数学分析中判断级数收敛的方法

A. 判别级数收敛性的方法有哪些

上面几楼说的都对，但是都不全。我来说个全一些的。（纯手工，绝非党）

首先要说明的是：没有最好用的判别法！所有判别法都是因题而异的，要看怎么出，然后才选择最恰当的判别法。下面是一些常用的判别法：

一、对于所有级数都适用的根本方法是：柯西收敛准则。因为它的本质是将级数转化成数列，从而这是一个最强的判别法，柯西收敛准则成立是级数收敛的充分必要条件。局限性：有一些数列的特征太过明显，可以用更加简洁的判别法去判别，用柯西收敛原理是浪费时间；另一方面，如果级数本身过于复杂，用柯西收敛准则也未必能很快得到证明。

二、对于正项级数，一个基本但不常用的方法是部分和有界，这同样是级数收敛的充分必要条件，这是正项级数中最强的判别法之一，局限性也是显然的：通常来说一个级数的和函数并不好求，用这种方法行不通，因此这个方法通常只有理论上的意义。

三、对于正项级数，比较判别法是一个相当有效的判别法，通过找一个新正项级数，比较通项，如果原级数的通项小，新级数收敛，则原级数收敛；如果新级数发散，原级数通项大，则原级数发散，通常在判别过程中使用其极限形式。局限性：当级数过于复杂时，要找的那个新级数究竟是什么很难判断，通常的方法是对原级数的通项做泰勒展开，以找到与之等价的p级数。

四、对于正项级数，有柯西判别法和达朗贝尔法。这些楼上都已说到，它的实质是找等比级数与之比较。另外柯西判别法比达朗贝尔判别法强，这是因为比值的下极限小于等于开n次根号的下极限，比值的上极限大于等于开n次根号的上极限（即二楼说的这两个判别法等同是不对的）。局限性：如果原级数的阶低于任何一个等比级数，这方法就完全失效了。

五、对于正项级数，有积分判别法：如果x>=1且f（x）〉=0且递减，则无穷级数（通项为f（n））与1到正无穷对f（x）作的积分同敛散。这个办法对于某些级数特别有效。局限性：由于其本质是将级数化成了反常积分，如果化成的反常积分的收敛性难以判断，则有可能该方法就把问题复杂化了。

六、对于正项级数，还有拉贝判别法与高斯判别法。拉贝判别法是将级数与通项为1/（n^alpha）的级数做比较，如果当n充分大时，n（a[n]/a[n+1]-1）〉=r>1，那么级数收敛。高斯判别法将级数与通项为1/（n（lnn）^alpha）的级数做比较，如果a[n]/a[n+1]=1+1/n+beta/nlnn+o（1/nlnn），其中beta〉1，则级数收敛。局限性：这两个判别法已经很强了，大部分级数都可以用这两个判别法去估计，但是仍然不是全部级数都有效的，如果级数比通项为1/（n（lnn）^alpha）的级数收敛得还慢，就无效了，这时应该去想比较判别法或者其他办法，可能需要比较强的技巧。

七、对于交错级数，有莱布尼兹判别法：如果级数符号交替且通项绝对值递减，则级数收敛。局限性：如果级数不满足上述条件，显然就失效了。

八、一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法：
阿贝尔判别法：如果级数的通项可以拆成两部分的乘积，其中一部分随下标单调有界，以另一部分为通项的级数收敛，那么原级数收敛。
狄利克雷判别法：如果级数的通项可以拆成两部分的乘积，其中一部分随下标单调趋于零，以另一部分为通项的级数的部分和有界，那么原级数收敛。
这两个判别法对于一些通项为两项以上乘积形式的级数非常有效。局限性：如果拆不出来，那就没办法了。不过通常的题最多就考到这里，基本上应该可以判别。

九、绝对收敛性。如果一个级数，以其通项的绝对值为通项的级数收敛，则原级数收敛。局限性是显然的：如果以其通项的绝对值为通项的级数不收敛就无效了。通常的题目上很少会蠢到让你去求绝对值，然后判断正项级数的收敛性，从而这个办法一般只有理论上的意义，除非题中明说让你去判断条件收敛性和绝对收敛性。

十、一些技巧。例如裂项求和，再利用数列中的一些性质等等。这类方法通常用于抽象级数，即并不把级数告诉你，只告诉你一些级数的特征，然后叫你去判断。局限性是显而易见的：你想得到这样的技巧么？

好了，写了这么多手都酸了，希望对你有用。

B. 如何判断级数的收敛性

条件收敛和绝对收敛判断方法如下：

一个收敛的级数，如果在逐项取绝对方法如下值之后仍然收敛，就说它是绝对收敛的；否则就说它是条件收敛的。

简单的比较级数就表明，只要∑｜un|收敛就足以保证级数收敛；因而分解式（不仅表明∑｜un|的收敛隐含着原级数∑un的收敛，而且把原级数表成了两个收敛的正项级数之差。

由此易见，绝对收敛级数同正项级数一样，很像有限和，可以任意改变项的顺序以求和，可以无限分配地相乘。

条件收敛和绝对收敛的区别

一、重排不同

1、条件收敛：条件收敛任意重排后所得的级数非条件收敛，且有不相同的和数。

2、绝对收敛：绝对收敛任意重排后所得的级数也绝对收敛，且有相同的和数。

二、绝对值不同

1、条件收敛：条件收敛取绝对值以后对级数Σ（∞，n=1）∣Un∣发散。

2、绝对收敛：绝对收敛取绝对值以后对级数Σ（∞，n=1）∣Un∣收敛。

三、瑕点不同

1、条件收敛：条件收敛在［a,b]上存在瑕点，使得∫（b,a）f(x)dx广义积分有极值。

2、绝对收敛：绝对收敛不存在能使得∫（b,a）f(x)dx广义积分有极值的瑕点。

对任意项级数Σ（∞，n=1）Un，若Σ（∞，n=1）∣Un∣收敛，则称原级数Σ（∞，n=1）Un绝对收敛；若原级数Σ（∞，n=1）Un收敛，但取绝对值以后对级数Σ（∞，n=1）∣Un∣发散，则称原级数Σ（∞，n=1）Un条件收敛。