❶ 数学分析怎么学
首先你要对数学分析有一个大体的感性认识,比如他的研究对象(函数)理论基础(极限论),研究内容(微分学,积分学,级数理论)
上课认真听讲是一方面,数学分析主要靠自己的努力,一定要多做题,推荐吉米多维奇的《数学分析习题集》六册,数学人必知的好书
还有推荐《古今数学思想》,读了这本书,会对数学的发展和思想有一个很好的认识,这对学数学是很有帮助的。
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学好数学分析定要靠自己多做题,多感悟
1.避免“一步到位”
是指解题过程中,省略关键步骤,而直接得到答案,这样扣分是严重的.由于解答题是严格按照步骤给分的,如果解题过程中失去关键步骤,跳过拟考查的知识点、能力点,就意味着失去得分点,自然被扣分.
例1(2000年全国高考题) 已知函数y= cos2x+ sinxcosx+1,x∈R.
(I) 当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
(II) 该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解:(I)由题设可得,y= sin(2x+ )+ ,故有
当 x= +k ,k∈Z,函数y取得最大值.
(II) 略.
评注:在(Ⅰ)的解答中犯了“大题小作”中的“一步到位”错误,缺少了化简过程的3个要点与何时取到最大值的1个要点,因而被扣分.
2. 避免“使用升华结论”
在解选择和填空题中,使用升华结论(教材中未给出的正确结论)是允许的,而且还是一种简捷快速的答题技巧.而直接运用(不加说明或证明)在解答题中是不合适的,且是“大题小作”,要适当扣分的.
解答高考解答题的理论根据应该是教材中的定义、定理、公理和公式,而学生使用“升华结论”则达不到考查能力、考查过程的目的,因此不能以题解题,不能直接运用教材以外别的东西,以免被扣分.
例2⑴(1991年全国高考题) 根据函数单调性的定义,证明函数f (x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
⑵(2001年全国高考题) 设抛物线y2 =2px (p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
评分标准中指出:
对于⑴:“利用y=x3在[0,+∞)上是增函数的性质,未证明y=x3在(-∞,+∞)上也是增函数而直接写出f(x1)-f(x2)= - <0,未能证明为什么 - <0过程,由评分标准知最多得3分.
对于⑵:有些考生证明时,直接运用课本中的引申结论“y1 y2=p2”而跳过拟考查的知识点、能力点而被扣2分.
对于课本习题、例题的结论,是要通过证明才能直接使用(黑体字结论例外),否则将被“定性”为解题不完整而被扣分.又如1996年高考理科第22(Ⅱ)及2001年全国高考理科第17(Ⅱ)利用面积射影定理,由于不加证明而直接使用,因而被扣分.
3 避免“答非所问”
是指没有根据题意要求或没有看清题意要求,用其它方法或结论作答,这明显也要被扣分的.
例3(1993年全国高考题)已知数列
Sn为其前n项和.计算得 观察上述结果,推测出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.
解:依据题意,推测出Sn的公式为:
Sn= .
∵ ak= = - ,
分别取k=1,2,3,…,n,并将n个式子相加得:
Sn=1- = .
评注 以上解法可谓“简单、明了”,但证明时不用数学归纳法,为“答非所问”,不合题意,扣分是必然的. 又如1999年高考第22题(应用题),第(Ⅰ)问中求“冷轧机至少需要安装多少对轧辊”,要求是用整数作答,不少考生未能用整数作答,违背题意而被扣分.
(四)了解“评分标准”,把握得分点
掌握解答题的“得分点”就要了解高考的评分标准,解答题评分标准是分步给分,但并非写得越多得分越高,而是踏上得分点就给分,即按所用的数学知识,数学思想方法要点式给分,允许“等价答案”,允许“跳步得分”. 因此解答时,应步骤清,要点明,格式齐. 对于不同题型的给分规律有:
1.立几题得分点
通常分作证,计算两部分给分,各段中间又按要点给分.证明主要写清两点:①空间位置关系的判断推理的依据(课本中的定理、公理);②什么是空间角和距离及理由(紧扣定义). 特别要注意没有写清角、距离要被扣分. 计算过程的书写:计算一般是解三角形,要写清三角形的条件及解出的结果. 用等积法解题,要找出等积关系并计算. 都是分段得分的,如1998年23题,1999年22题,都有3个小题,每小题4分,其中作证2分,计算2分.
2.分类讨论题得分点
按所分类分别给分,加上归纳的格式(即写为“综上:当××时,结论是××”)分. 如1996年第20题,按a>1和0<a<1两类分别给5分,归纳给1分. 2000年理19(Ⅱ),求 a 的取值范围,使函数在区间[0,+∞)上是单调函数,按 a≥1和0<a<1讨论各得2分.
3.应用题得分点
按设列、解答两部分给分. 特别要注意不答和答错都要扣1分,应注意设、列、解、答的完整性,争取步骤阶段分.
4.推理证明题得分点
按推理格式,推理变形步骤给分. 对于用定义证明函数的单调性、奇偶性,用数学归纳法证题,都有严格的格式分,应完整,避免失分. 即使推理证明不出,宁可跳步作答,也要套用格式. 从条件、结论两头往中间靠,这样写完格式,这样可以少扣分.
5.综合题得分点
按解答的过程,分步给分,每个步骤又按要点给分. 尽可能把过程分步写出,尽量不跳步,根据题意
列出关系,译出题设中每一个条件,能演算几步算几步,尚未成功不等于失败,特别是那些解题层次分明的题目,那些已经程序化的方法,每进行一步得分点的演算都可以得到这一步的满分,最后结论虽然没有算出来,但分数已过半,所以说,“大题拿小分”也是一个好主意. 因此尽量增加分步得分机会,千万别轻易留空白题.
(五)常用的解答题解题技巧
1.较简单的解答题的求解
对于比较容易解答的解答题(一般是前面3道),宜采用一慢一快的方法,就是审题要慢,解题要快,速战速决,为后面3道解答题留下时间.
找到解题方法后,书写要简明扼要,快速规范,不要拖泥带水,罗唆重复,用阅卷老师的话,就是写出“得分点”,一般来讲,一个原理写一步就可以了。至于不是题目直接考查的过渡知识,可以直接写出结论,高考允许合理省略非关键步骤,应详略得当。
例2004北京理科第15题
在 中, , , ,求 的值和 的面积.
分析:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,考查运算能力
解:
又 ,
.
2.较难的解答题的求解
对于较难的解答题(后面3道)来说,要想在有限的时间内做全对是不大现实的.当然也不能全部放弃,应该尽可能的争取多拿分.对于绝大多数考生来说,在这里重要的是:如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说,有什么样的解题策略,就有什么样的得分策略,下面谈四个观点。
(1)、缺步解答
如果我们遇到一个很困难的问题,确实啃不动,一个明智的策略是:将它分解成为一个系列的步骤,或者是一个个子问题,能演算几步就演算几步,尚未成功不等于彻底失败,每进行一步得分点的演算就可以得到这一步的满分,最后结论虽然没有得出来,但分数却已过半。因为近几年高考解答题的特点是:入口易完善难,不可轻易放弃任何一题。
例: (2004浙江理科第21题)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0)点P、Q在双曲线的右支上,支M(m,0)到直线AP的距离为1.
(Ⅰ)若直线AP的斜率为k,且 ,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)当 时,ΔAPQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.
解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程
即
因为点M到直线AP的距离为1,
∵ 即 .
∵ ∴
解得 +1≤m≤3或--1≤m≤1-- .
∴m的取值范围是
(Ⅱ)可设双曲线方程为 由
得 .
又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此, (不妨设P在第一象限)
直线PQ方程为 .
直线AP的方程y=x-1,
∴解得P的坐标是(2+ ,1+ ),将P点坐标代入 得,
所以所求双曲线方程为
即
(2)、跳步解答
解题卡在某一过渡环节上是常见的,这时,我们可以先承认中间结论,往后推,看能否得到结论。如果得不出,证明这个途径不对,立即改变方向;如果能得出预期结论,我们再回过头来,集中力量攻克这个“中途点”。由于高考时间的限制,“中途点”的攻克来不及了,那么可以把前面的写下来,再写上“证明某步之后,继而有……”一定做到底。也许,后来中间步骤又想出来了,这时不要乱七八糟地补上去,可补在后面,可书写为“事实上,某步可证如下”。
有的题目可能设有多问,第一问求不出来,可以把第一问当成已知,先做第二问,这也算做是跳步解答。
例: (2004天津文科第18题) 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
(I) 求所选3人都是男生的概率;
(II)求所选3人中恰有1名女生的概率;
(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.
解: (I) 所选3人都是男生的概率为
(II)所选3人中恰有1名女生的概率为
(III)所选3人中至少有1名女生的概率为
这3道小题可以说是互相独立的,彼此不相干.所以如果第1小题做不来,可以跳过去,直接做第2小题.
(3)、退步解答
“以退求进”是一个重要的解题策略,如果你不能解决题中所提出的问题,那么,你可以从一般退到特殊,从复杂退到简单,从整体退到局部。总之,退到一个你能够解决的问题,比如,{an}是公比为q的等比数列,Sn为{an}的前n项和,若Sn成等差数列,求公比q=____.
对等比数列问题,我们需考虑到q=1,q≠1两种情况,你可以先对特殊的q=1进行讨论,满足题意,找到解题思路和情绪上的稳定后,再讨论q≠1时是否也满足题意,发现无解,如果对q≠ 1的情况你确实不会解,你还可以开门见山的写上:本题分两种情况:q=1或q≠1.
也许你只能完成一种情况,但你没有用一种情况来代替主体。在概念上、逻辑上是清楚的。另外“难的不会做简单的”还为寻找正确的、一般的解题方法提供了有意义的启发。
4、辅助解答
一道题目的完整解答,即要有主要的实质性的步骤,也要有次要的辅助性的步骤,如:准确的作图,把题目中的条件翻译成数学表达式,设应用题中的未知量,函数中变量的取值范围,轨迹题中的动点坐标,数学归纳法证明时,第一步n的取值等,如果处理得当,也会增分,不要小视它们。
另外,书写也是辅助解答,卷面随意涂改及正确答案的位置不合理,都会造成不必要的失分。
所以,有人说,书写工整,卷面整齐也得分,不无道理。
❸ 数学方法有哪些
数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程,并加以推导、演算和分析,以形成对问题的解释、判断和预言的方法。所谓方法,是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式.人们通过长期的实践,发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序。同一手段、门路或程序被重复运用了多次,并且都达到了预期的目的,就成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法,即用数学语言表达事物的状态、关系和过程,经过推导、运算与分析,以形成解释、判断和预言的方法。
在中学数学中经常用到的基本数学方法,大致可以分为以下三类:
(1)逻辑学中的方法
例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则,又因为运用于数学之中而具有数学的特色。
(2)数学中的一般方法
例如建模法、消元法、降次法、代入法、图像法(也称坐标法,在代数中常称图像法,在我们今后要学习的解析几何中常称坐标法)、比较法(数学中主要是指比较大小,这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法,以及将来要学习的向量法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等.这些方法极为重要,应用也很广泛。
(3)数学中的特殊方法
例如配方法、待定系数法、消元法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法,以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时也起着重要作用。
❹ 一般的数学思想方法有哪些
1 函数思想
把某一数学问题用函数表示出来,并且利用函数探究这个问题的一般规律。
2 数形结合思想
把代数和几何相结合,例如对几何问题用代数方法解答,对代数问题用几何方法解答。
3 整体思想
整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
4 转化思想
在于将未知的,陌生的,复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的,熟悉的,简单的问题。
5 类比思想
把两个(或两类)不同的数学对象进行比较,如果发现它们在某些方面有相同或类似之处,那么推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。
(4)分析数学的科学方法扩展阅读:
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系。
实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。
进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。
❺ 数学推理方法有哪几种
数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程,并加以推导、演算和分析,以形成对问题的解释、判断和预言的方法。所谓方法,是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式.人们通过长期的实践,发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序。同一手段、门路或程序被重复运用了多次,并且都达到了预期的目的,就成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法,即用数学语言表达事物的状态、关系和过程,经过推导、运算与分析,以形成解释、判断和预言的方法。
推理方法有两种:
1,常规推导方法,从公理或已知的命题推导出该命题成立,即证明该命题是已知公理的子命题。要点是要理清命题以及给出条件的含义,找出该命题的等效含义和条件,最好是转化为数值等式关系,然后符号演算,这种演算方法通用性强,在一些特殊情况下也转化为直观的几何关系,通过直观的几何关系证明,但几何的方法需要灵感,不通用。
2,归谬方法,假设该命题不成立,推导出矛盾的命题,从而证明该命题成立。适用的场合比较有限,不作介绍。
❻ 学习数学科学的方法
数学:是研究现实世界空间形式与数量关系的学科。 从某种角度看属于形式科学的一种,分为高等数学和初等数学。 数学在人类历史发展和社会生活中发挥着不可替代的作用,也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
数学有很多的内容,分为许多分支,最为常见的初等数学有初等几何、初等代数、高等数学有微积分、高等代数、复变函数、实变函数、泛函分析、解析几何、离散数学、初等数论、常微分方程、数理方程、逻辑代数、概率论等等。
学习数学,科学的学习方法有:
1、勤思考:思考是数学学习方法的核心。在学这门课中,思考有重大意义。解数学题时,首先要观察、分析、思考。思考往往能发现题目的特点,找出解题的突破口、简便的解题方法。在我们周围,凡是真正学得好的同学,都有勤于思考,经常开动脑筋的习惯,于是脑子就越用越灵,勤于思考变成了善于思考。我正因为掌握应用了这一方法,所以在全国数学竞赛中获得了武汉市一等奖。
2、动手试:动手有助于消化学习过的知识,做到融会贯通。课下,我常常把老师讲过的公式进行推导,推导时不要看书,要默记。这样就能使自己对公式掌握滚瓜烂熟,可为公式变形计算打下扎实的基础。
3、培养创造精神:所谓创造,就是想出新办法,做出新成绩,建立新理论。创造,就要不局限于老师、课本讲的方法。平时,有一些难度高的题目,我在听懂了老师讲的方法后,还要自己去找一找有没有另外的解法,这样能加深对题目的理解,能比较几种解法的利弊,使解题思维达到一个更高的境界。