布朗运动运用的物理研究方法

A. 最了不起的发现之一—布朗运动，极大地影响了我们对宇宙的理解

布朗运动是指悬浮在液体或气体中的微粒所做的永不停息的无规则运动。它最早是由罗伯特-布朗在19世纪描述的，当时他观察到小的花粉颗粒以颤抖的方式移动。这种运动已经成为一个深入研究的课题，并导致了整个科学的众多进步。

当罗伯特-布朗描述这种运动时，气体的动力学理论正在发展中，该理论将气体描述为一群随机地相互碰撞的粒子。当我们观察到越来越多的这种随机相互作用时，温度和压力之类的量就开始出现了。

进入20世纪后，这种理论仍有争议，统计力学也没有被完全接受。然后，爱因斯坦出现了。他在1905年和1908年发表了两篇论文，将布朗运动正式化，并布置了具体的实验来证明气体的动力学理论是真实的。这些实验是由让·巴蒂斯特·佩林（ Jean Baptiste Perrin）完成的，他验证了爱因斯坦的理论，并证明了气体动力学理论的准确性。佩林因为这个实验在1926年获得了诺贝尔物理学奖。

这是物理学的一个重大发展，对我们对宇宙的理解产生了巨大影响。到目前为止，我只笼统地谈了布朗运动。如果能有一些具体的方程来谈，那就更好了。不幸的是，爱因斯坦的描述并不容易理解。我们将使用保罗-朗格文的理论，他声称他的推理是 "无限简单的"。

朗温做了很多工作。他的贡献包括提出 "孪生佯谬"，利用超声波定位潜艇的专利，以及在顺磁性和抗磁性方面的大量工作。他还因与玛丽-居里有染而受到议论（她是寡妇，但他是已婚）。在这篇文章中，我们将看一下他对布朗运动的正式描述的推导。

郎之万从以下方程出发，这是统计力学的一个结果。

其中m是质量，v是速度，k是玻尔兹曼常数，T是温度。请注意，符号">"表示我们在取平均量。这个方程适用于一定体积的气体，所以左手边是该气体中每个粒子的平均值。

现在，让我们挑出一个质量为m的特定粒子。我们发现有两个力作用于它。第一个是阻力，我们用-F*v来表示，其中F是一个常数，取决于粒子（我们假设F对每个粒子都是一样的），v是速度。第二个是由B给出的，它代表粒子的随机 "波动"。我们假设B的平均值是0。

如果你把每项都乘以x，然后用乘积法则做一些变换，你会得到下面的方程式。

试着自己推导一下吧。

现在，取每个项的>。也就是说，对我们体积中的每个粒子进行平均。得到了：

我做了一点整理，但也注意到B*x项没有了。为什么我们可以消掉它？之前我说过，我们假设B的平均值是0。这意味着当我们观察体积中每个粒子所经历的随机碰撞时，它会被抵消掉。因为我们假设一个粒子所经历的随机波动（B）与它的位置（x）没有关系，这是一个很大的假设，其他人已经在没有这个假设的情况下完成了这个推导。

这个方程是可解的 。 我们来求 的一次导数的解。我得到

其中C是任意常数。朗之万指出指数项是无关紧要的。去掉这一项并求解 得到解：

其中 的初始值为A。这是一个非常强大的方程！它使我们能够估计 "扩散 "的程度。它允许我们纯粹通过了解气体的温度（T）和粒子的微观属性（F），来估计气体是如何“扩散”的。布朗运动是一个令人难以置信的工具，它使我们能够将微观运动与宏观动力学联系起来！推导出这个方程是至关重要的。推导出这个方程是理解随机过程的关键步骤。

这个解也非常类似于我在这篇文章中描述的 "随机波动 "情况，但它反而被应用于理想化的气体。

如果你有兴趣阅读更多关于布朗运动的文章，我强烈推荐这本书。我是从这本书中得到这个推导的。你会发现，即使在第一章，这些想法也可以进一步得到非常有趣的结果。

B. 布朗是怎样发现布朗运动的

“布朗运动”是一种很有名的自然现象，它向人们展示了分子世界的面貌，布朗运动的发现者罗伯特·布朗在肉眼可以观察得到的现象与肉眼看不见的分子世界之间架起了一座桥梁，为证明分子的存在提供了确凿的证据。

1773年12月21日，布朗（Robert Brown）出生于苏格兰的蒙特罗斯，曾在爱丁堡大学学习医学，其后应征在海军服役。1795年获该校医学博士学位。由于他对植物学很感兴趣，受到了着名植物学家班克斯的赏识，在1801—1805年间，布朗随班克斯赴澳大利亚探险，在当地采集到四千多种植物标本。回国以后，布朗负责管理这些标本，进行植物分类学的研究。

1827年，当布朗五十三岁的时候，他已经是很有名的植物学家了，而且担任了大英博物馆植物部的负责人。当时他正在探讨花粉在植物受精过程中的功能，他从成熟的花粉囊中采集了花粉粒，并把它们浸泡在水中，然后放在显微镜下观察。那个时候的显微镜当然比现代的显微镜要差得多，当时布朗所用的显微镜的放大倍数只有三百倍左右。他在显微镜下观察到，在花粉分裂出来的微粒中，有些是圆筒形的，他继续观察这些微粒，以为这样就可以了解到花粉在受精过程中的作用。正当他细心地观察和耐心地等待时，意外地发现这些微粒全都在作颤抖似的运动。这一现象使布朗迷惑不解，到底是由于水在流动而引起了这些微粒的运动？还是因为微粒本身就会产生运动？

为了揭开这一自然界的奥秘，布朗将已经熟透的花粉囊中的花粉粒取出，把它们浸泡在水中。这一次发现的现象更为奇怪，他先前在显微镜下观察到的那种圆筒形的微粒为数不多，大量存在的都是更小的球形微粒，它们的运动比圆筒形的微粒更为剧烈。

这个意外的发现，使布朗暂时把对花粉在授精作用中的功能的研究放下来，专心致志地观察这些微粒的运动。他取来了各种植物的花粉，把它们浸泡在水里，它们的微粒的大小和形状虽然有些不同，但是却存在着一种共同的特性， 就是所有的微粒都在剧烈地运动。
布朗进一步推想，也许这种微粒运动不仅仅限于花粉。于是他把苔类的叶子弄碎，也浸泡在水中，同样能够观察到运动着的微粒。他把可以取得的有机物（例如动物、植物、树脂、树胶）都作为观察的对象，甚至连煤、灰尘和化石也不放过。结果是毫无例外地都发现微粒在运动。

布朗还考虑到：“在有机物中，毫无疑义地存在着这种微粒，但是它们是否存在于无机物中呢？”他把玻璃片粉碎，还取来了各种岩石（如钟乳石、熔岩、沸石、花岗岩、火山灰）和矿石（如锰、铋、锑、砷、钨的矿石），还有石棉、石墨等，将它们研成细粉，悬浮在水中。观察的结果都证实了有机物和无机物中所含有的，用显微镜才能够看得见的微粒无不都在水中生气勃勃地乱动着。就这样，布朗发现了这一自然现象——“布朗运动”。

后来，布朗想通过进一步的研究，了解和阐明微粒发生运动的原因。但是，终究因为受到当时科学水平的限制，未能弄清问题的本质。布朗于1858年6月10日在伦敦逝世，享年84岁。

1905年，杰出的物理学家爱因斯坦提出了微粒运动理论，阐明了布朗运动是由分子运动所引起的，爱因斯坦的理论又为佩兰法的实验所证实。佩兰还利用这一理论测定了阿佛加德罗常数。

C. 布朗运动 物理研究方法

A、牛顿通过对天体运动的研究，根据开普勒定律、牛顿第二定律、第三定律，直接得出万有引力定律，这种方法不是转换法．故A错误．
B、爱因斯坦在普朗克量子学说的启发下提出了光子说，采用的是类比法．故B错误．
C、欧姆在研究电流与电压、电阻关系时，采用的控制变量法得到了欧姆定律．故C错误．
D、奥斯特通过放在通电直导线下方的小磁针发生偏转，根据小磁针的偏转得出通电导线的周围存在磁场的结论，是一种转换法．故D正确．
故选：D

D. 布朗运动的具体证明方法

悬浮微粒不停地做无规则运动的现象叫做布朗运动
这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉是发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动。

那么，布朗运动是怎么产生的呢？在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地抓高年级微粒。悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向运动。这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。

1827年，苏格兰植物学家R。布朗发现水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的折线运动，称为布朗运动。人们长期都不知道其中的原理。50年后，J·德耳索提出这些微小颗粒是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动。后来得到爱因斯坦的研究的证明。布朗运动也就成为分子运动论和统计力学发展的基础。
悬浮在液体或气体中的微粒(线度~10－3mm)表现出的永不停止的无规则运动，如墨汁稀释后碳粒在水中的无规则运动，藤黄颗粒在水中的无规则运动……．而且温度越高，微粒的布朗运动越剧烈．布朗运动代表了一种随机涨落现象，它不仅反映了周围流体内部分子运动的无规则性，关于它的理论在其他许多领域也有重要应用，如对测量仪表测量精度限度的研究、对高倍放大的电讯电路中背景噪声的研究等等．

19世纪中对布朗运动的研究

布朗的发现是一个新奇的现象，它的原因是什么？人们是迷惑不解的。在布朗之后，这一问题一再被提出，为此有许多学者进行过长期的研究。一些早期的研究者简单地把它归结为热或电等外界因素引起的。最早隐约指向合理解释的是维纳(1826——1896)，1863年他提出布朗运动起源于分子的振动，他还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。不过他的分子模型还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是振动。

在维纳之后，S·埃克斯纳也测定了微粒的移动速度。他提出布朗运动是由于微观范围的流动造成的，他没有说明这种流动的根源，但他看到在加热和光照使液体粘度降低时，微粒的运动加剧了。就这样，维纳和S.埃克斯纳都把布朗运动归结为物系自身的性质。这一时期还有康托尼，他试图在热力理论的基础上解释布朗运动，认为微粒可以看成是巨大分子，它们与液体介质处于热平衡，它们与液体的相对运动起源于渗透作用和它们与周围液体之间的相互作用。

到了70——80年代，一些学者明确地把布朗运动归结为液体分子撞击微粒的结果，这些学者有卡蓬内尔、德尔索和梯瑞昂，还有耐格里。植物学家耐格里(1879)从真菌、细菌等通过空气传播的现象，认为这些微粒即使在静止的空气中也可以不沉。联系到物理学中气体分子以很高速度向各方向运动的结论，他推测在阳光下看到的飞舞的尘埃是气体分子从各方向撞击的结果。他说：“这些微小尘埃就象弹性球一样被掷来掷去，结果如同分子本身一样能保持长久的悬浮。”不过耐格里又放弃了这一可能达到正确解释的途径，他计算了单个气体分子和尘埃微粒发生弹性碰撞时微粒的速度，结果要比实际观察到的小许多数量级，于是他认为由于气体分子运动的无规则性，它们共同作用的结果不能使微粒达到观察速度值，而在液体中则由于介质和微粒的摩擦阻力和分子间的粘附力，分子运动的设想不能成为合适的解释。

1874——1880年间，卡蓬内尔、德耳索和梯瑞昂的工作解决了耐格里遇到的难题。这里的关键是他们认为由于分子运动的无规则性和分子速度有一分布，在液体或气体中的微观尺度上存在密度和压力的涨落。这种涨落在宏观尺度上抵消掉了。但是如果压方面足够微小，这种不均匀性就不能抵消，液体中的相应的扰动就能表现出来。因此悬浮在液体中的微粒只要足够小，就会不停地振荡下去。卡蓬内尔明确地指出唯一影响此效应的因素是微粒的大小，不过他把这种运动主要看成振荡，而德耳索根据克劳修斯把分子运动归结为平动和转动的观点，认为微粒的运动是无规则位移，这是德耳索的主要贡献。

此后，古伊在1888——1895年期间对布朗运动进行过大量的实验观察。古伊对分子行为的描述并不比卡蓬内尔等人高明，他也没有弄清涨落的见解。不过他的特别之处是他强调的不是对布朗运动的物理解释，而是把布朗运动作为探究分子运动性质的一个工具。他说：“布朗运动表明，并不是分子的运动，而是从分子运动导出的一些结果能向我们提供直接的和可见的证据，说明对热本质假设的正确性。按照这样的观点，这一现象的研究承担了对分子物理学的重要作用。”古伊的文献产生过重要的影响，所以后来贝兰把布朗运动正确解释的来源归功于古伊。

到了1900年，F·埃克斯纳完成了布朗运动前期研究的最后工作。他用了许多悬浊液进行了和他的父亲S·埃克斯纳30年前作过的同类研究。他测定了微粒在1min内的位移，与前人一样，证实了微粒的速度随粒度增大而降低，随温度升高而增加。他清楚地认识到微粒作为巨大分子加入了液体分子的热运动，指出从这一观点出发“就可以得出微粒的动能和温度之间的关系。”他说：“这种可见的运动及其测定值对我们清楚了解液体内部的运动会有进一步的价值”。

以上是1900年前对布朗运动研究的基本情况。自然，这些研究与分子运动论的建立是密切相关的。由麦克斯威和玻尔兹曼在60——70年代建立的气体分子运动论在概念上的一个重大发展是抛弃了对单个分子进行详细跟踪的方法，而代之以对大量分子的统计处理，这为弄清布朗运动的根源打下了基础。与布朗运动的研究有密切关系的还有在60年代由格雷哈姆建立的胶体科学。所谓胶体是由粒度介于宏观粒子和微观分子之间的微粒形成的分散体系，布朗运动正是胶体粒子在液体介质中表现的运动。

对于布朗运动的研究，1900年是个重要的分界线。至此，布朗运动的适当的物理模型已经显明，剩下的问题是需要作出定量的理论描述了。

爱因斯坦的布朗运动理论

1905年，爱因斯坦依据分子运动论的原理提出了布朗运动的理论。就在差不多同时，斯莫卢霍夫斯基也作出了同样的成果。他们的理论圆满地回答了布朗运动的本质问题。

应该指出，爱因斯坦从事这一工作的历史背景是那时科学界关于分子真实性的争论。这种争论由来已久，从原子分子理论产生以来就一直存在。本世纪初，以物理学家和哲学家马赫和化学家奥斯特瓦尔德为代表的一些人再次提出对原子分子理论的非难，他们从实证论或唯能论的观点出发，怀疑原子和分子的真实性，使得这一争论成为科学前沿中的一个中心问题。要回答这一问题，除开哲学上的分岐之外，就科学本身来说，就需要提出更有力的证据，证明原子、分子的真实存在。比如以往测定的相对原子质量和相对分子质量只是质量的相对比较值，如果它们是真实存在的，就能够而且也必须测得相对原子质量和相对分子质量的绝对值，这类问题需要人们回答。

由于上述情况，象爱因斯坦在论文中指出的那样，他的目的是“要找到能证实确实存在有一定大小的原子的最有说服力的事实。”他说：“按照热的分子运动论，由于热的分子运动，大小可以用显微镜看见的物体悬浮在液体中，必定会发生其大小可以用显微镜容易观测到的运动。可能这里所讨论的运动就是所谓‘布朗分子运动’”。他认为只要能实际观测到这种运动和预期的规律性，“精确测定原子的实际大小就成为可能了”。“反之，要是关于这种运动的预言证明是不正确的，那么就提供了一个有份量的证据来反对热的分子运动观”。

爱因斯坦的成果大体上可分两方面。一是根据分子热运动原理推导
是在t时间里，微粒在某一方向上位移的统计平均值，即方均根值，D是微粒的扩散系数。这一公式是看来毫无规则的布朗运动服从分子热运动规律的必然结果。

爱因斯坦成果的第二个方面是对于球形微粒，推导出了可以求算阿
式中的η是介质粘度，a是微粒半径，R是气体常数，NA为阿伏加德罗常数。按此公式，只要实际测得准确的扩散系数D或布朗运动均方位 得到原子和分子的绝对质量。爱因斯坦曾用前人测定的糖在水中的扩散系数，估算的NA值为3.3×1023，一年后(1906)又修改为6.56×1023。

爱因斯坦的理论成果为证实分子的真实性找到了一种方法，同时也圆满地阐明了布朗运动的根源及其规律性。下面的工作就是要用充足的实验来检验这一理论的可靠性。爱因斯坦说：“我不想在这里把可供我使用的那些稀少的实验资料去同这理论的结果进行比较，而把它让给实验方面掌握这一问题的那些人去做”。“但愿有一位研究者能够立即成功地解决这里所提出的、对热理论关系重大的这个问题！”爱因斯坦提出的这一任务不久之后就由贝兰(1870——1942)和斯维德伯格分别出色的完成了。这里还应该提到本世纪初在研究布朗运动方面一个重大的实验进展是1902年齐格蒙第(1865——1929)发明了超显微镜，用它可直接看到和测定胶体粒子的布朗运动，这也就是证实了胶体粒子的真实性，为此，齐格蒙第曾获1925年诺贝尔化学奖。斯维德伯格测定布朗运动就是用超显微镜进行的。

贝兰测定阿伏加德罗常数的实验

1908到1913年期间，贝兰进行了验证爱因斯坦理论和测定阿伏加德罗常数的实验研究。他的工作包括好几方面。在初期，他的想法是，既然在液体中进行布朗运动的微粒可以看成是进行热运动的巨大分子，它们就应该遵循分子运动的规律，因此只要找到微粒的一种可用实验观测的性质，这种性质与气体定律在逻辑上是等效的，就可以用来测定阿伏加德罗常数。1908年，他想到液体中的悬浮微粒相当于“可见分子的微型大气”，所以微粒浓度(单位体积中的数目)的高度分布公式应与气压方程有相同的形式，只是对粒子受到的浮力应加以校正。这一公式是：ln(n／n0)=-mgh(1-ρ／ρ0)／kt。式中k是波尔兹曼常数，自k和NA的关系，公式也可写成ln(n／n0)=-NA mgh(1-ρ／ρ0)／RT。根据此公式，从实验测定的粒子浓度的高度分布数据就可以计算k和NA。

为进行这种实验，先要制得合用的微粒。制备方法是先向树脂的酒精溶液中加入大量水，则树脂析出成各种尺寸的小球，然后用沉降分离的方法多次分级，就可以得到大小均匀的级份(例如直径约3／4μm的藤黄球)。用一些精细的方法测定小球的直径和密度。下一步是测定悬浮液中小球的高度分布，是将悬浮液装在透明和密闭的盘中，用显微镜观察，待沉降达到平衡后，测定不同高度上的粒子浓度。可以用快速照相，然后计数。测得高度分布数据，即可计算NA。贝兰及其同事改变各种实验条件：材料(藤黄、乳香)，粒子质量(从1到50)，密度(1.20到1.06)，介质(水，浓糖水，甘油)和温度(-90°到60°)，得到的NA值是6.8×1023。

贝兰的另一种实验是测量布朗运动，可以说这是对分子热运动理论的更直接证明。根据前述的爱因斯坦对球形粒子导出的公式，只要实验液，在选定的一段时间内用显微镜观察粒子的水平投影，测得许多位移数值，再进行统计平均。贝兰改变各种实验条件，得到的NA值是(5.5-7.2)×1023。贝兰还用过一些其它方法，用各种方法得到的NA值是：

6.5×1023 用类似气体悬浮液分布法，

6.2×1023 用类似液体悬浮液分布法，

6.0×1023 测定浓悬浮液中的骚动，

6.5×1023 测定平动布朗运动，

6.5×1023 测定转动布朗运动。

这些结果相当一致，都接近现代公认的数值6.022×1023。考虑到方法涉及许多物理假设和实验技术上的困难，可以说这是相当了不起的。以后的许多研究者根据其它原理测定的No值都肯定了贝兰结果的正确性。与贝兰差不多同时，斯维德伯格(1907)用超显微镜观测金溶胶的布朗运动，在测定阿伏加德罗常数和验证爱因斯坦理论上也作出了出色的工作。可以说他们是最先称得原子质量的人，所以在1926年，贝兰和斯维德伯格分别获得了诺贝尔物理学奖和化学奖。

就这样，布朗运动自发现之后，经过多半个世纪的研究，人们逐渐接近对它的正确认识。到本世纪初，先是爱因斯坦和斯莫卢霍夫斯基的理论，然后是贝兰和斯维德伯格的实验使这一重大的科学问题得到圆满地解决，并首次测定了阿伏加德罗常数，这也就是为分子的真实存在提供了一个直观的、令人信服的证据，这对基础科学和哲学有着巨大的意义。从这以后，科学上关于原子和分子真实性的争论即告终结。正如原先原子论的主要反对者奥斯特瓦尔德所说：“布朗运动和动力学假说的一致，已经被贝兰十分圆满地证实了，这就使那怕最挑剔的科学家也得承认这是充满空间的物质的原子构成的一个实验证据”。数学家和物理学家彭加勒在1913年总结性地说道：“贝兰对原子数目的光辉测定完成了原子论的胜利”。“化学家的原子论现在是一个真实存在”。

E. 什么是布朗运动

布朗运动是悬浮在液体或气体中的微粒所作的永不停息的无规则运动。它是一种正态分布的独立增量连续随机过程，是随机分析中基本概念之一。

其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0方差为t(时间)的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

这些小的颗粒，为液体的分子所包围，由于液体分子的热运动，小颗粒受到来自各个方向液体分子的碰撞，布朗粒子受到不平衡的冲撞，而作沿冲量较大方向的运动。又因为这种不平衡的冲撞，使布朗微粒得到的冲量不断改变方向。

(5)布朗运动运用的物理研究方法扩展阅读

布朗微粒作无规则的运动。温度越高，布朗运动越剧烈。它间接显示了物质分子处于永恒的、无规则的运动之中。

但是，布朗运动并不限于上述悬浮在液体或气体中的布朗微粒，一切很小的物体受到周围介质分子的撞击，也会在其平衡位置附近不停地做微小的无规则颤动。

例如，灵敏电流计上的小镜以及其他仪器上悬挂的细丝，都会受到周围空气分子的碰撞而产生无规则的扭摆或颤动。