A. 在数学中为什么要用代数的方法来研究几何问题
历史上把用代数研究几何的方法称为解析几何。在欧几里得几何出现的几百年后，各种非欧几何开始出现，解析几何就是非欧几何的一种。在解析几何中，数轴上的点、直角坐标系上的点、多维坐标系上的点可以分别表示实数、有序实数对和有序多维实数对。这样整个几何空间的点都可以用数来表示和衡量。这样欧式几何学的定理都可以通过向量的运算解决。降低了几何证明的难度。
B. 在解析几何中，运用代数方法研究几何问题是实质，还是用几何方法研究代数问题是实质，为什么求解释
在解析几何中，实质是运用代数方法研究几何问题。中学解析几何，主要是用代数方法研究圆锥曲线的几何特征。
C. 为什么解析几何问题可以用代数方法解决
你只要搞清楚解析几何是如何建立的就行了
比如说，在平面上取一个点O（相当于原点），然后过O取两条垂直的直线L1和L2（相当于坐标轴）
平面上的任何一点P都可以向L1和L2引垂线得到垂足P1和P2，那么P点基本上由线段长度|OP1|=|PP2|和|OP2|=|PP1|确定，最多有四个点会得到相同的投影线段长度
为了唯一确定P，可以给OP1和OP2加上符号，先给L1和L2各自定一个方向，然后看OP1的方向与L1的方向是否一致来确定OP1的符号（相当于确定了P的横坐标），同样确定OP2的符号（纵坐标），这样一来P的位置就唯一地由OP1和OP2的数值确定
至此平面上每个点都可以用上述投影的方式来和一对实数建立起一一对应关系，如果你把括号里的话全都去掉那就是在平面几何里反复做垂线的过程，不需要知道解析几何的概念
再看求交点，用上述方式建立起对应关系之后满足某些性质的点放到一起形成一个点集，一般来讲曲线可由一个二元方程来刻画，而一次或二次的曲线方程的建立都依赖于距离，和L1或L2平行的线段的距离没什么好说的，不平行的话可以用勾股定理转化到前者（这样建立了解析几何里的距离公式），这样一来即使在平面几何里也可以直接建立起曲线方程
两曲线的交点P必须满足
1）若P在曲线C1上当且仅当OP1和OP2满足C1对应的方程
2）若P在曲线C2上当且仅当OP1和OP2满足C2对应的方程
所以方程组的联立解唯一确定P的位置
反正解析几何处理的问题就是用代数的方式去描述几何，如果回避掉解析几何只要反复做垂线和平行线然后用平行线的性质以及勾股定理就行了，等到代数化之后代数的问题当然可以用代数学里面的定理。事实上代数和几何的界限本来就是人为的，并不是说两者非常独立