谱方法数值分析

① 从经典谱估计到现代谱估计

谐波分析最早可追溯到古代对时间的研究。18世纪伯努利（Bernoulli）、欧拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）等人对波动方程及其正弦解进行了研究，19世纪初叶，傅立叶（Fourier）证明了在有限时间段上定义的任何函数都可以用正弦和余弦分量的无限谐波的总和来表示。1898年舒斯特（Schuster）以傅立叶分析为基础来拟合待分析信号，研究太阳黑子数的周期变化，并提出了周期图的概念。1930年维纳（Wiener）发表了经典性论文《广义谐波分析》，对平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度作了精确的定义，证明了二者之间存在着傅氏变换（以下简称傅氏变换）的关系，从而为功率谱分析奠定了坚实的统计学基础。由于1934年辛钦（Khintchine）也独立地证明了自相关函数和功率谱之间的傅氏变换关系，即维纳-辛钦（Wiener-Khintchine）定理。根据这个定理（详见第一章），平稳离散随机信号x（n）的自相关函数r_xx（m）

r_xx（m）=E［x（m+n）x^*（n）］ （4-1）

与功率谱P_xx（e^jω）之间构成一傅氏变换对，即

地球物理信息处理基础

若x（n）还是各态遍历性的，则其自相关函数可由它的一个采样时间序列用时间平均的方法求出，即

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在大多数应用中x（n）是实信号，于是上式可写成

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实际上，一般只能在时域观测到随机信号的有限个采样值（例如N个值），可表示为

x_N（n）=｛x（0），x（1），…，x（N-1）｝=｛x（n），n=0，1，…，N-1｝

其自相关函数只能由这N个采样数据进行估计，常用有偏估计

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这是一种渐近一致估计，称之为采样自相关函数。

用采样自相关函数的傅氏变换作为功率谱的估计，这种方法是布莱克曼（R.Blackman）和杜基（J.Tukey）在1958年提出来的，称为功率谱估计的自相关法（简称BT法）。此方法需要先求出有限个观测数据估计自相关函数，然后再根据式（4-2）计算出功率谱。在快速傅氏变换（FFT）算法提出之前，这是一种最流行的功率谱估计方法。

1965年库利（Cooley）和杜基（Tukey）完善了着名的FFT算法，使计算傅氏变换的速度提高了两个数量级，运算量显着降低，这样DFT变换很快在各领域，特别是在工程实践中得到了广泛应用。由式（4-5）知，

为x（n）与x（-n）的卷积运算，因为

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若x（n）的傅氏变换为X（e^jω），则x（-n）的傅氏变换等于X^*（e^jω）。对式（4-5）两端取傅氏变换，得到

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这表明：通过对随机数据直接进行离散傅氏变换，然后取其幅值的平方，再对多样本进行此种运算并取平均值作为功率谱的估计，即舒斯特的周期图，这种谱估计受到了人们的普遍重视，因为它不需要计算自相关函数，而直接计算功率谱。

周期图和自相关法以及它们的改进方法称为功率谱估计的经典方法，周期图和自相关法是经典功率谱估计的两个基本方法。由于FFT的出现，周期图和自相关法往往被结合起来使用，其步骤如下：

（1）对x_N（n）补N个零，求

；

（2）由

作傅氏变换，得

，这时｜m｜≤M=N-1；

（3）对

加窗函数v（m），这时｜m｜≤M＜＜N-1，得

；

（4）利用

，求

的傅氏变换，即

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由周期图法得到的功率谱

，其估计方差并不随样本长度的增加而趋于零，

，出人意料的是，不管数据记录有多长，周期图和自相关法得到的估计都不是功率谱的良好估计。事实上，随着记录长度增加，这两种估计的随机起伏反而会更加严重！此外，它们存在着以下两个难以克服的固有缺点。

（1）频率分辨率（区分两个邻近频率分量的能力）不高。因为它们的频率分辨率（赫兹）反比于数据记录长度（秒）（即Δf=k/T_p=k/NT，k为常数，T_p=NT为数据的记录长度，T为采样周期），而实际应用中一般不可能获得很长的数据记录，即观察到的数据只能是有限个，而观察不到的数据被认为是0。这样，如果只有N个观测数据，而对于N以外的数据，信号仍有较强的相关性，那么估计出的功率谱就会出现很大的偏差。

（2）对于有限的观测数据，相当于将信号在时域内乘以矩形窗函数，因而在频域内则相当于使真正的功率谱与sinc函数进行卷积，由于sinc函数不同于δ 函数，它有主瓣和旁瓣，这样使卷积后的功率谱不同于真正的功率谱。sinc函数的主瓣不是无限窄的，引起功率谱向附近频域扩展，造成谱的模糊，降低谱的分辨率；同时，由于sinc函数的旁瓣存在，导致能量向旁瓣中“泄漏”（称之为旁瓣泄漏），即引起频谱间的干扰，信号强的功率谱旁瓣影响信号弱的功率谱检测，严重时，会使主瓣产生很大失真，检测不出弱信号，或者把旁瓣误认为是信号，造成假信号。为了对经典功率谱估计进行改进，可以采用各种不同的窗函数，但其结果都是以增加主瓣宽度来换取旁瓣的压低，因此功率谱分辨率低是经典功率谱估计的致命缺点。

为了克服以上缺点，人们曾做过长期努力，提出了平均、加窗平滑等办法，在一定程度上改善了经典功率谱估计的性能。实践证明，对于长数据记录来说，以傅氏变换为基础的经典功率谱估计方法，的确是比较实用的。但是，经典方法始终无法根本解决频率分辨率和功率谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在数据记录很短的情况下，这一矛盾显得尤为突出。这就促进了现代功率谱估计方法研究的展开。

现代功率谱估计方法主要是以随机过程（Stochastic Process）的参数模型（Parameter Model）为基础的，称之为参数模型方法。虽然说现代功率谱估计技术的研究和应用主要起始于60年代，但实际上，时间序列模型在非工程领域早已被采用，如Yule在1927年、Walker在1931年都曾使用过自回归模型预测描述经济的时间序列的发展趋势，而Prony则早在1795年就曾采用指数模型去拟合在气体化学实验中获得的数据。在统计学和数值分析领域中，人们也曾采用过模型方法。

现代功率谱估计的提出主要是针对经典功率谱估计（周期图和自相关法）的分辨率和方差性能不好的问题而提出的。1967年Burg在地震学研究中受到线性预测滤波的启发，提出了最大熵谱估计方法，在提高分辨率方面作了最有意义的探索。1968年Parzen正式提出了自回归谱估计方法。1971年Van der Bos证明了一维最大熵谱估计与自回归谱估计等效。1972年出现的谱估计的Prony方法在数学上与自回归方法有某些类似。目前以自回归滑动平均模型为基础的谱估计已经比自回归模型谱估计具有更高的频率分辨率和更好的性能。1973年Pisarenko提出的谐波分解方法提供了可靠的频率估计方法。1981年Schmidt提出了谱估计的多信号分类（MUSIC）算法等。因此，现代功率谱分析主要有ARMA谱分析、最大似然、熵谱估计和特征分解四种方法。ARMA谱分析是一种建模方法，即通过平稳线性信号过程建立模型来估计功率谱密度；熵谱估计包括最大熵谱和最小交叉法；特征分解也叫特征构造法和子空间法，包括Pisarenko谐波分解法、Prony法、MUSIC法和ESPRIT法（用旋转不变技术估计参数方法）。

现代功率谱估计研究仍侧重于一维功率谱分析，而且大部分是建立在二阶矩（相关函数、方差、功率谱密度）基础上的。但由于功率谱密度是频率的实函数，缺少相位信息，因此，建立在高阶谱基础上的谱估计方法正引起人们的注意，特别是双谱估计和三谱估计的研究受到了高度的重视。其它如多维谱估计、多通道谱估计等的研究也正在发展中。人们希望这些新方法能更多地在提取信息、估计相位和描述非线性等方面获得应用。

② 色谱分析有哪些方法

色谱定性分析的方法：包括纯物质对照法、利用保留值经验规律定性、利用其它方法定性这三种。

色谱分析法的分类比较复杂。根据流动相和固定相的不同，色谱法分为气相色谱法和液相色谱法。按色谱操作终止的方法可分为展开色谱和洗脱色谱。按进样方法可分为区带色谱、迎头色谱和顶替色谱。

色谱法分离效率高、分离速度快、灵敏度高、可进行大规模的纯物质制备。

色谱定性的依据，是在同一特定的色谱条件下，不同的物质在固定相上保留的能力不一样，因此它们的保留时间不同，也就是说他们的出峰时间不同，可以通过保留时间来进行定性，目前各种色谱定性方法都是基于保留值的。但是不同物质在同一色谱条件下，可能具有相似或相同的保留值。在精度高的色谱上，保留时间可以精确到零点几秒。从色谱图中可以得到定性的信息有：被测样品中有几种物质，它们大概的比例，从出峰的出峰顺度可以粗略的判断化合物的极性。

③ 数值分析有什么作用 数学中的数值分析的详细作用在哪些方面请举例一下 谢谢

楼上说的很专业了 我就不多说了 说下通俗的理解吧 数值分析 就是可以没有解析的数学表达式 但可以在一定的误差内算出结果就可以了 或者是一些很难求出精确解的表达式 我们可以求出它的数值解 这个有《计算方法》这门学问可以学习 再个这类问题多用于工程上的一些计算 因为工程上很多都是要数据的 不需要表达式 我是学工科的 所以比较了解 工程设计 上也常用到 希望能给你帮助 采纳我吧 不胜感激

④ 什么是数字谱分析

数字谱分析是用数学方法求信号的离散谱以DFT和滤波理论为基础的，
学科是数字信号处理，谱分析是应用。

谱分析
在频域中描述信号特性的一种分析方法，不仅可用于确定性信号，也可用于随机性信号。所谓确定性信号可用既定的时间函数来表示，它在任何时刻的值是确定的；随机信号则不具有这样的特性，它在某一时刻的值是随机的。因此，随机信号处理只能根据随机过程理论，利用统计方法来进行分析和处理，如经常利用均值、均方值、方差、相关函数、功率谱密度函数等统计量来描述随机过程的特征或随机信号的特性。

⑤ 多元统计分析和偏微分方程数值解哪个相对较难

个人认为是数值分析，多元统计好理解，数值分析个人认为有些枯燥

⑥ 计算方法（数值分析）问题，关于矩阵范数和谱半径。

二范数：利用乘幂法求出最大奇异值即可。
谱半径：利用乘幂法求出模最大的特征值即可。
一定要先求特征根

⑦ 数值分析中常用的求积公式有哪几中

数值分析也叫计算方法，因为有些方程是没有解析解就是数学表达式，或者工程上并不关心抽象的表示而是更关心数值结果，加上现在的计算机能力的提升，所以怎么在计算机里解决问题就变为矩阵计算问题。要算得快，算得准，还要节省存储空间。而其他问题要怎么离散变为矩阵也是要研究的问题。所以大部分问题是围绕矩阵方程求解来的。数值计算在数学上对理论的猜测也有指导作用。这个我也不太了解。比如，矩阵的谱半径和什么范数的关系，直接分析有点难猜，算出来就可以比一比啦。在工程上可以说没有能脱离数值分析的。比如快速傅里叶变换就是频谱分析常用的;而现在医学影像学的CT，PET，MRI的影像增强等图像处理PDE方法就要用离散方法化为矩阵问题求解;我帮忙做过生化的实验分析：半透膜的浓度分析，就是一滴药在什么时刻什么位置的弄度是多少，其实就是热传导方程的数值解。现在的天气预报怎么得到的，数值分析啊，想把预报准些，把离散的网格分的细些，那样就要算得更快存储更大的计算机，国家为什么造超级计算机？不是用来玩星际2，wc3，wow的，那些只是娱乐功能而已。当然了这个什么导弹，飞机，要算每个点的受力怎么，风洞实验不是哪都有的，所以算就更方便。中国数值也不错。至少可以吹吹有限元，这个在模态分析中好像有用，我见过用它去研究米国的f16的。其他的我就不清楚了。如果是学数学的，就要加具体应用背景，数值分析虽说有用但是编程能力也是要跟上的。如果是其他专业的，这个就是工程软件的里面那些事，现在学会了，可以省点钱，还能针对自己具体的问题自己编，而不是要套模板，那些条件可以使变的。

⑧ DEPT谱的分析方法

DEPT谱是在NMR中用来区分伯仲叔季碳的一种谱图
为了区分不同的碳，一般要做三次分别为不同的角度，其中季碳不出峰：
135度的DEPT谱图：CH、CH3的峰向上（即信号为正），CH2为倒峰（即信号为负）
90度的DEPT谱图：只能看到CH 向上的峰
45度的DEPT谱图：所有的CH、CH2、CH3的峰都向上（不常用，因为无法达到区分的目的）
通过135度和90度谱图即可区分出伯碳、仲碳、叔碳，由于季碳在所有的DEPT谱图中都没有信号，因此只要和全谱比较，就很容易的得到季碳。

⑨ 数值分析中，对于雅可比方法和高斯-塞得尔方法来说，为什么谱半径越小，收敛速度越快

好像是这个结论 证明我不会 如果不严格 可以用数值方法列表归纳得出这个规律

⑩ 请教谱方法与谱元法以及有限元的区别与联系

有限元法就是先求变分问题然后选局部的基函数组成逼近式带入，谱方法的基函数全都是正交的，而且是全局的，谱元法就是把区域分割成网格，在每个小网格上选取正交基函数，就相当于把网格剖分与谱方法结合起来。