导数研究零点个数方法

1. 如何判断函数的零点个数

（1）函数零点，对于函数y=f(x)，若存在a,使得f(a)=0，则x=a称为函数y=f(x)的零点。

（2）零点的存在定理：若函数y=f（x）在区间[a,b]上的图像是一条不间断的曲线,且f（a）f（b）

（3）零点问题的转化：可以转化为函数与x轴交点的横坐标；或者转化为对应方程的根；还可以转化为两函数的交点的横坐标。所以，如果考察函数的零点个数，只需要看此函数与x轴有几个交点，或者对应方程有几个根，或者两个函数有几个交点即可。

2. 一般求零点问题用导数怎么求

解法：函数零点就是当f（x）=0时对应的自变量x的值，需要注意的是零点是一个数值，而不是一个点，是函数与X轴交点的横坐标。 若f(a)是函数f(x)的极值，则称a为函数f(x)取得极值时x轴对应的极值点。

极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。

极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。

(2)导数研究零点个数方法扩展阅读：

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，f(a)·f(b)≤0，则在区间[a,b]内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一个实数解。

一般结论：函数y=f（x）的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与x轴（直线y=0）交点的横坐标，所以方程f(x)=0有实数根，推出函数y=f(x)的图像与x轴有交点，推出函数y=f(x)有零点。

更一般的结论：函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像交点的横坐标，这个结论很有用。

变号零点就是函数图像穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是异号（那个点函数值为零）。

不变号零点就是函数图像不穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是同号（那个点函数值为零）。

注意：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。

应用

二分法求方程的近似解

（1）确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度；

（2）求区间(a,b)的中点x1；

（3）计算f(x1)；

①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

②若f(a)f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x∈(a,x1));即图象为（a,x1）

③若f(x1)f(b)<0，则令a=x1。（此时零点x∈(x1,b)

（4）判断是否满足条件，否则重复(2)~(4)

3. 怎样用一阶导数求函数零点个数

1. 零点惟一性定理：

   一阶导数f'(x)在某开区间上不变号（函数单调），且区间端点函数值异号，则函数f(x)在这个开区间上存在惟一零点。

2. 零点定理：

   若f(x)在某区间连续可导，端点函数值均大于0,而惟一极值极小值小于0，则函数f(x)在这个区间上有且只有两个零点。

3. 三次函数：

   三次函数y=ax^3+bx^2+cx+d(a>0）的导数是二次函数，这个二次函数的判别式Δ：

   Δ≤0，三次函数只有一个零点；Δ>0,三次函数至少有一个零点。至多有三个零点。

4. 如何用导数的单调性 极大值 极小值解决函数零点个数急

首先你要知道‘根的存在性定理’：f(x)连续,f(a)>0,f(b)<0,(a,b)间至少有一个零点
若加强条件：在(a,b)间也单调,那么有且只有一个零点.
所以,利用导数求出连续函数的极值点,单调性,可以确定两个符号相反的极值间至少有一个交点,若极值是相邻的,就有且只有一个零点,第一个极值和最后一个极值要看单调性才能确定两侧有没有零点,如第一个极值,若其小于0,左侧无穷开始单减,则有一个零点.

5. 如何借助导数来判断零点个数或者零点个数判断的一般方法是什么

导数无法确定原函数的解,即零点.
判断零点,可以对原函数任意取值,在大于零小于零之间就有零点.
如函数y=x*x*x-3x-3
x=2,y=-10,则必有一根在之间,当然,结合函数的单调性（或者说导数的正负区间）,就能大致判断函数图像.但是,只知道导数,不能确定0点个数,还是要借助取值和极值.

6. 函数的零点个数怎么求

f(x)=0求零点个数
方法一
令y=f(x)，对其求导，得出函数在各区间的单调性。
通过观察定义域左右端的极限，非连续点的左右极限以及各驻点的函数值，配合单调性就能得出零点个数。
比如lnx–1/(x–1)=0零点个数
令f(x)=lnx–1/(x–1)
函数在x=1处不连续
f'(x)=1/x＋1/(x–1)²＞0
所以函数在(0，1)单调递增，(1，＋∞)单调递增
lim(x→0) f(x)=–∞
lim(x→1–) f(x)=＋∞
lim(x→1＋) f(x)=–∞
lim(x→＋∞) f(x)=＋∞
根据单调性，函数f(x)在(0，1)上必存在一个零点，(1，＋∞)上必存在一个零点
所以f(x)=0有两个零点

方法二
就是数形结合将零点问题转化为两个函数的交点问题，通过研究两个函数性质画出图像得出交点个数。
比如lnx–1/(x–1)=0
lnx=1/(x–1)
就可以转化为f(x)=lnx与g(x)=1/(x–1)的交点问题
画出图像可得出有两个交点，即原方程有两个零点。

7. 怎样通过导数看函数零点个数

利用导数，求出给定区间x∈[a,b]内所极值点（f'(x)=0及不可导点）x₁、x₂...xn，判断该类点左右函数增减性是否改变，如改变即为极值点，反之则不是极值点，并求出极值：
f(左端值)或f(x₁)=0，本身就是零点、如f(左端值)及f(x₁)均≠0时（以下类同），
如f(左端值)·f(x₁)<0
根据连续函数零点定理区间x∈[a,x₁)内有且只一个零点，反之则无零点；
同理，如f(x₁)·f(x₂)<0
区间x∈(x₁,x₂)内有且只一个零点，反之则无零点；
...
如f(xn)·f(b)<0
区间x∈(xn,b]内有且只一个零点，反之则无零点.
相邻的端点值和极值反号，则区间内有且只一个零点，反之则无零点，有点类似解不等式的穿针引线法。