‘壹’ 分形理论简述
分形几何（Fractal Geometry）的概念是由曼德布罗特（B.B.Mandelbrot.1975）在1975年首先提出的.几十年来，它已经发展成为一门新型的数学分支.这是一个研究和处理自然与工程中不规则图形的强有力的理论工具，它的应用几乎涉及自然科学的各个领域，甚至于社会科学，并且实际上正起着把现代科学各个领域连接起来的作用，分形是从新的角度解释了事物发展的本质.
分形（fractal）一词最早由B.B.Mandelbrot于1975年从拉丁文fractus创造出来，《自然界中的分形几何》（Mandelbrot，1982）为其经典之作.最先它所描述的是具有严格自相似结构的几何形体，物体的形状与标度无关，子体的数目N（r）与线性尺度（标度r）之间存在幂函数关系，即N（r）∝1/rD.分形的核心是标度不变性（或自相似性），即在任何标度下物体的性质（如形状，结构等）不变.数学上的分形实际是一种具有无穷嵌套结构的极限图形，分形的突出特点就是不存在特征尺度，描述分形的特征量是分形维数D.不过，现实的分形只是在一定的标度范围内呈现出自相似或自仿射的特性，这一标度范围也就称为（现实）分形的无标度区，在无标度区内，幂函数关系始终成立.
分形理论认为，分形内部任何一个相对独立的部分，在一定程度上都是整体的再现和相对缩影（分形元），人们可以通过认识部分来认识整体.但是分形元只是构成整体的单位，与整体相似，并不简单地等同于整体，整体的复杂性远远大于分形元.更为重要的是，分形理论指出了分形元构成整体所遵循的原理和规律，是对系统论的一个重要的贡献.
从分析事物的角度来看，分形论和系统论体现了从两个极端出发达到对事物全面认识的思路.系统论从整体出发来确立各部分的系统性质，从宏观到微观考察整体与部分的相关性；而分形论则是从部分出发确立整体性质，沿着从微观到宏观的方向展开.系统论强调部分对整体的依赖性，而分形论则强调整体对部分的依赖性，两者的互补，揭示了系统多层次面、多视角、多方位的联系方式，丰富和深化了局部与整体之间的辩证关系.
分形论的提出，对科学认识论与方法论具有广泛而深远的意义.第一，它揭示了整体与部分之间的内在联系，找到了从部分过渡到整体的媒介与桥梁，说明了部分与整体之间的信息“同构”.第二，分形与混沌和现代非线性科学的普遍联系与交叉渗透，打破了学科间的条块分割局面，使各个领域的科学家团结在一起.第三，为描述非线性复杂系统提供了简洁有力的几何语言，使人们的系统思维方法由线性进展到非线性，并得以从局部中认识整体，从有限中认识无限，从非规则中认识规则，从混沌中认识有序.
分形理论与耗散结构理论、混沌理论是相互补充和紧密联系的，都是在非线性科学的研究中所取得的重要成果.耗散结构理论着眼于从热力学角度研究在开放系统和远离平衡条件下形成的自组织，为热力学第二定律的“退化论”和达尔文的“进化论”开辟了一条联系通道，把自然科学和社会科学置于统一的世界观和认识论中.混沌理论侧重于从动力学观点研究不可积系统轨道的不稳定性，有助于消除对于自然界的确定论和随机论两套对立描述体系之间的鸿沟，深化对于偶然性和必然性这些范畴的认识.分形理论则从几何角度，研究不可积系统几何图形的自相似性质，可能成为定量描述耗散结构和混沌吸引子这些复杂而无规则现象的有力工具，进一步推动非线性科学的发展.
分形理论是一门新兴的横断学科，它给自然科学、社会科学、工程技术、文学艺术等极广泛的学科领域提供了一般的科学方法和思考方式.就目前所知，它有很高程度的应用普遍性.这是因为，具有标度不变性的分形结构是现实世界普遍存在的一大类结构，该结构的含义十分丰富，它不仅指研究对象的空间几何形态，而是一般地指其拓扑维（几何维数）小于其测量维数的点集，如事件点的分布，能量点的分布，时间点的分布，过程点的分布，甚至是意识点、思维点的分布.
分形思想的基本点可以简单表述如下：分形研究的对象是具有自相似性的无序系统，其维数的变化是连续的.从分形研究的进展看，近年来，又提出若干新的概念，其中包括自仿射分形、自反演分形、递归分形、多重分形、胖分形等等.有些分形常不具有严格的自相似性，正如定义所表达的，局部以某种方式与整体相似.
分形理论的自相似性概念，最初是指形态或结构的相似性，即在形态或结构上具有相似性的几何对象称为分形，研究这种分形特性的几何称为分形几何学.随着研究工作的深入发展和领域的拓展，又由于一些新学科，如系统论、信息论、控制论、耗散结构理论和协同论等相继涌现的影响，自相似性概念得到充实与扩展，把信息、功能和时间上的自相似性也包含在自相似性概念之中.于是，把形态（结构）、或信息、或功能、或时间上具有自相似性的客体称为广义分形.广义分形及其生成元可以是几何实体，也可以是由信息或功能支撑的数理模型，分形体系可以在形态（结构）、信息和功能各个方面同时具有自相似性，也允许只在某一方面具有自相似性；分形体系中的自相似性可以是完全相似，这种情况是不多见的，也可以是统计意义上的相似，这种情况占大多数，相似性具有层次或级别上的差别.级别最低的为生成元，级别最高的为分形体系的整体.级别愈接近，相似程度越好，级别相差愈大，相似程度越差，当超过一定范围时，则相似性就不存在了.
分形具有以下几个基本性质：
（1）自相似性是指事物的局部（或部分）与整体在形态、结构、信息、功能和时间等方面具有统计意义上的相似性.
（2）适当放大或缩小分形对象的几何尺寸，整个结构并不改变，这种性质称为标度不变性.
（3）自然现象仅在一定的尺度范围内，一定的层次中才表现出统计自相似性，在这样的尺度之外，不再具有分形特征.换言之，在不同尺度范围或不同层次上具有不同的分形特征.
（4）在欧氏几何学中，维数只能是整数，但是在分形几何学中维数可以是整数或分数.
（5）自然界中分形是具有幂函数分布的随机现象，因而必须用统计的方法进行分析和处理.
目前分形的分类有以下几种：①确定性分形与随机分形；②比例分形与非比例分形；③均匀分形与非均匀分形；④理论分形与自然分形；⑤空间分形与分形事件（时间分形）.
分形研究应注意以下几个问题：
（1）统计性（随机性）.研究统计意义上的分形特征，由统计数据分析中找出稳态规律，才能最客观地描述自然纹理与粗糙度.从形成过程来看，分形是一个无穷随机过程的体现.如大不列颠海岸线的复杂度是由长期海浪冲击、侵蚀及风化形成的，其他许多动力过程、凝聚过程也都是无穷随机的，不可能由某个特征量来形成.因此，探讨分形与随机序列、信息熵之间的内在联系是非常必要的.
（2）全局性.分形是整体与局部比较而存在的，它包括多层嵌套及无穷的精细结构.研究一个平面（二维）或立体（三维）的粗糙度，要考虑全局范围各个方向的平稳性，即区别各向同性或各向异性分布规律.
（3）多标度性.一个物体的分形特性通常是在某些尺度下体现出来，在另一些尺度下则不是分形特性.理想的无标度区几乎不存在，只有从多标度中研究分形特性才较实际.
模型的建立，其实是分形（相似性）模型的建立.利用相似性原理，建立模型单元，对预测单元进行分形处理和预测.
分形的正问题是给出规律，通过迭代和递推过程产生分形，产生的几何对象显然具有某种相似性.反问题叫做分形重构.广义而言，它指任何一个几何上认为是分形的图形，能否找到产生它的规律，以某种方式来生成它.当我们研究非线性动力学时，混沌动力学会产生分形，而分形重构则是动力学系统研究的逆问题.由于存在“一因多果”、“多因一果”，由分维重构分形还需加入另外参数.
临界现象与分形有关.重整化群是研究临界现象的一种方法.该方法首先对小尺寸模型进行计算，然后被重整化至大的或更大的尺度.如果我们有网格状的一组元素，每个元素具有一定的渗透概率，重整化群方法的一个应用就是计算渗透的开始问题.当元素渗透率达到某一临界值时，这一组元素的渗透流动就会突然地发生.一旦流动开始后，相联结元素之间便具有分形结构.
自组织临界现象的概念可以用来分析地震活动性.按照这个概念，一个自然界的系统处在稳定态的边缘，一旦偏离这个状态，系统会自然地演化回到边缘稳定的状态.临界状态不存在天然的长度标度，因而是分形的.简单的细胞自动机模型可以说明这种自组织临界现象.
分形理论作为非线性科学的一个分支，是研究自然界空间结构复杂性的一门学科，可从复杂的看似无序的图案中，提取出确定性、规律性的参量.既可以反演分形结构的形成机制，又可以从看似随机的演化过程（时间序列）中推测体系演化的结果，近年来倍受地球科学家的注意.在地质统计学，孔隙介质、储层非均匀性及石油勘探开发，固相表面或两相界面，岩石破裂、断层及地震和地形、地貌学等地球科学各个领域得到了广泛的应用.
自20世纪80年代初以来，一些专家学者注意到了地质学中的自相似现象，并试图将分形理论运用于地学之中.以地质学中普遍存在的自相似性现象、地质体高度不规则性和分割性与层次性、地质学中重演现象的普遍性、分形几何学在其他学科中应用实例与地质学中的研究对象的相似性、地质学中存在一些幂函数关系等为内在基础，以地质学定量化的需要、非线性地质学的发展及线性地质学难以解决诸多难点、分形理论及现代测试和电算技术的发展为外在基础，使分形理论与地质学相结合成为可能，它的进一步发展将充实数学地质的研究内容并推动数学地质迈上一个新台阶.目前，分形理论应用于地球科学主要包括以下两个方面的研究：
（1）对“地质存在”——地质体或某些地质现象的分形结构分析，求取相应分形维数，寻找分维值与有关物理参量之间的联系，探讨分形结构形成的机理.这方面的研究相对较多，如人们已对断裂、断层和褶皱等地质构造（现象）进行了分形分析，探讨分维值与岩石力学性质等之间的关系；从大到海底（或大陆）地貌，小到纳米级的微晶表面证实了各类粗糙表面具有分形特征；计算了河流网络，断裂网络，地质多孔介质和粘性指进的分维值以及脉厚与品位或品位与储量等之间的分形关系.
（2）对“地质演化”——地质作用过程进行分形分析，求取分形维数并考察其变化趋势，从而预测演化的结果.例如，科学家们通过对强震前小震分布的分形研究表明，强震前普遍出现降维现象，从而为地震预报提供有力理论工具.当今的研究，不仅仅局限于分维数的计算，分形模型的建立；而更着重于解释地质学中引起自相似性特征的原因或成因，自相似体系的生成过程及模拟，以及用分形理论解决地质学中的疑难问题与实践问题，如地震和灾害地质的预报、石油预测、岩体力学类型划分、成矿规律与成矿预测等.地球化学数据在很大程度上反映了地质现象的结构特征.分维是描述分形结构的定量参数，它有可能揭示出地球化学元素空间分布的内在规律.
分维与地质异常有一定的关系.我们可以对不同地段以一定的地质内容为参量对比它们分维大小的差异，以此求得结构地段的位置及范围，从而确定地质异常；也可以对不同时期可恢复的历史地质结构格局分别求分维，还可以确定分维背景值.分形是自然界中普遍存在的一种规律性.
总之，分形理论已经渗透到地学领域的各个角落，应用范围涉及地球物理学、地球化学、石油地质学、构造地质学及灾害地质学等.
‘贰’ 请大侠们帮忙把分形理论介绍一下，最好有一些实际方面的应用！
分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的着名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractalgeometry)。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory)。
自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的又一重要原则。分维,又称分形维或分数维,通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维,直线为一维,平面为二维,空间为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑,可建立高维空间,但都是整数维。在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。然而,这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成了三维的柱,三维的柱又可分解成一维的纤维。那么,介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?
显然,并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫维数。记作Df,一般的表达式为:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取对数并整理得Df=lnK/lnL,其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数,K为得到的新客体是原客体的倍数。显然,Df在一般情况下是一个分数。因此,曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准?因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算,英国海岸线的维数为1.26。有了分维,海岸线的长度就确定了。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论,其启示是多方面的:一是分形整体与局部形态的相似,启发人们通过认识部分来认识整体,从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
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分形理论及其发展历程
被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。
1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。
1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。
1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。
1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。
1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。
1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
二
1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。
1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何第一部着作《分形：形状、机遇和维数》。1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓朴维数的集合，总结了根据自相似性计算实验维数的方法，由于相似维数只对严格自相似这一小类集有意义，豪斯道夫维数虽然广泛，但在很多情形下难以用计算方法求得，因此分形几何的应用受到局限。
1982年，曼德尔布罗特的新着《自然界的分形几何》出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避免这一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充维数，
1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普罗克西娅（I.Procaccia）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。
1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1982年德金（F.M.Dekking）研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。1989年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。
随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1982年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。
自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。确定性的古典分形集加入随机性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1968年，曼德尔布罗特研究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1974年他又提出了分形渗流模型。1988年，柴叶斯（j.T.Chayes）给出了详细的数学分析。1984年，扎乐（U.Zahle）通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。
三
动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1963年，气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。
1976年，法国天文学家伊侬（M.Henon）考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1986年劳威尔（H.A.Lauwerier）将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：
（1） 局部不连通的分形集；
（2） 局部连通的分形拟圆周；
（3） 既不局部连能又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。
动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（G.Julia）和法图（P.Fatou）于1918-1919年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。随后50年间，这方面的研究没有得到什么进展。
随着可用机算机来做实验，这一研究课题才又获得生机。1980年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集（M集）的第一张图来。1982道迪（A.Douady）构造了含参二次复映射fc ，其朱利亚集J（fc）随参数C的变化呈现各种各样的分形图象，着名的有道迪免子，圣马科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集与映射系数的关系，解新局面了解析映射击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫维数的数值解法。1983年，韦当（M.Widom）进一步推广了部分结果 。法图1926年就就开始整函数迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）证明指数映射的J集为复平面，解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J的性质差异，1984年德万尼（R.L.Devanney）证明指数映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或复平面而J（fc）是康托尘或连通集。
复平面上使J（fc）成为连通集的点C组成M集即曼德尔布罗特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）认为，M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得重大进展，使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的，人们猜测M集是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通，目前尚不清楚。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。
M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个J集的图解目录表作用，即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学密性至今仍未确定，谭磊（Tan Lei）1985年证明了在每一个密休威茨点邻近M集与相关的J集之间存在着相似性。尤金斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。1991年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实，研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。
巴斯莱（B.M.Barnsley）和德门科（S.Demko）1985年引入迭代函数系统，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。1985年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到M集D并D与M在连通性上的差异。在一线性映射系迭代下，可以产生着名的分形曲线——双生龙曲线。1986年水谷（M.Mitzutani）等对其动力系统进行了研究。
一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集，贝德浮德（T.Bedford）等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。卡普兰（j.L.Kaplan）和约克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨（L.S.Young）1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。
多重分形（multifractals）是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔（T.Bohr）等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年，阿内多（A.Arneodo）等人将子波变换用于多重分形研究。费德（J.Feder）、特尔（T.Tel）等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李（J.Lee）等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克（C.Beck）得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。1991年科维克（Z.Kov.acs）等引入双变量迭代系统，最大特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。
四
分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，是应用分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。
在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，M集和J集表现出的简单性与复杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界（SOC）现象的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。可以预言，一场关于分形科学哲学问题的讨论即将在国内展开。
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分形理论与波动理论研究http://www.chinavalue.net/showarticle.aspx?id=16055
迷人的分形理论控制了金融市场http://finance.sina.com.cn/forex/forexinfo/20050916/12161974322.shtml
分形理论与化学工程中的应用http://www.bookschina.com/1363175.htm
分形理论在城市研究中的应用http://www.tjplan.com/Article/ShowArticle.asp?ArticleID=3720
分形理论及其在水处理工程中的应用http://www.863p.com/water/WaterWscl/200611/15998_4.html
分形理论对教育研究的方法论启示http://ced.xxjy.cn/RESOURCE/Article/JYLW/3/306/lw009994.htm
‘叁’ 如何对所得到的信号进行分形分析
如何对所得到的信号进行分形分析
为了研究超宽频带局部放电信号在各个频段上的局部特征、发现特征频段，应用小波分析技术，将局部放电信号进行小波分解，使信号变为各个频段的信号，然后计算各个频率段信号的分维数，并通过分维数的变化，来量化分析信号特征峰的特征。应用这种方法，可以得到各频段的放电信号的分形特征，为进一步研究超宽频带放电信号的变化规律奠定了基础。