二次曲面的研究方法

㈠ 正定二次型在国内外的研究意义及发展状况是什么

研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等有重要意义。二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。

二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的着作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的着作中首先明确地给出了这个概念。

(1)二次曲面的研究方法扩展阅读

柯西在其着作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。

㈡ 怎么用最小二乘法进行三维二次曲面的拟合

所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1,λ2,…,λn),使得该函数与已知点集的差别最小。国外大学有门学科叫数值分析。国内为研究生的课程。拟合的方法除了最小二乘法外，还有拉格朗日插值法、牛顿插值法、牛顿迭代法、区间二分法、弦截法、雅克比迭代法和牛顿科特斯数值积分发等方法。以前曾用C语言把这些拟合方法写成软件。但是现在没有装VC平台，所以用不了。需要的话请联系本人。

㈢ 二次曲面方程分类的方法有几种分别是什么

常见的大概有
1、柱面：F（x,y）=0（z是全体实数）例如x^2+y^2=R^2圆柱曲面
2、圆柱曲面：方程是2次其次式F（x^2,y^2,z^2）=0例如：x^2/4+y^2/8=z^2（包括椭球面）
3、旋转曲面：f（正负根下（x^2+y^2）,z）=0比如：根下x^2+y^2=|y1|,z=z1
4、二次曲面一般式：Ax+By+Cz+Dxy+Eyx+Fzx+Gx+Hy+Iz+J=0

㈣ 二次型和二次曲面有什么区别

区别：

1、平方项系数不同

标准型的平方项系数是由二次型矩阵，经过正交变换或配方法得来的系数，当进行正交变换得到的系数同时系数也是二次型矩阵的特征值。配方法得出的不一定是二次型矩阵的特征值。

规范性的平方项系数是由标准型的系数的正确决定的。都是+1或者是-1，它决定了特征值正负的个数也就是正负惯性指数。

2、转换方式不同

标准型标准型到规范形,只需要将正交变换或者配方法得来的系数中平方项的正系数改为 1,负系数改为 -1，一般将正系数项放在前。规范型转换则与标准型到规范性的过程相反。

参考来源：网络-二次型

㈤ Chapter5——二次型

二次型的研究与解析几何中化二次曲面方程为标准型的问题密切相关。

定义：

二次型的矩阵表达式：

二次型的可逆线性变换：二次型经过可逆线性变换后仍是二次型

矩阵的合同关系：

定义：

配方法：将任意的二次型通过可逆线性变换化为标准型

正交变换法：将任意的二次型通过正交线性变换化为标准型

二次型的规范性定义：将二次型的系数全化为1或-1

惯性定理：二次型的规范型唯一

正定二次型定义：其标准二次型的系数都为正数，或系数矩阵A的特征值都为正数，或其正惯性指数为n

正定二次型与正定矩阵的判别：

㈥ 二次曲面的简便化简方法

为了回答这个问题，需要用到比较充分的解析几何和线性代数知识。首先明确二次曲面是什么，二次曲面就是三元二次方程在直角坐标系下的图像，一般的三元二次方程可以表示为： a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2b_{1}x+2b_{2}y+2b_{3}z+c=0 .其中 a_{11},a_{22},a_{33} 不全为0，2a_{12}xy,2a_{13}xz,2a_{23}yz 叫作交叉项， 2b_{1}x,2b_{2}y,2b_{3}z 叫作一次项，c叫作常数项。接下去用 \alpha=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) 来表示点的坐标。我们知道对一个图形，平移、旋转、对称变换（我们称为反射），都是不会改变形状的。平移变换可以用 \alpha+\alpha_0 来表示，因为它将每个点 \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) 变为了 \left( \begin{array}{c} x +x_0\\ y+y_0 \\ z +z_0\\ \end{array} \right) .旋转、反射都对是正交变换，而一个正交变换能分解为旋转、反射的复合，正交变换用Uα表示，其中U是正交矩阵。为了将二次曲面分类，我们应当利用正交变换、平移变换将一般的二次曲面方程进行化简。由于 a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2b_{1}x+2b_{2}y+2b_{3}z+c= \left ( \begin {array} {cccc} x & y & z & 1 \\\end {array} \right)\left ( \begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & b_ {1} \\ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} & b_ {2} \\ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} & b_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} & c \\\end {array} \right)\left ( \begin {array} {c} x \\ y \\ z \\ 1 \\\end {array} \right) ,记 A=\left ( \begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} \\\end {array} \right) ,\varepsilon=\left ( \begin {array} {c} b_{1} \\ b_{2} \\b_{3} \\\end {array} \right),则三元二次方程可以记为 \left( \begin{array}{cc} \alpha^T & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} A & \varepsilon \\ \varepsilon^T & c \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \alpha \\ 1 \\ \end{array} \right)=0 ,\Rightarrow\alpha^TA\alpha+\varepsilon^T\alpha+\alpha^T\varepsilon+c=0 ,注意到 \varepsilon^T\alpha=\alpha^T\varepsilon ，于是进一步将方程化简为 \Rightarrow\alpha^TA\alpha+2\varepsilon^T\alpha+c=0 .我们将 \left( \begin{array}{cc} A & \varepsilon \\ \varepsilon^T & c \\ \end{array} \right) 称作二次曲面的表示矩阵（同理，n阶对称矩阵可以是n-1元二次方程的表示矩阵，表示形式是一致的）。由于A是对称矩阵，所以A可以正交相似到对角型，即存在正交阵U和对角阵 \Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) ,满足：\Lambda=U^TAU 。先做正交变换 \beta_1=U^T\alpha ,即 \alpha=U\beta_{1} ，代入方程得 (U\beta_{1})^TA(U\beta_{1})+2\varepsilon^T(U\beta_1)+c=0 \Rightarrow\beta_1^TU^TAU\beta_1+2\varepsilon^TU\beta_1+c=0 \Rightarrow\beta_1^T\Lambda\beta_1+2\varepsilon^TU\beta_1+c=0 .记 \varepsilon^TU=(\mu_1\ \mu_2\ \mu_3) ，则方程可写为 \lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2+2\mu_1x'+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c=0 .其中x',y',z'为 \beta_1 的三个分量。可以看到交叉项已经被约去了。对于方程\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2+2\mu_1x'+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c=0 ，若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3全不为0，则可配方为： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+\lambda_2(y'+\mu_2/\lambda_2)^2+\lambda_3(z'+\mu_3/\lambda_3)^2+c'=0 ,其中c'表示配方后的常数项，下文同。只需做平移变换： \beta=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ \mu_2/\lambda_2 \\\mu_3/\lambda_3\\\end {array} \right) ,方程变为 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+\lambda_3w^2+c'=0 ，其中u，v，w是 \beta 的三个分量，下文同。若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3有一个为0，不妨设 \lambda_3为0，则同样配方可得： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+\lambda_2(y'+\mu_2/\lambda_2)^2+2\mu_3z'+c'=0 。做平移变换 \beta=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ \mu_2/\lambda_2 \\0\\\end {array} \right) ，方程变为 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+2\mu_3w+c'=0 .若 \mu_3 =0,则方程为 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+c'=0 ，否则可以再进一步对w做平移可消除常数项，这里不再具体写出变换过程，最后得： \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+2\mu_3w=0 .若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3有两个为0，不妨设 \lambda_2,\lambda_3为0,同样可先对x'配方得： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c'=0 ，先做平移变换 \beta_2=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ 0\\0\\\end {array} \right) ,得方程： \lambda_1x''^2+2\mu_2y''+2\mu_3z''+c'=0 ,其中x'',y'',z''是 \beta_2 的三个分量。若 \mu_2,\mu_3 全为0，则直接令 \beta=\beta_2 ,方程为： \lambda_1u^2+c'=0 。若 \mu_2,\mu_3 不全为0，做正交变换 \beta=\left ( \begin {array} {ccc}1 & 0 & 0 \\0& \frac{1}{\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}}\mu_2 & \frac{1}{\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}}\mu_3 \\ 0 & \nu_1 & \nu_2 \\\end {array} \right)\beta_2 ,其中 (\nu_1,\nu_2) 是与 (\mu_2,\mu_3)正交的单位向量，这保证了上述变换为正交变换。于是方程变为 \lambda_1u^2+2\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}v+c'=0 .再进一步对v做平移可以消去常数项，这里不再写出变换过程，最后得： \lambda_1u^2+2\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}v=0 .综上所述，我们发现一般二次曲面在经过正交变换和平移变换后都会变成以下曲面之一：au^2+bv^2+cw^2=d ；au^2=d； au^2+bv^2=d ；au^2+bv^2=cw；au^2=bv.上述所有方程除了d所有系数都不为0.进一步对上述方程系数的正负性进行讨论，便可将二次曲线分类。au^2+bv^2+cw^2=d，a，b，c，d全大于0，为椭球面。au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c有1个小于0，其余大于0，且d大于0，为单叶双曲面，或者a，b，c有1个大于0，其余小于0，且d小于0，为单叶双曲面。au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c，d其中两个为正，两个为负，为双叶双曲面。au^2+bv^2+cw^2=d ，d为0，a，b同号且与c异号，即： au^2+bv^2=cw^2 ，a，b，c同号，为椭圆锥面。au^2+bv^2=d ，a，b，d同号，为椭圆柱面。au^2+bv^2=d ，a，b异号，d不为0，为双曲柱面。au^2+bv^2=cw ，a，b，c同号，为椭圆抛物面。au^2+bv^2=cw ，a，b异号，c不为0，为双曲抛物面。au^2=bv ，a，b不为0，为抛物柱面。au^2+bv^2+cw^2=0 ，a，b，c同号，为一点。au^2+bv^2=0 ，a，b同号，即为直线 \frac{u}{1}=\frac{v}{1}=\frac{w}{0} .au^2+bv^2=0 ，a，b异号，则可用平方差公式将其分解为两个平面方程的乘积，故代表两个相交平面。au^2=d ，a，d同号，为两张平行平面。au^2=0 ，a不为0，为两张重合平面（也可以说是一张平面）。au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c同号且与d异号，则无实解，称为虚椭球面。au^2+bv^2=d ，a，b同号且与d异号，则无实解，称为虚椭圆柱面。au^2=d ，a，d异号，则无实解，称为两张虚的平行面。题主所说的9种实际上是上述的1-9，是非退化的二次曲面，而10-14是退化的二次曲面，实际上是点、直线或是两张平面（将14视为两张重合平面就是为了统一），15-17是无实解的情况。本文的方法适用于对任意维欧氏空间下的n元二次方程图象进行分类，大家可以尝试用一样的方法去讨论二次曲线的分类。事实上，本文给出了从一般三元二次方程变形到5类方程的方法，再通过对系数情况的判定可以确定二次曲面是17类中的哪一类，然而我们其实可以找到从原方程变到5类方程后的系数与原方程表示矩阵的关系，比如二次项的系数实际上就是A的特征值，所以引入表示矩阵的意义在于即便不把方程先变到5类方程也可以直接通过研究表示矩阵的特征来确定二次曲面属于17类中的哪一类。这个手段同样对任意元的二次方程适用，解析几何中学习的二次曲线通过不变量确定类别实际上就是这个道理。关于这一点，大家感兴趣的话，等我有空会另开文章讲述

㈦ 二次曲面的极值是怎么求

二次曲面的极值计算方法：

先求出函数的一阶导数，后求当函数的一阶导数为零时的自变量的值，也就是解方程f`(x)=0，得到方程的解为x=x1(可能还有其他解），f(x1)就是函数的极值，再判断f(x1)是极大值还是极小值。判断的方法：用函数的增减性。

一般说来，直线与二次曲面相交于两个点；如果相交于三个点以上，那么此直线全部在曲面上。这时称此直线为曲面的母线。如果二次曲面被平行平面所截，其截线是二次曲线。