数理逻辑及其形式化的研究方法

A. 数理逻辑具体有哪些应用，应用在哪些方面

数理逻辑的应用

1 逻辑运算
逻辑运算又称布尔运算，它是用数学的方法解决或研究逻辑问题，即用离散的符号“1”和“0”表示逻辑中的“真”和“假”再加上一套与之相关的“与”、“或”、“非”为运算基础的逻辑运算规则解决实际逻辑问题的方法，从而实现复杂逻辑运算到简单的数值计算的转化。

尽管互联网的查询系统原理各不相同，但使用与(&)、或(||)、非(-)通配符的查词方法却是一致的，这便是逻辑运算的最好例子。下面我们就逻辑运算在电路设计中的运用加以探讨：

某公司王某欲搬入新房，搬迁前需要完成电路的设计安装，由于该房深处闹市，四周楼房林立，严重影响了客厅的采光，于是王某想设计一个电路，要求客厅四盏灯由一个开关控制，开关按下一次亮一盏灯，再按一下亮两盏，以此类推，直到按下第五次时所有灯熄灭。假设四个灯依次为A、B、C、D，灯亮为1，灯灭为0，开关有脉冲输入为1，否则为0，则根据题意可得真值表(如图1)

设第n号灯的上一状态为Nn，第n+1号灯现在在的状态为Nn+1，脉冲输入状态为M，则有：

Nn+1=Nn∧M(N0与M的且运算)

其中Nn=NA∧NB...∧Nn-1灯亮的条件为(A∧┐B∧┐C∧┐D)∨(A∧B∧┐C∧┐D)∨(A∧B∧C∧┐D)∨(A∧B∧C∧D)

如B灯亮的条件是A灯亮并且有脉冲输入，C灯亮的条件是AB都亮并且有脉冲输入。该电路功能由一个与门电路和一个计数触发器连接即可完成，当开关第5次输入后计数器输出信号置0，灯全部关闭，此时设备全部复位。如图2。

2 范式理论
范式是逻辑运算符号化表示的一种标准表达形式，根据这种方法，把同一类型中尽可能出现的命题变相以及具有完整功能的符号化内容通过合、析取的方式联合在一起，而不改变其逻辑功能。

甲、乙、丙、丁四个人有且只有两个人参加围棋比赛。关于谁参加比赛，下列四个判断都是正确的：

(1)甲和乙只有一人参加比赛。

(2)丙参加，丁必参加。

(3)乙或丁至多参加一人。

(4)丁不参加，甲也不会参加。

请推断出哪两个人参加围棋比赛。

设a：甲参加了比赛。

b：乙参加了比赛。

c：丙参加了比赛。

d：丁参加了比赛。

(1) (a∧┐b)∨(┐a∧b)

(2) c→d

(3) ┐(b∧d)

(4) ┐d→ ┐a

于是，

((a∧┐b)∨(┐a∧b))∧(c→d)∧(┐(b∧d))∧(┐d→ ┐a)

Û(a∧┐b∧┐c∧d)∨(a∧┐b∧d)∨(┐a∧b∧┐c∧┐d)

根据题意条件，有且仅有两人参赛，

故┐a∧b∧┐c∧┐d为0，所以

(a∧┐b∧┐c∧d)∨(a∧┐b∧d)为1，

即甲和丁参加了比赛。

又如在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断：

甲说王教授不是苏州人，是上海人。

乙说王教授不是上海人，是苏州人。

丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。

听完以上3人的判断后，王教授笑着说，他们3人中有一人说的全对，有一人说对了一半，另一人说的全不对。试用逻辑算法分析王教授到底是哪里人?

设命题 p：王教授是苏州人。

q：王教授是上海人。

r：王教授是杭州人。

显然p,q,r中有且只有一个真命题。

甲的判断为A1=┐p∧q

乙的判断为A2=p∧┐q

丙的判断为A3=┐q∧┐r

那么，

甲的判断全对B1=A1=┐p∧q

甲的判断对一半B2=(┐p∧┐q)∨(p∧q)

甲的判断全错 B3=p∧┐q

乙的判断全对 C1=A2=p∧┐q

乙的判断对一半C2=(p∧q)∨(┐p∧┐q)

乙的判断全错 C3=┐p∧q

丙的判断全对 D1=A3=┐q∧┐r

丙的判断对一半D2=(q∧┐r)∨(┐q∧r)

丙的判断全错D3=q∧r

由王教授所得析取范式：

E = (B1∧C2∧D3)∨(B1∧C3∧D2)∨(B2∧C1∧D3)∨(B2∧C3∧D1)∨(B2∨C1∧D2)∨(B3∧C2∧D1)
为真命题。

经过演算化为主析取范式后后,可得

E Û (┐p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)

由题设，王教授不能既是上海人，又是杭州人，因而p,r中必有一个假命题，即p∧┐q∧rÛ0，

于是

E Û ┐p∧q∧┐r

为真命题，因而必有p,r为假命题，q为真命题，即甲说的全对，丙说对了一半，而乙全说错了，王教授是上海人。

3等值演算

等值演算是指利用逻辑恒等式、代入规则、替换规则和对偶原理对命题公式进行推理、演算，等值演算的目的在于化简复杂的命题公式，从而提取出于命题等价的核心要素，便于利用。

以下是《现代社会更需要专才还是通才》辩论记录：

正方：对方辩友，既然您都说了专才是有缺陷的，难道你还认为专才比通才更需要吗?既然您仍然认为专才那么重要，那么我们还要通才干什么，吃饭吗?

反方：对方辩友啊我们说通才比专才更需要，没说通才不需要啊!

在这短短而又激烈的辩论片段中反方辩手显然是找到了有力的反驳切入点，那么这个切入点是什么呢，试着作一下分析：

P：P代表专才比通才更需要是错误的;

Q：Q表示通才没用。

那么正方的意思可以表示为P∧(┐P→Q)

根据蕴含等值式(A→BÛ┐A∨B)和吸收律(A∧(A∨B)ÛA)化简有P∧(┐P→Q)ÛP∧(P∨Q)ÛP

化简后得到P，P就是P∧(┐P→Q)的要点，P和P∧(┐P→Q)得真值是一样的，因而反方根据P(切入点)快速的做出反驳，“我们并没用说通才不需要”，显然得出这样的结论是经过逻辑思考的。

4 逻辑推理

“逻辑推理是从前提推论出结论的思维过程”①(《离散数学(第四版)》page22第1.6节推理理论耿素云屈婉玲张立昂着清华大学出版社)，它是指在逻辑推理的过程中通过不断的前提引入，等值与置换等，运用逻辑推理的相关推理理论，得出未知(蕴含)结果的一种方法。逻辑推理广泛的应用于人工智能，案件的侦探与审理，人事科研和日常生活的各方各面。以下将从案件侦探方面体现逻辑的推理基本应用。

一次警方接到报警，在某胡同发生严重的刑事案件，当警方及时赶到犯罪现场时有5人死亡，仅剩甲、乙二人仍在殊死搏斗，审讯时甲乙双方都指责对方是罪犯，自己是受害者，搏斗时出于自卫，警方根据证据最终判断有以下事实：

A：甲乙二人必有一人是罪犯，一人是受害者;

B：如果甲是出于自卫，则必定有伤;

C：甲没有受伤

推道谁是罪犯。当然这道题是一眼便知的，但是还是我们试着有逻辑推理的做以下分析：

设：p：甲是自卫;

q：甲是罪犯;

r：甲受伤。

前提p→r ，┐q→p，┐r。

解析：

(1)┐r; 前提引入

(2)p→r; 前提引入

(3)┐r→┐p; (2)拒取式

(4)┐p;

(5)┐q→p; 前提引入

(6)┐p→q; (5)拒取式

(7)q. (4)(6)假言推理故甲为罪犯。

参考书目

[1]耿素云屈婉玲张立昂离散数学(第四版)[M] 北京清华大学出版社[

2]徐小萍命题逻辑演绎推理在日常生活中的应用[A] 分类号：TO142文献标志码：A 文章编号：1009-2854(2007)11-0013-04
襄樊襄樊学院学报

[3]滕定明命题逻辑在语用研究中的应用[A] (分类号: H 030 文献标志码:A 文章编号: 16732-2804(2008)
032-00882-03)河北河北理工大学学报(社会科学版)

[4]刘海慧数理逻辑在生活中的应用研究[A] (分类号:O14 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2007)11(a)-0097-02)
山东中国科教创新导刊

B. 系统理解逻辑思维——形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑

多学者以为，概念逻辑就是辩证逻辑，两者是同一件事。

我以为，概念逻辑和辩证逻辑不是一回事。

形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑，都是从概念逻辑中绽发出来的。其道理是，辩证逻辑、形式逻辑和数理逻辑，都是从概念方式的抽象运作中生成的。 概念逻辑 是概念抽象运作的 总体架构 ， 形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑 是概念抽象运作的 专项架构 。

一、形式逻辑 ——

形式逻辑在西方哲学史上已有两千多年的历史传承和完善，自亚里士多德以来有了许多成熟的运用和注解。

形式逻辑是一种定格逻辑，亚里士多德把它称之为思想之第一原则。

人类的意识活动处在主客关系的不断变动中，如果没有形式逻辑的定格，即定格的指称、定义和统摄，人类的意识活动就会无以落定，观念、思想、知识和自我意识的思维运动，以及概念之物的实践创造就会无以立足。

形式逻辑的抽象运作：

首先，是指称的规定。形式逻辑要求一切对象都有名称的规定，即指称的规定。如，马有“马”的名称规定，鹿有“鹿”的名称规定。在形式逻辑那里，一切事物都有各自的名称规定，这样的名称规定是定格的、确定的、绝对的和本有的。马就是马，鹿就是鹿，是绝对不允许“指鹿为马”的。

其次，是定义的规定。形式逻辑要求一切概念都有它的内涵和外延界限，即定义的规定。例如，何谓“武器”？在网络上查询，我们得到这样一个内涵和外延的界限规定：“武器，又称为兵器，是用于攻击的工具，也因此被用来威慑和防御。任何可造成伤害的事物（甚至可造成心理伤害的）都可称为武器。只要用于攻击，武器可以是一根简单的木棒，也可是一枚核弹头。”

有了指称和定义的规定，形式逻辑就有了“是或非”的判断依据。如，这是“茶杯”，不是“钢笔”；这是“丰田公司生产的车”，不是“通用公司生产的车”；这是“好事”，不是“坏事”；这是“公共领域”，不是“私人领域”；这是“市场经济”，不是“计划经济”；这是“西方文化”，不是“东方文化”，等等。形式逻辑的同一律、矛盾律、排中律、理由充足律，都是“是或非”的判断方式。人类的大脑由此获得“是或非”的抽象判断能力。

再次，是统摄的规定。当人类的大脑以指称和定义的规定，抽象反思地统摄一切时，就获得了一种统摄的规定，由此展开统摄规定的逻辑推理、逻辑必然和逻辑判断。

形式逻辑的“三段论”就是一个由大项、小项和结论所组成的统摄推理结构。

如：

人总是要死的；

张三是人；

张三也会死的。

又如：

太阳每天早晨从东方升起；

明天早晨；

太阳还会从东方升起。

等等。

在这两个三段论的推理结构中，“人总是要死的”大项是具有统摄意义的，是统摄“张三是人”的小项的，由此获得“张三也会死的”逻辑必然和逻辑判断的结论的。同样，“太阳每天早晨从东方升起”的大项是统摄“明天早晨”这个小项的，由此获得“明天早晨太阳还会从东方升起”的逻辑必然和逻辑判断的结论的。

三段论的推理结构，是一种概念方式的抽象运作，是一种最为基本的逻辑方式，它使人类心灵获得了统摄推理的判断能力。

讨论形式逻辑的三段论结构，涉及到的一个重要问题是，三段论的大项，即通常所说的大前提从何而来的呢？这就关系到了归纳的问题。

归纳是三段论的前提，是推理的前提。如，在“太阳每天早晨从东方升起，明天早晨太阳还会从东方升起”的三段论推理中，“太阳每天早晨从东方升起”这个大前提，是经验恒常的归纳。这样的归纳，初看起来是天经地义的，自我绝对的，但仔细分析，是受制于经验的，是受制于经验的概念抽象，这样的概念抽象是不能超越经验的。太阳系会毁灭，这样的毁灭终将会在未来某个时刻发生，在未来的那个经验直观时刻，“明天早晨太阳还会从东方升起”的推理判断和逻辑必然就会完全失效。

归纳的特点是，它的内容是经验的，它的形式是概念的。归纳是经验恒常的概念抽象，是不能超越经验而自我绝对的。这样，由归纳提供的大项是有它的界限的，即受制于经验而不能超越经验的。归纳的特点决定了以归纳为前提的三段论推理是一种归纳后的抽象运作，这种归纳后的抽象运作，提供的是抽象运作的逻辑必然和逻辑判断，这种抽象运作的逻辑必然和逻辑判断并不是自我绝对的，也不是可以成为超越抽象运作的制约和界限的，而是需要在经验实证证明中，在抽象和经验统一的求取中，获得它的抽象和经验统一的现实性、真确性和有效性的。

形式逻辑的优点是：它以指称、定义和统摄的规定，使观念、思想、知识和自我意识有了定格的基础。形式逻辑认为，一切都应各就各位，处在各自的定格中，这是非常符合日常生活需要的常识的。

形式逻辑的不足是：

1、它偏执于定格而忽略变易。人类的一切概念认知和图像都是主客关系的生成，处在主客关系的不断变动中，它不仅需要对事物进行定格的规定，更需要对事物进行变易的洞察和规定，在变易的勘察中，把握事物的总体、事物的变化、事物的过程和事物的发展。

2、它偏执于概念抽象的自我绝对，没有洞察任何一种概念抽象都是域定的，是有它的界限的。在形式逻辑的推理判断中，三段论的大前提是由归纳的概念抽象所提供的，这样的大前提在根基上是受制于经验而不能超越经验的。即便“人总是要死的”的归纳，也是受制于经验的，是经验恒常的概念抽象，并将为新的经验出现而改变。现代科学技术的发展正在揭示，随着电子生命以及电子意识的出现和发展，生命和意识的肉体死亡将会被改变，获得新的经验恒常的概念抽象。

二、辩证逻辑 ——

辩证逻辑以变易为的核心，它的精髓是：

1、对立统一。

一切概念抽象都处在“自我”和“非我”的对立统一中。如，无限和有限，上和下，作用和反作用，等等。

对立统一的每一方，都不是自我绝对的和先于对方的。在无限和有限、上和下、作用和反作用的对立统一中，无限不先于有限，有限不先于无限；上不先于下，下不先于上；正不先于负，负不先于正。对立统一的两端，都不能孤立存在，而是有你才有我，有我才有你，是互为依存和互为映照的。

2、更高进阶。

对立统一的精髓是走向更高进阶的事物建构和对立统一。如，“正题”和“反题”的对立统一走向更高进阶的“合题”，“单一”和“复多”的对立统一走向更高进阶的“总体”，等等。

辩证逻辑以对立统一和更高进阶的抽象运作，给出事物的变易性、联系性、过程性、历史性和发展性。从变易性、联系性、过程性、历史性和发展性上勘察事物总体。

辩证逻辑和形式逻辑的界分是：形式逻辑是定格的、闭环的抽象运作，辩证逻辑是变易的、开放的抽象运作。

人类心灵在概念方式的抽象运作上，有两种不同的逻辑方式：即定格的逻辑方式和变易的逻辑方式。

在形式逻辑的定格中，事物有定格的规定，心灵可以定格地进行事物的区分和推理判断。

在辩证逻辑的变易中，一切事物都不是自我绝对的和永恒不变的，处在对立统一的更高进阶过程中。

如何看待形式逻辑和辩证逻辑的相互关系呢？

1、两者各有所长，对于人类思维和实践来说，两者互补，都是不可偏废和缺失的。

2、没有形式逻辑，思维的抽象运作无以进行事物的定格规定和判断；没有辩证逻辑，思维的抽象运作则无以把握事物的变易过程和过程总貌。

3、形式逻辑和辩证逻辑的抽象运作都是概念方式的，是概念逻辑的绽出。我们既不能高仰辩证逻辑而贬低形式逻辑，也不能滞于形式逻辑而拒绝辩证逻辑，应当共同地将它们理解为是人类思维抽象运作的有效方式。

三、数理逻辑 ——

一般教科书总是告诉我们，数理逻辑用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科，是利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程。十七世纪的莱布尼茨就曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论”。

由此可见，数理逻辑的核心是要把逻辑数理化，把逻辑运作转化为数学运算。

把握数理逻辑关键两点：

一是何谓数学。任何一门数学都是建立在数字符号、代数符号和运算符号操作的抽象运作上的，也就是建立在各种特定的数字符号、代数符号和运算符号的设立，以及运算规则确立的基础上的，不同的数字符号、代数符号、运算符号，以及运算规则的创立，生成不同的数学门类。

以十进制四则运算为例：

1+1=2；

2-1=1；

2×2=4；

6÷3=2。

这里，我们看到十进制四则运算是有它的特定的数字符号、运算符号和运算规则的，以这样的数字符号、运算符号和运算规则为架构，进行抽象运作的，获得抽象运作的逻辑必然。

以代数二元一次方程为例：

4筐苹果和3筐梨共重310千克，3筐苹果和5筐梨共重370千克，苹果、梨每筐分别重多少千克？

分析与解答：设苹果每筐x千克，梨每筐y千克。根据4筐苹果和3筐梨共重310千克，列出方程4x+3y=310；再根据3筐苹果和5筐梨共重370千克列出方程3x+5y=370

4x+3y=310①

3x+5y=370 ②

①式两边都乘以3，得12x+9y=930③

②式两边都乘以4，得12x+20y=1480④

用④式减去③式，得11y=550

y=50

（310-50×3）÷4

=160÷4

=40(千克）

答：苹果每筐重40千克，梨每筐重50千克。

这里，我们看到代数方程运算亦是有它的特定的数字符号、运算符号和运算规则的，以这样的数字符号、运算符号和运算规则为架构，进行抽象运作的，获得抽象运作的逻辑必然。

这样的情况说明，任何一门数学学科的创立和应用，既关切于它们的数字符号、代数符号和运算符号的设立，又关切于它们运算规则的确立。数学的发展和创立实质上就是种种新的数字符号、代数符号和运算符号，以及运算规则的确立，这是数学的灵魂。一个国家的数学创新，关键在于能否创立新的数字符号、代数符号、运算符号和运算规则，进而在抽象和经验统一的求取中，找到它的运用领域。

二是何谓逻辑。逻辑学的对象是思维，而人类思维运动的本质就是概念的抽象运作，即以符号为中介的抽象运作，这样的抽运作生成了人类的认知和图像，生成了人类的思想和自我意识，生成了人类的实践和精神。因此，所谓逻辑，归根到底就是以符号为中介的抽象运作，就是概念抽象运作的架构方式。

由此，所谓数理逻辑，就是把以符号为中介的概念抽象运作，全部地代入和转换为数理符号的抽象运作，使概念方式的抽象运作成为数理符号操作的运算。

数百年来，西方逻辑学的发展逐步，随着极限求取的数理化，图形求取的数理化，计算机控制指令程序的数理化，以及文字、语言、色彩、影像、音乐、观测、搜索，以及各种物理的、化学的、经济的等等状态和性状的数理化发展，越来越广泛地推动了逻辑和数理的技术结合。

当代电子智能技术的发展，更使人们向往通过数理逻辑和电子技术结合，造就一种机器人的逻辑装置，这个机器人的逻辑装置不仅能够替代人类的大脑进行计算，而且能够替代人类的大脑进行思想和自主作为。

这样，当代数理逻辑发展本质在于，在电子技术的支撑下，造就一种机器人的逻辑装置，这种逻辑装置能够和人类的大脑一样，以更大的规模、更快的速度、更高的效率，自主地产生思想和自我意识，自主地产生实践创造的能力，由此造就未来的电子生命、电子意识和电子智能。

可见，数理逻辑的本质不仅仅是形式逻辑的数理化，辩证逻辑的数理化，也不是为人类的而语言和思想提供标准的绝对方法，它的更高发展是实现概念逻辑的数理运作，为人类智能机器人的制造提供逻辑装置。

实现数理逻辑的更高发展，需要精深地勘察人类意识结构中的概念抽象运作，搞清概念抽象运作的逻辑方式和逻辑架构，只有这样，才能真正地实现数理逻辑的追求。

C. 分析哲学的基本特征

尽管如此，他们的观点仍有一些共同特征。这主要表现在以下几个方面：
①重视语言在哲学中的作用，把语言分析当作哲学的首要任务，甚至当作它的唯一任务。分析哲学家普遍把全部哲学问题归结为语言问题，认为哲学的混乱产生于滥用或误用语言，许多哲学争端都可以归结为语言问题的争端。他们把哲学的内容或者归结为对科学语言进行逻辑分析，或者对日常语言进行语义分析，认为哲学不是理论，而是活动，哲学家的任务不是发现和提出新的命题,而是阐释思想,使已有的命题变得清晰。他们强调语言对哲学的影响，重视对语言问题的研究，强调概念的明确性和推理的严密性。这种观点有其合理性。可是，他们把全部哲学问题归结为语言问题，认为哲学的任务不是探索世界的本原和本质，不是研究自然界、社会和思维的一般发展规律，而仅仅是对语言进行逻辑分析或语义分析，这就否定了哲学作为世界观和认识论的理论意义，从而否定了哲学本身。而且，哲学混乱的出现，究其根源，尽管不排除语言的滥用或误用，但最根本的原因应从认识论和一定社会的政治、经济中去寻找。因此，仅仅依靠语言分析并不能彻底揭露哲学混乱的实质，更不可能根除它们。
② 普遍重视分析方法。罗素和前期的维特根斯坦以及逻辑经验主义者，都十分强调形式分析或逻辑分析，即从纯粹逻辑的观点分析语言的形式，研究现实和语言的最终结构。摩尔和后期的维特根斯坦以及日常语言学派,则强调概念分析或语言分析,即研究概念的各种特性、特质以及它们之间的相互关系，仔细分析与认识有关的某些具体词汇。分析作为一种研究方法能起一定作用，这种方法在语言哲学等方面已取得某些积极成果。但是，这些分析哲学家把分析方法夸大为哲学研究的主要的甚至是唯一的方法，在应用时，还往往把语言的内容和形式割裂开来。由于他们片面强调分析，忽视综合，以致他们的研究成果往往显得烦琐，不能对认识对象作出全面、概括和综合的说明。
③ 反对建立庞大的哲学体系，主张在解决哲学问题时要从小问题着手，由小到大地逐一解决。分析哲学家尤其是逻辑经验主义者，强调要以自然科学，特别是数学和物理为模本建立自己的理论，要使自己的概念和论证达到自然科学那样的精确程度。他们利用数理逻辑作为自己的主要研究手段，并建立了一套技术术语。但由于他们片面强调哲学研究的科学性，把大部分、甚至全部精力用于研究某些细小问题，忽视或者拒绝研究哲学基本问题，致使他们的研究背离哲学的本质，并与现实社会生活脱节，流于纯粹学院式的研究。 分析哲学流派情况复杂，需作具体分析，特别要把他们所运用的数理逻辑及其形式化的研究方法，与其作出的哲学结论区别开来。前者大多具有科学价值，后者则往往是唯心主义的。