项
1） SPSSAU进阶方法→分层聚类。
2）检查
检查分析项是否都在左侧分析框中。
3）进行拖拽
（2）确定参数
SPSSAU会默认聚类为3类并且呈现表格结果，如果希望更多的类别个数，可自行进行设置。
4.SPSSAU分析
（1）聚类项描述分析
上表格展示总共8个分析项（即8个裁判数据）的基本情况，包括均值，最大或者最小值，中位数等，以便对于基础数据有个概括性了解。整体上看，8个裁判的打分基本平均在8分以上。
（2）聚类类别分布表分析
总共聚类为3个类别，以及具体分析项的对应关系情况。在上表格中展示出来，上表格可以看出：裁判8单独作为一类；裁判5，3，7这三个聚为一类；以及裁判1，6，2，4作为一类。
（PS：聚类类别与分析项上的对应关系可以在上表格中得到，同时也可以查看聚类树状图得出更多信息。至于聚类类别分别应该叫做什么名字，这个需要结合对应有关系情况，自己单独进行命名。）
（3）聚类树状图分析
上图为聚类树状图的展示，聚类树状图是将聚类的具体过程用图示法手法进行展示；最上面一行的数字仅仅是一个刻度单位，代表相对距离大小；一个结点表示一次聚焦过程。
树状图的解读上，建议单独画一条垂直线，然后对应查看分成几个类别，以及每个类别与分析项的对应关系。比如上图中，红色垂直线最终会拆分成3个类别；第1个类别对应裁判8；第2个类别对应裁判5，3，7；第3个类别对应裁判1，6，2，4。
如果是聚为四类；从上图可看出，明显的已经不再合适。原因在于垂直线不好区分成四类。也即说明有2个类别本应该在一起更合适（上图中的裁判1与6/2/4）；但是如果分成4类，此时裁判1会单独成一类。所以画垂直线无法区分出类别。因而综合分析来看，最终聚类为3个类别最为适合。
当然在分析时也可以考虑分成2个类别，此时只需要对应将垂直线移动即可。
5.其它说明
（1）针对分层聚类，需要注意以下几点：
（2）什么时候做因子分析后再做聚类分析？
如果题项较多，可先做因子分析，得到每个维度（因子）的数据，再进行聚类。
三、总结
聚类分析广泛的应用于自然科学、社会科学等领域。在分析时可以比较多次聚类结果，综合选择更适合的方案。
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⑵ 聚类分析法
聚类分析，亦称群分析或点分析，是研究多要素事物分类问题的数量方法。其基本原理是，根据样本自身的属性，用数学方法按照某些相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按亲疏关系的程度对样本进行聚类（徐建华，1994）。
聚类分析方法，应用在地下水中，是在各种指标和质量级别标准约束条件下，通过样品的各项指标监测值综合聚类，以判别地下水质量的级别。常见的聚类分析方法有系统聚类法、模糊聚类法和灰色聚类法等。
（一）系统聚类法
系统聚类法的主要步骤有：数据标准化、相似性统计量计算和聚类。
1.数据标准化
在聚类分析中，聚类要素的选择是十分重要的，它直接影响分类结果的准确性和可靠性。在地下水质量研究中，被聚类的对象常常是多个要素构成的。不同要素的数据差异可能很大，这会对分类结果产生影响。因此当分类要素的对象确定之后，在进行聚类分析之前，首先对聚类要素进行数据标准化处理。
假设把所考虑的水质分析点（G）作为聚类对象（有m个），用i表示（i=1，2，…，m）；把影响水质的主要因素作为聚类指标（有n个），用j表示（j=1，2，…，n），它们所对应的要素数据可用表4-3给出。在聚类分析中，聚类要素的数据标准化的方法较多，一般采用标准差法和极差法。
表4-3 聚类对象与要素数据
对于第j个变量进行标准化，就是将xij变换为x′ij。
（1）总和标准化
区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究
这种标准化方法所得的新数据x′ij满足
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（2）标准差标准化
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式中：
由这种标准化方法所得的新数据x′ij，各要素的平均值为0，标准差为1，即有
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（3）极差标准化
区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究
经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1，极小值为0，其余的数值均在［0，1］闭区间内。
上述式中：xij为j变量实测值；xj为j变量的样本平均值；sj为样本标准差。
2.相似性统计量
系统聚类法要求给出一个能反映样品间相似程度的一个数字指标，需要找到能量度相似关系的统计量，这是系统聚类法的关键。
相似性统计量一般使用距离系数和相似系数进行计算。距离系数是把样品看成多维空间的点，用点间的距离来表示研究对象的紧密关系，距离越小，表明关系越密切。相似系数值表明样本和变量间的相似程度。
（1）距离系数
常采用欧几里得绝对距离，其中i样品与j样品距离dij为
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dij越小，表示i，j样品越相似。
（2）相似系数
常见的相似系数有夹角余弦和相关系数，计算公式为
1）夹角余弦
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在式（4-20）中：-1≤cosθij≤1。
2）相关系数
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式中：dij为i样品与j样品的欧几里得距离；cosθij为i样品与j样品的相似系数；rij为i样品与j样品的相关系数；xik为i样品第k个因子的实测值或标准化值；xjk为j样品第k个因子的实测值或标准化值；
3.聚类
在选定相似性统计量之后，根据计算结果构成距离或相似性系数矩阵（n×n），然后通过一定的方法把n个样品组合成不同等级的分类单位，对类进行并类，即将最相似的样品归为一组，然后，把次相似的样品归为分类级别较高的组。聚类主要有直接聚类法、距离聚类法（最短距离聚类法、最远距离聚类法）。
（1）直接聚类法
直接聚类法，是根据距离或相似系数矩阵的结构一次并类得到结果，是一种简便的聚类方法。它首先把各个分类对象单独视为一类，然后根据距离最小或相似系数最大的原则，依次选出一对分类对象，并成新类。如果一对分类对象正好属于已归的两类，则把这两类并为一类。每一次归并，都划去该对象所在的列与列序相同的行。经过n-1次把全部分类对象归为一类，最后根据归并的先后顺序作出聚类分析谱系图。
（2）距离聚类法
距离聚类法包括最短距离聚类法和最远距离聚类法。最短距离聚类法具有空间压缩性，而最远距离聚类法具有空间扩张性。这两种聚类方法关于类之间的距离计算可以用一个统一的公式表示：
区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究
当γ=-0.5时，式（4-22）计算类之间的距离最短；当γ=0.5时，式（4-22）计算类之间的距离最远。
最短、最远距离法，是在原来的n×n距离矩阵的非对角元素中找出dpq=min（dij）或dpq=max（dij），把分类对象Gp和Gq归并为一新类Gr，然后按计算公式：
dpq=min（dpk，dqk）（k≠ p，q） （4-23）
dpq=max（dpk，dqk）（k≠ p，q） （4-24）
计算原来各类与新类之间的距离，这样就得到一个新的（n-1）阶的距离矩阵；再从新的距离矩阵中选出最小或最大的dij，把Gi和Gj归并成新类；再计算各类与新类的距离，直至各分类对象被归为一类为止。最后综合整个聚类过程，作出最短距离或最远距离聚类谱系图（图4-1）。
图4-1 地下水质量评价的聚类谱系图
（二）模糊聚类法
模糊聚类法是普通聚类方法的一种拓展，它是在聚类方法中引入模糊概念形成的。该方法评价地下水质量的主要步骤，包括数据标准化、标定和聚类3个方面（付雁鹏等，1987）。
1.数据标准化
在进行聚类过程中，由于所研究的各个变量绝对值不一样，所以直接使用原始数据进行计算就会突出绝对值大的变量，而降低绝对值小的变量作用，特别是在进行模糊聚类分析中，模糊运算要求必须将数据压缩在［0，1］之间。因此，模糊聚类计算的首要工作是解决数据标准化问题。数据标准化的方法见系统聚类分析法。
2.标定与聚类
所谓标定就是计算出被分类对象间的相似系数rij，从而确定论域集U上的模糊相似关系Rij。相似系数的求取，与系统聚类分析法相同。
聚类就是在已建立的模糊关系矩阵Rij上，给出不同的置信水平λ（λ∈［0，1］）进行截取，进而得到不同的分类。
聚类方法较多，主要有基于模糊等价关系基础上的聚类与基于最大树的聚类。
（1）模糊等价关系方法
所谓模糊等价关系，是指具有自反性（rii=1）、对称性（rij=rji）与传递性（R·R⊆R）的模糊关系。
基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法的基本思想是：由于模糊等价关系R是论域集U与自己的直积U×U上的一个模糊子集，因此可以对R进行分解，当用λ-水平对R作截集时，截得的U×U的普通子集Rλ就是U上的一个普通等价关系，也就是得到了关于U中被分类对象元素的一种。当λ由1下降到0时，所得的分类由细变粗，逐渐归并，从而形成一个动态聚类谱系图（徐建华，1994）。此类分析方法的具体步骤如下。
第一步：模糊相似关系的建立，即计算各分类对象之间相似性统计量。
第二步：将模糊相似关系R改造为模糊等价关系R′。模糊等价关系要求满足自反性、对称性与传递性。一般而言，模糊相似关系满足自反性和对称性，但不满足传递性。因此，需要采用传递闭合的性质将模糊相似关系改造为模糊等价关系。改造的方法是将相似关系R自乘，即
R2=R·R
R4=R2·R2
︙
这样计算下去，直到：R2k=Rk·Rk=Rk，则R′=Rk便是一个模糊等价关系。
第三步：在不同的截集水平下进行聚类。
（2）最大树聚类方法
基于最大树的模糊聚类分析方法的基本思路是：最大树是一个不包含回路的连通图（图4-2）；选取λ水平对树枝进行截取，砍去权重低于λ 的枝，形成几个孤立的子树，每一棵子树就是一个类的集合。此类分析方法的具体步骤如下。
图4-2 最大聚类支撑树图
第一步：计算分类对象之间的模糊相似性统计量rij，构建最大树。
以所有被分类的对象为顶点，当两点间rij不等于0时，两点间可以用树干连接，这种连接是按rij从大到小的顺序依次进行的，从而构成最大树。
第二步：由最大树进行聚类分析。
选择某一λ值作截集，将树中小于λ值的树干砍断，使相连的结点构成一类，即子树，当λ由1到0时，所得到的分类由细变粗，各结点所代表的分类对象逐渐归并，从而形成一个动态聚类谱系图。
在聚类方法中，模糊聚类法比普通聚类法有较大的突破，简化了运算过程，使聚类法更易于掌握。
（三）灰色聚类法
灰色聚类是根据不同聚类指标所拥有的白化数，按几个灰类将聚类对象进行归纳，以判断该聚类对象属于哪一类。
灰色聚类应用于地下水水质评价中，是把所考虑的水质分析点作为聚类对象，用i表示（i=1，2，…，n）；把影响水质的主要因素作为聚类指标，用j表示（j=1，2，…，m），把水质级别作为聚类灰数（灰类），用k表示（k=1，2，3）即一级、二级、三级3个灰类（罗定贵等，1995）。
灰色聚类的主要步骤：确定聚类白化数、确定各灰色白化函数fjk、求标定聚类权重ηjk、求聚类系数和按最大原则确定聚类对象分类。
1.确定聚类白化数
当各灰类白化数在数量上相差悬殊时，为保证各指标间的可比性与等效性，必须进行白化数的无量纲化处理。即给出第i个聚类对象中第j个聚类指标所拥有的白化数，i=1，2，…，n；j=1，2，…，m。
2.确定各灰色白化函数
建立满足各指标、级别区间为最大白化函数值（等于1），偏离此区间愈远，白化函数愈小（趋于0）的功效函数fij（x）。根据监测值Cki，可在图上（图4-3）解析出相应的白化函数值fjk（Cik），j=1，2，…，m；k=1，2，3。
3.求标定聚类权重
根据式（4-25），计算得出聚类权重ηjk的矩阵（n×m）。
区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究
式中：ηjk为第j个指标对第k个灰类的权重；λjk为白化函数的阈值（根据标准浓度而定）。
图4-3 白化函数图
注：图4-3白化函数f（x）∈［0，1］，具有下述特点：①平顶部分，表示该量的最佳程度。这部分的值为最佳值，即系数（权）为1，f（x）=max=1（峰值），x∈［x2，x3］。②白化函数是单调变化的，左边部分f（x）=L（x），单调增，x∈（x1，x2］，称为白化的左支函数；右边部分f（x）=R（x），单调减，x∈［x3，x4），称为白化的右支函数。③白化函数左右支函数对称。④白化函数，为了简便，一般是直线。⑤白化函数的起点和终点，一般来说是人为凭经验确定。
4.求聚类系数
σik=∑fjk（dij）ηjk （4-26）
式中：σik为第i个聚类对象属于第k个灰类的系数，i=1，2，…，n；k=1，2，3。
5.按最大原则确定聚类对象分类
由σik构造聚类向量矩阵，行向量最大者，确定k样品属于j级对应的级别。
用灰色聚类方法进行地下水水质评价，能最大限度地避免因人为因素而造成的“失真、失效”现象。
聚类方法计算相对复杂，但是计算结果与地下水质量标准级别对应性明显，能够较全面反映地下水质量状况，也是较高层次定量研究地下水质量的重要方法。