证明式研究方法

❶ 研究不等式证明的常用方法的研究目的研究意义是什么

方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，构造法和判别式法等
研究意义：不等式在现实世界与数学中的重要性毋庸置疑，初等不等式的技巧与难度有目共睹，但国内外有关初等不等式的研究很热门，这源于不等式自身的魅力，正是它的技巧让人感受到数学之美，正是它的难度让人有挑战它的雄心与毅力。此外在不等式的研究中能让你锻炼自己的解题能力、数学思维能力、体验解决问题的乐趣与成就感。

❷ 使用理论知识证明一个研究假说是一种研究方法吗

教育研究方法的基本类型及特征
（一）实证方法
实证方法作为自然科学中一种重要的研究方法,其基本规范就是“用经验材料证明或证伪理论假说”.这些经验材料既可来自研究者的现实观察或实验活动(直接经验),也可来自记录了前人观察或实验结果的历史文献(间接经验)；这些经验材料在形式上可以是量化的也可以是非量化的,但都必须是可检验的.
实证方法包括教育测量法、定量观察法、问卷调查法、教育实验法、内容分析法.
教育测量法是指根据某种规则或尺度,以数量化的形式描述教育现象或教育对象的某种属性.其中,包含着测量的三个要素：事物及其属性；数字或符号；法则.教育测量法的基本特点是根据一定法则,以测验为工具对研究对象进行测试,从而获得数量化的结果,并通过进一步分析获得相关结论.它可以把抽象、概括的理论研究成果转化为反映个体发展水平、教育发展状况的方便工具,并提供可靠的数据.
定量观察法是按照事先设计的一套明晰而严密的“计量系统”实施的观察,它也被称为系统化的、结构性的、标准化的观察.这套系统包括：明确的观察对象、有严密逻辑性的观察项目系统、确定的观察程序和记录单位,还有物化的观察记录工具.它的长处是能系统地、高效地获得大量真实的、确定的观察资料,容易进行观察记录,而且观察结果便于系统地定量处理和对比分析.它的短处是对观察设计人员和观察者的理论和技术要求较高,同时观察过程比较呆板,缺乏灵活性.
问卷调查法是研究者用严格设计的统一问卷,通过书面语言与被调查者进行交流,来收集研究对象关于教育问题的信息和资料的方法.它有如下特点：1.调查工具标准化；2.调查过程标准化；3.调查结果标准化；4.研究效率高.
教育实验法是根据一定的理论假设,有计划地控制教育活动中的某些因素,以引起其他因素朝着有利于提高教育效果的方向转变,然后检验假设,并由此揭示教育活动规律的综合性研究活动.它的基本特点是：1.教育实验要揭示教育现象或教育行为之间的因果关系.2.教育实验对因果关系的预先设想以假说形式表现出来,实验过程围绕假说展开操纵、控制等一系列干预活动,经观察、分析,最后检验假说.内容分析法是对教育文献的内容作客观而系统的量化分析,并加以描述,从而对相关的教育现象作出事实判断的研究方法.用内容分析法进行研究的文献资料可以是：1.以文字记录的资料,报纸、期刊、教材等内容往往是专业研究者的研究对象.2.以声音记录的资料,包括：上课录音、学生谈话录音、竞选会现场的录音,与某个年段的教材配套的录音磁带.3.以影像记录的资料,包括：教学录像、电影、电视、幻灯片、图片.
内容分析法具有明显、客观、系统、量化等四个基本特点.1.明显的内容；2.客观的事实；3.系统的记录；4.量化的结果.
（二）质性方法
作为与实证研究相对的定性研究,有着独特的研究传统和研究假设,为定性研究所采用的质性方法,有着它的定义.陈向明先生给质的研究方法下了一个定义：“质的研究是以研究者本人作为研究工具,在自然情境下采用多种资料收集方法对社会现象进行整体性探究,使用归纳法分析资料和形成理论,通过与研究对象互动对其行为和意义建构获得解释性理解的一种活动.”
质性研究包括访谈调查法、定性观察法、叙事研究法.
访谈调查法是研究者通过与被调查者面对面进行交谈,以口头问答的形式来了解某人、某事、某种行为态度和教育现象的一种调查方法.它有以下特点：1.调查过程灵活深入.2.获取信息完整真实.3.适用范围更为广泛.访谈调查法的主要局限有：1.样本小、费用多、时间长、效率较低.2.标准化程度较低,难以统计.3.调查过程容易产生偏差.4.访谈调查不能体现的特点,不能完全消除受访者的心理顾虑,这往往会影响受访者所提供信息的客观性.
定性观察法是研究者在一个真实的情境中对被观察的人或事所作的开放性观察.它有以下几种特点：1.可以了解到更为真实的信息.2.可以获得更为完整的资料.3.可以进行多次观察.定性观察法也有局限：1.易受观察者的主观影响.2.观察结果的代表性不够高.
叙事研究法就是以叙述故事的方式来描述人们的经验、行为和生活方式,通过所叙述的故事来探究经验、行为的意义,及其蕴含的思想和哲理.在教育研究领域,叙事研究就是通过描述和分析有意义的教学事件、教师生活和教育教学实践经验,来发掘或揭示内隐于日常工作、事件和行为背后的意义、思想、理念,从中发现教育问题,探究教育思想,揭示教育活动特点.教育叙事研究的基本特点是研究者以叙事、讲故事的方式表达对教育的理解和解释.教育叙事研究具有：1.以质性研究方法为工具.2.以教育中的故事为对象.3.教育实践者成为研究主体.4.形成认识时采用归纳的方式.但也有局限性：1.外来研究者征得研究对象的配合相当耗时.2.不易了解到局内人的真正想法.3.研究者很容易受到叙事者故事的影响而偏离研究目的.4.叙事研究受到研究者个人倾向的影响.5.叙事研究对研究者提出了很高的要求.
（三）系统方法
系统科学方法论的运用体现在研究主体身上,主要表现为系统思维.它的关键特点体现在运用系统科学原理考察和把握研究对象的性质,并据此综合运用各种技术性方法——既包括实证方法,也包括质性方法,以达到研究目的.其中,最重要的是按照事物本身的系统性,把对象及相关因素放在系统的形式中加以研究,着重探讨研究对象整体与部分之间、部分与部分之间、整体与外部环境之间的相互制约关系.系统方法论及系统思维的特点：1.与中国传统的整体思维相比,系统思维具有清晰性和开放性.2.与自然科学的还原主义分析思维相比,系统思维强调系统的整体性.3.与以往任何一种研究范式相比,系统方法论提供了新的思维原则、模式、路线及多学科综合研究的方法范例.
（四）复杂思维方法
复杂思维直面世界或事物本来具有的多样性、复杂性以及变化的生动丰富性.它考察事物及其运动变化的思维方式,是以非线性思维、关系思维、过程思维、情境思维为特征的.教育系统的复杂性体现在：1.教育活动组成因素的多样性和可变性.2.教育活动结构与功能、系统与部分之间的非线性相互作用.3.教育活动过程的动态生成性和教育结果的不确定性.
（五）行动研究法
行动研究法是指依靠教育专家、学者的帮助,在教育实践中展开科学研究,并以研究的成果指导自身实践的一种研究方法.
它的基本特点：1.以中、小学教师为研究主体,教师即研究者,课程即实验,课堂即实验室.2.强调参与、合做与交流.3.强调实践反思.
（六）文献法
文献检索是科学研究工作中一个重要的步骤,它贯穿于研究的全过程,是进行教育科学研究最常用的研究方法之一.文献检索有广义和狭义之分,广义的文献检索是由文献贮存和文献检索两个部分构成的一个检索系统.狭义的文献检索则指根据检索课题,利用一定的检索工具把所需要的文献及其线索查出的过程.文献法有利于全面正确地掌握所要研究问题的情况、现状,最大限度地利用已有的知识经验和科研成果,帮助研究人员选定研究课题和确定研究方向；有利于为教育科研提供科学的论证依据和研究方法；避免重复劳动,提高研究效益；有利于拓展研究思路,发展创造性思维,提高课题研究的创新性.

❸ 高中数学不等式证明的八种方法

不等式证明知识概要

河北/赵春祥

不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。

一、要点精析

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。

5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。

6.放缩法放缩法是要证明不等式A<B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。

二、难点突破

1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向。

2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯。但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律。还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。

3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件。如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。

4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。

5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用。

6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度，即要恰当、适度，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论。另外，是分组分别放缩还是单个对应放缩，是部分放缩还是整体放缩，都要根据不等式的结构特点掌握清楚。

（摘自：《考试报·高二数学版》2004年/07月/20日）

1、比较法（作差法）
在比较两个实数 和 的大小时，可借助 的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。
例1、已知： ， ，求证： 。
证明： ，故得 。
2、分析法（逆推法）
从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。
例2、求证： 。
证明：要证 ，即证 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。
3、综合法
证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。
例3、已知： ， 同号，求证： 。
证明：因为 ， 同号，所以 ， ，则 ，即 。
4、作商法（作比法）
在证题时，一般在 ， 均为正数时，借助 或 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。
例4、设 ，求证： 。
证明：因为 ，所以 ， 。而 ，故 。
5、反证法
先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。
例5、已知 ， 是大于1的整数，求证： 。
证明：假设 ，则 ，即 ，故 ，这与已知矛盾，所以 。
6、迭合法（降元法）
把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。
例6、已知： ， ，求证： 。
证明：因为 ， ，
所以 ， 。
由柯西不等式
，所以原不等式获证。
7、放缩法（增减法、加强不等式法）
在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。
例7、求证： 。
证明：令 ，则
，
所以 。
8、数学归纳法
对于含有 的不等式，当 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在 时成立的假设下，还能证明不等式在 时也成立，那么肯定这个不等式对 取第一个值以后的自然数都能成立。
例8、已知： ， ， ，求证： 。
证明：（1）当 时， ，不等式成立；
（2）若 时， 成立，则

= ，
即 成立。
根据（1）、（2）， 对于大于1的自然数 都成立。
9、换元法
在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。
例9、已知： ，求证： 。
证明：设 ， ，则 ，

（因为 ， ），
所以 。
10、三角代换法
借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。
例10、已知： ， ，求证： 。
证明：设 ，则 ；设 ，则
所以 。
11、判别式法
通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。
例11、设 ，且 ，求证： 。
证明：设 ，则
代入 中得 ，即
因为 ， ，所以 ，即 ，
解得 ，故 。
12、标准化法
形如 的函数，其中 ，且
为常数，则当 的值之间越接近时， 的值越大（或不变）；当 时， 取最大值，即
。
标准化定理：当A+B为常数时，有 。
证明：记A+B=C，则
，
求导得 ，由 得C=2A，即A=B
又由 知 的极大值点必在A=B时取得
由于当A=B时， ，故得不等式。
同理，可推广到关于 个变元的情形。
例12、设A，B，C为三角形的三内角，求证： 。
证明：由标准化定理得，当A=B=C时， ，取最大值 ，故 。
13、等式法
应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。
例13（1956年波兰数学竞赛题）、 为 的三边长，求证：
。
证明：由海伦公式 ，
其中 。
两边平方，移项整理得

而 ，所以 。
14、函数极值法
通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。
例14、设 ，求证： 。
证明：
当 时， 取最大值 ；
当 时， 取最小值－4。
故 。
15、单调函数法
当 属于某区间，有 ，则 单调上升；若 ，则 单调下降。推广之，若证 ，只须证 及 即可， 。
例15、 ，求证： 。
证明：当 时， ，而

故得 。
16、中值定理法
利用中值定理： 是在区间 上有定义的连续函数，且可导，则存在 ， ，满足 来证明某些不等式，达到简便的目的。
例16、求证： 。
证明：设 ，则
故 。
17、分解法
按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。
例17、 ，且 ，求证： 。
证明：因为

所以 。
18、构造法
在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。
例18、已知： ， ，求证： 。
证明：依题设，构造复数 ， ，则 ，
所以

故 。
19、排序法
利用排序不等式来证明某些不等式。
排序不等式：设 ， ，则有
，其中 是 的一个排列。当且仅当 或 时取等号。
简记作：反序和 乱序和 同序和。
例19、求证： 。
证明：因为 有序，所以根据排序不等式同序和最大，即 。
20、几何法
借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。
例20、已知： ，且 ，求证： 。
证明：以 为斜边， 为直角边作
延长AB至D，使 ，延长AC至E，使 ，过C作AD的平行线交DE于F，则 ∽ ，令 ，
所以
又 ，即 ，所以 。

另外，还可以利用重要的不等式来证题，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（J.Bernoulli）不等式、赫尔德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、闵可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，这里不再烦述了。
在实际证明中，以上方法往往相互结合、互相包含，证题时，可能同时运用几种方法，结合起来加以证明。

参考文献
[1]李玉琪主编•初等代数研究•北京：中国矿业大学出版社，1993
[2]方初宝等编•数学猜想法浅谈•重庆：科技文献出版社重庆分社，1988
[3]吴德风•不等式与线性规划初步•北京：科学普及出版社，1983

❹ 高中数学不等式证明的八种方法

不等式的证明
1、比较法
作差作商后的式子变形,判断正负或与1比较大小
作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0.
作商比较法---已知a,b都是正数,要证明a>b,只要证明a/b>1
例： 求证：x²+3>2
证明：
∵x²+3-2=x²+1>0
∴ x²+3>2

2、综合法
了解算术平均数和几何平均数的概念,能用平均不等式证明其它一些不等式
定理1 如果a,b R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取"="号)
证明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
当且仅当a=b时取等号.所以
a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号).
定理2 如果a,b,c R+,那么a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时取"="号)
证明:∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴ a3+b3+c3≥3abc,
很明显,当且仅当a=b=c时取等号.
例1 已知a,b,c是不全等的正数,求证
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.

3、放缩法
这也是分析法的一种特殊情况,它的根据是不等式的传递性—
a≤b,b≤c,则a≤c,只要证明"大于或等于a的"b≤c就行了.
例,证明当k是大于1的整数时,,
我们可以用放缩法的一支——"逐步放大法",证明如下:

4、分析法
从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一"充分的"条件,为此逐步往前追溯(执果索因),一直追溯到已知条件或一些真命题为止.例如要证a2+b2≥2ab我们通过分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"条件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由于是真命题,所以a2+b2≥2ab成立.分析法的证明过程表现为一连串的"要证……,只要证……",最后推至已知条件或真命题
例 求证:
证明:
构造图形证明不等式
例:已知a,b,c都是正数,求证:
+>
分析与证明:观察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,联想到余弦定理:c2=a2+b2-2ab CosC,为了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°,
这样:可以看成a,b为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边
可以看成b,c为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边
可以看成a,c为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边
构造图形如下,
AB=,
BC=,
AC=
显然AB+BC>AC,故原不等式成立.

5、数形结合法
数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题.数量关系如果借助于图形性质,可以使许多抽象概念和关系直观而形象,有利于解题途径的探求,这通常为以形助数;而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究,又可获得简捷而一般化的解法,即所谓的以数解形.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认识,数形的转化,可以培养思维的灵活性,形象性.通过数形结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化.
例.证明,当x>5时,≤x-2
解:令y1=, y2=x-2, 从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围.在同一坐标系中分别作出两个函数的图象.设它们交点的横坐标是x0, 则=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根据图形,很显然成立.

6、反证法
先假定要证不等式的反面成立,然后推出与已知条件(或已知真命题)和矛盾的结论,从而断定反证假定错误,因而要证不等式成立.

7、穷举法
对要证不等式按已知条件分成各种情况,加以证明(防止重复或遗漏某一可能情况).

8、换元法
常用的换元有多项式的换元，三角换元等

❺ 有哪些论证的方法

常见论证方法及作用：

1、举例论证：通过举具体的事例加以论证，从而使论证更具体、更有说服力。

答题格式：使用了举例论证的论证方法，举……（概括事例）证明了……（如果有分论点，则写出它证明的分论点，否则写中心论点），从而使论证更具体理会有说服力。

2、道理论证：通过讲道理的方式证明论点，使论证更概括更深入。

答题格式：使用了道理论证的论证方法，论证了……了观点，从而使论证更概括更深入。

注：如果引用名人名言、格言警句、权威数据，可以增强论证的说服力和权威性；引用名人佚事、奇闻趣事，可以增强论证的趣味性，吸引读者下读。

答题格式：使用了引用论证的论证方法，通过引用……证明……的观点，使论证更有说服力。（或更有趣味性，吸引读者往下读）

3、对比论证。作用就是突出强调。

答题格式：使用了对比论证的论证方法，将……和……加以比较，突出强调了……的观点。

4、比喻论证：可把道理讲得通俗易懂，容易被人接受。使论证的内容更加生动形象，更利于读者明白。

答题格式：使用了比喻论证的论证方法，将……比作……，证明了……的观点，从而把抽象深奥的道理阐述得生动形象、浅显易懂。

(5)证明式研究方法扩展阅读：

运用比喻论证要注意几个问题：

一是用来作为喻体的事物，应当是为大家所熟悉的、具体的、浅显的，这样，才能既通俗又生动地说明另一个事物。

二是比喻应当贴切、自然，要能恰到好处地说明被论证事物的特点。可以把老师比喻成蜡烛、春蚕，说明他们无私地献出自己的一切，却不能将他们比喻成能使别人干净起来，可它们自己却像越来越脏的抹布、扫帚，这样运用比喻法，叫“引喻失义”。

三是因为比喻的双方缺乏本质上的内在联系，所以任何比喻都是有缺陷的。要完整、深刻地论述一个问题，不能仅靠几个比喻，应把它和例证法、分析法等结合起来使用。

运用对比论证要注意几个问题：

第一，比较的双方要具备可比性。

第二，要建立合理的参照系。

要进行比较，就必须具有合理的共同参照系，没有共同的参照系，两者就无法进行比较。所谓参照系指的是用来衡量和确定双方优劣长短的标准，这样的标准必须具有客观性，否则比较的结论不一定可靠。

❻ 辩论演讲中常用哪十种证明方法

语言作为辩论的载体，一定要准确地表达出辩者严密的思维活动,一定要准确地表达辩者参辩的观点、见解、主张、意图，因此它就必须合乎逻辑。 一、知己知彼 辩论与一般演讲的不同之处，就在于它是一种。“针锋相对”的“交战”。“知己知彼，百战不殆”是兵法的首要原则，对于辩论这种“舌战”来说，无疑不能例外。知己，是指对于己方的立论自我诘难，反复推敲，以求严谨缜密，万无一失。立论的诘难与推敲，大体有三个方面： 一是论点检查。 论点是辩论中的“战旗”。辩论者对于自己所持的论点，必须充满自信，如同战场上高举战旗一样。但是，自信绝不是盲目的自我欣赏必须是科学分析的结果。 论点的检查，主要有两个方面：一是提炼过程的检查，二是语言表达的检查。从原始材料中提炼出一个论点，其中有复杂的分析、综合、比较、抽象等思维过程。对于论点形成过程进行自我诘难与反复推敲，是保证论点正确性的一项重要措施。在思维活动中，逐渐转化而成的论点表达的语言形式，也是论点检查的重要内容。语言表达的清晰度、逻辑性以及表现力，都应该逐项推敲，反复检验。 二是论据检查。 论据是辩论中的“弹药”。辩论者如果没有掌握数量充足、威力巨大的“弹药”，就不可能在“交锋”中占优势。因此，论据的准备是一种扎扎实实的物质准备。论据的检查，也可分为两个方面：一是论据的真实性，二是论据的逻辑性。真实可*，是论据选择的首要原则。那些模棱两可、似是而非的论据必须坚决摒弃。推导严密，是论据选择的又一重要原则，那些牵强附会、证明不力的论据也应该果断删去。 三是论证方法检查。 论证方法是辩论中的“战术设计”。辩论者必须根据论点的需要、论据的特点以及自身的条件，精心设计“战术方案”，即论证方法的选择与组织。只有经过论点、论据、论证方法的反复检查，确信己方 “战旗”鲜亮，“弹药”充足，“战术”精巧，方能在辩论中充满自信。这就是知己。 知彼，即了解对方。除事先通过各种途径了解对方的观点、材料以及辩论特点以外在辩论现场的察言观色是知彼的一条捷径。也就是说，借助观察，发现辩论对方的优势、弱点、情绪变化以及战术运用等，以便采取相应的对策，这是辩论技巧运用的客观依据之一。 辩论中的观察，说到底是辩论双方对于对方言谈举止、神态表情的微妙变化及其含义进行捕捉与判断。其方法大体有三种：其一，“投石问路”。所谓“投石问路，是指先提出一两个问题作为试探。探明虚实，才能选定主攻方向这往往用于情况不明的时候。当然，“问路”之“石”的选择十分重要，也就是说，作为试探的问题的选择与表述是否得当、巧妙，这是应用“投石问路”法的关键所在。太直、太露、太浅的“问路”，结果是暴露自己的浅薄和笨拙。其二，捕捉战机。心理学研究证明，外界事物对人大脑的刺激往往会使人体内部某些相应组织的机能在一个短时间内出现异常现象。就是说，人往往会通过他的举止神态以及习惯性动作，流露出他内心的活动。比如，双手揉搓这个动作，显示紧张的思考；颤抖的语言，显示慌乱……在辩论中，要善于准确地判断对方的情绪，捕捉战机，或麻痹对方，或打乱对方的思绪或超对方慌乱而层层紧逼。这又是观察的一种效用。其三，缓和气氛。辩论，应该有良好的气氛。辩论绝非争吵，更不是斗嘴。因此，辩论双方都有责任调节气氛，使辩论在心平气和的条件下进行。观察到对方情绪激动时，就应该设法用语言调节，使气氛趋于平缓：当发觉对方怒形于色时，应该考虑用笑容调节，使气氛得以松弛。 二、举事证理 事实胜于雄辩。摆事实、讲道理，这是辩论中最基本，也是最常用的逻辑技巧。可以举事实沦证己方的论点进行立论，也可以举事实反驳对立方的论自进行驳沦。例如：“文革”结束后，我国开始了社会主义建设的新时期，曾在全国范围内开展了关于实践是检验真理的惟一标准的大讨论。1978年5月 《光明日报》以《实践是检验真理的推一标准》为题发表过特约评论员的文章，文章在证明“正是实践，也只有实践 才能够完成检验真理的任务”这一论点时，就列举了大量的事实，如门捷列夫创立的元素周期表、哥白尼的太阳系学说、马克思主义、毛泽东思想……都是在实践中经受住考验，被实践证明确实是真理的。这 2006-8-12 14:39 回复 正义之剑永存 120位粉丝 2楼 种列举已为世人所公认的事实来进行说理的方法，确实具有巨大的说服力。再如，：毛泽东同志在《唯心历史观的破产》一文中，在批驳艾奇逊的“革命的发生是由于人口太多的缘故”这一谬论时，为我们树立了以事实进行驳论的典范。他指出：革命的发生是由于人口太多的缘故么？古今中外有过很多的革命．都是由于人口太多么？美国174年以前的反英革命，也是由于人口大多么？艾奇逊的历史知识等于零，他连美国独立宣言也没有读过。华盛顿杰佛逊们之所以举行反英革命，是因为英国人压迫和剥削美国人，而不是什么美国人口过剩。中国人民历次推翻自己的封建朝廷，是因为这些封建朝廷压迫和剥削人民，而不是什么人口过剩。俄国人所以举行二月革命和十月革命，是因为俄皇和俄国资产阶级的压迫和剥削，而不是什么人口过剩，俄国至今还是土地多过人口很垠远的。蒙古土地那么广大，人口那么稀少，照艾奇逊的道理是不能设想会发生革命的，但是却早已发生了。毛泽东同志在这里列举了中国、美国、俄国、蒙古等许多国家确实发生过的历次革命这些事实，有力地驳斥了艾奇逊的唯心主义历史观，事实确凿，不容置辩，说服力是很强的。 动用举事证理的逻辑技巧，要注意两点：一是所举事实，越具有典型性，说服力越强。因为不论是历史的还是现实的事例，越具代表性，越能体现客观事物的本质与规律，所表现的道理也就越深刻。二是要对所举事例进行深人的分析，揭示和阐发事例与道理之间的必然联系，使举事与证理有机地结合起来，这才能充分发挥摆事实、讲道理的作用。 三、隐含判断 辩论中，有时巧用隐含判断会比运用直接表达判断的语句显得更有力量。例如，曾有一位胖得流油的大资本家想嘲笑一下瘦于萧伯纳。大资本家说：“我一看见你，就知道你们那儿在闹帆荒。”萧伯纳回故道：“我一看见你，便知道了闹饥荒的原因。在这段对话中，两人都运用了隐含判断。大资本家所用的隐含判断无非是“萧伯纳瘦得像个讨饭的”，而萧伯纳的回答中所隐含的判断则十分巧妙而幽默地揭露了资本家剥削穷人的罪恶实质。这一隐含判断是大家都能分析出来的。 从以上分析，我们可以看出，隐含判断的作用是多方面的，对隐含判断的恰当运用能使辩论具有逻辑力量，富于艺术魅力。 六、以牙还牙 以牙还牙，就是在辩论中以其人之道还治其人之身。这种方法一般适用于对方讲歪理、不讲理之类的情况。 有个骄傲自大、脱离群众的人辩解说：“只有羊呀、猪呀，才是成群结队的，狮子、老虎都是独来独往的。”作家马铁丁反问他：“狮子、老虎固然是独来独往的，刺猬、癞蛤蟆、蜘蛛又何尝不是独来独往呢？”这就是以人之歪理还击人，使自比兽中之王的狂妄之徒如刺猬、癞蛤蟆、蜘蛛之类的小动物一般。 苏联诗人马雅可夫斯基非常善于运用这种方法来反驳一些无赖之徒。他妙语连珠，辩论的语言蕴含着无可辩驳的力量。一次，马雅可夫斯基演讲刚完，一个胖子挤到讲台边嚷道：我应该提醒你，马雅可夫斯基同志，拿破仑有一句名言：‘从伟大到可笑，只有一步之差。’”“不错”，马雅可夫斯基一边用手指指自己又指指那个胖子，一边说：“从伟大到可笑，正是一步之差。”那胖子的话意是，马雅可夫斯基的演讲有些可笑或者近似可笑，马雅可夫斯基面对这挤*讲台的无礼之徒，借用他的话，非常巧妙地向他反击：可笑的正是与我只有一步之差的你！这是借用对方的语言还击对方。 七、假言辩驳 在辩论中，运用假育推理进行辩驳 是极富于逻辑力量 的。例如： 1984年，上海市公安机关侦破一起重大反革命案件，共 有八名被告，经法庭审判，结果其中七名被告分别被判处死刑二名、死缓一名、无期徒刑一名、有期徒刑三名，惟独第六被告徐汉勇被宣告无罪，当庭释放。 担任本案第六被告徐汉勇辩护人的上海市第二律师事务所 副主任郑传本律师，通过认真阅卷调查，以及全面的分析研 究，在法庭辩论中，依据事实和法律，为徐汉勇作了无罪辩护。 2006-8-12 14:39 回复 正义之剑永存 120位粉丝 3楼 请看郑传本律师的一段法庭辩护词： 被告徐汉勇在主观上没有共同犯罪故意，根据我国《刑法》第十一条规定：“明知自己的行为会发生危害社会的结果，并且希望或者放任这种结果发生，因而构成犯罪的，是故意犯罪。”根据刑法原理和司法实践，反革命罪只有直接故意才能构成。而被告人徐汉勇却没有这种故意。 郑传本律师这段法庭辩护词中就包含了一个必要条件假言推理否定前件式： 只有直接故意才能构成反革命罪；被告徐汉勇没有共同犯罪故意（没有直接故意）；所以。被告徐汉勇没有构成反革命罪。 以上推理符合必要条件假育推理否定前件式的公式，其形式是正确的，加之这，形式正确的推理又是建立在以法律为准绳，以事实为依据的基础上的，因而，具有雄辩的说服力。正因为如此，郑传本律师被告徐汉勇的无罪辩护得到了法庭的采纳。 在一些法庭审讯的质询性辩论活动中，如果法官有较强的逻辑思维能力，运用假言推理可以抓住被告的一些错误的推断，并由此打开缺口，找到犯罪的证据。 八、演绎辩论 演绎是由一般性的前提推出个别性的结论的逻辑方法。由于其前提必然蕴涵结论，所以，只要其前提是真的，其结论也必然是真的。作为一种由已知推出未知的推理过程，演绎对丰富知识、增长经验、加强辩论能力大有帮助。在辩论过程中，正确地掌握和运用演绎推理方法，不仅有助于我们周密地进行论证，完美地表述自己的观点，防止给论敌以可乘之机，而且可以及时地抓住论敌的把柄，揭穿其诡辩的伎俩。因而，演绎推理也是雄辩家经常运用的逻辑方法之一。在演绎推理中，演绎常见的类型就是由两个直言判断组成大、小前提推出结论的“三段论”。由于三段论是一种必然性推理，即其结论是由前提推导出来的，因此，三段论是一种很有力的辩论方法。我们知道，人们经常要对个别事物有所断定。而对个别事物作断定最方便，最有效，也最有说服力的方法就是引用一般原理作根据进行论证，这种引用一般原理来论证个别问题的演绎方法就是三段论法。例如：邓小平同志在《答意大利记者奥琳娜. 法拉奇问》中说了这样一句活：“当然我急是做了点事情，革命者还能不做事？”就是运用三段论进行回答的：凡革命者都为革命作了贡献；我是革命者；所以，我也为革命作了贡献。 结合上文来看这句话是在邓小平同志向法拉奇陈述周恩来、刘少奇等老一辈革命家对毛泽东思想的贡献后，法拉奇问他“你为什么不提自己的名字”时说的。在这句话的前面，还有一句“我算不了什么”的话。这里，邓小平同志不称自己为“革命家”，只称“革命者”，不说自己对毛泽东思想作了贡献，只说“做了点事情”。其实，中外皆知邓小平同志是一个对毛泽东思想做出了巨大贡献的伟大革命家，而他这里的回答不仅表现出了一个伟大革命家的谦虚品格、伟大人格，而且，充分体现出了他具有独特风格的谈话艺术，当我们翻读这篇谈话的全文后就会更清楚地体会到这一点。 三段论不仅是一种很有力的辩论方法，而且是一种很有力的辩驳方法 九、直接破的 这是在辩论中直接反驳对立方论与的方法。也就是直接去揭示对立方论点的错误、虚假，或逻辑上的混乱。直接反驳对立方论点的方法很多：可以举事实反驳，也可以进行分析反驳，还可以澄清概念来进行反驳。 鲁迅先生在《“友邦惊诧”论》中，为了反驳国民党政府通电中加给请愿学生的所谓“捣毁机关，阻断交通，殴伤中委，拦劫汽车，袭击路人及公务人员，私逮刑讯，社会秩序，悉被破坏”的种种罪名，特在文章结尾援引《申报》的南京专电再反驳：“考试院部员张以宽，盛传前日为学生架去重伤，兹捆张自述，当时因车夫误会，为群众引至中大，旋出校回寓，并无受伤之事。至行政院某秘书被拉到中大，亦当时出来，更无踪之事。”而“教育消息”栏内，又记本端口一小部分学校赴南京请愿学生死伤的确数，则云：“中公死二人，伤三十人，复旦伤二人，复旦附中伤十人，东亚失踪一人（系女性）。上中失踪一人，伤三人，文生氏死一人，伤五人……”可见学生并未如国府通电所说，将“社会秩序，破坏无余”，而国府则不但依何能够镇压，而且依然能够诬陷、杀戮。“友邦人士”从此可以不必“惊诧莫名”，只请放心来瓜分就是了。 在这里，鲁迅先列举确凿的事实，直接反驳了国民党政府的谬论，异常有力。这是举事例直接破的方法的功效。 十、两难逼进 “二难逼进”就是二难推理于辩论中的运用。二难推理是由假言判断和选言判断做前提构成的推理。之所以称为“二难”，是因为它可以使人陷入左右为难、进退维谷的境地。由于它能较为明显地表现辩论者进攻的锋芒和力量，人们也叫它两刀论法”。“二难推理”是极有力量的辩论工具，善用的人可以使对方逃不出他的结论而陷人两难境地，无论古今中外雄辩大师们都极善于使用“二难术”，生活中也随处可见用“二难推理”令对方进退维谷的生动例子。例如：在一次外交场合，前苏联霸权主义者曾说：“中国反对缓和世界局势。”周恩来总理驳斥道：“你那么想缓和世界局势为什么不做一两件事情，比如从捷克斯洛伐克或蒙古撤退军队，归还日本北方四岛，来证明你的诚意呢？……” 周恩来总理的驳斥，雄辩地作了这样的推理：如果前苏联霸权王义者真想缓和世界局势，那么就应该从捷克斯洛伐克或蒙古撤军；如果前苏联霸权主义者真想缓和世界局势，那么就应该归还日本北方四岛；既然前苏联霸权主义者不肯从捷克斯洛伐克或蒙古撤军，也不肯归还日本北方四岛，可见前苏联霸权主义者不是真的想缓和世界局势，而是在制造世界紧张局势。

❼ 不等式证明都有哪几种方法

比较法
比较法是证明不等式的最基本方法，具体有"作差"比较和"作商"比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式（或分式）时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式（或幂指数式时常用作商比较）
例1已知a+b≥0，求证：a3+b3≥a2b+ab2
分析：由题目观察知用"作差"比较，然后提取公因式，结合a+b≥0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。
∵（a3+b3)(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
证明： =(a-b)2(a+b)
又∵(a-b)2≥0a+b≥0
∴(a-b)2(a+b)≥0
即a3+b3≥a2b+ab2
例2 设a、b∈R+，且a≠b，求证：aabb＞abba
分析：由求证的不等式可知，a、b具有轮换对称性，因此可在设a＞b＞0的前提下用作商比较法，作商后同"1"比较大小，从而达到证明目的，步骤是：10作商20商形整理30判断为与1的大小
证明：由a、b的对称性，不妨解a＞b＞0则
aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b
∵ab0，∴ab1，a-b0
∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba
练习1 已知a、b∈R+，n∈N，求证（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）

基本不等式法
利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及 变形有：
（1）若a、b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取等号）
（2）若a、b∈R+，则a+b≥ 2ab （当且仅当a=b时，取等号）
（3）若a、b同号，则 ba+ab≥2（当且仅当a=b时，取等号）
例3 若a、b∈R， ｜a｜≤1，｜b｜≤1则a1-b2+b1-a2≤1
分析：通过观察可直接套用： xy≤x2+y22
证明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1
∴b1-a2+a1-b2≤1，当且仅当a1+b2=1时，等号成立
练习2：若 ab0，证明a+1(a-b)b≥3

综合法
综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。
例4，设 a0，b0，a+b=1，证明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252
证明：∵ a0，b0，a+b=1
∴ab≤14或1ab≥4
左边=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2
=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252
练习3：已知a、b、c为正数，n是正整数，且f (n)=1gan+bn+cn3
求证：2f（n）≤f（2n）

分析法
从理论入手，寻找命题成立的充分条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立，这种方法称为分析法。
例5：已知a0，b0，2ca+b，求证：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab
分析：观察求证式为一个连锁不等式，不易用比较法，又据观察求证式等价于 ｜a-c｜＜c2-ab也不适用基本不等式法，用分析法较合适。
要证c-c2-ab＜a＜c+c2-ab
只需证-c2-ab＜a-c＜c2-ab
证明： 即证 ｜a-c｜＜c2-ab
即证 (a-c)2＜c2-ab
即证 a2-2ac＜-ab
∵a＞0，∴即要证 a-2c＜-b 即需证2+b＜2c，即为已知
∴ 不等式成立
练习4：已知a∈R且a≠1，求证：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）2
放缩法
放缩法是在证明不等式时，把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式，是证明不等式的重要方法，技巧性较强常用技巧有：（1）舍去一些正项（或负项），（2）在和或积中换大（或换小）某些项，（3）扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等。
例6：已知a、b、c、d都是正数
求证： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2
分析：观察式子特点，若将4个分式商为同分母，问题可解决，要商同分母除通分外，还可用放缩法，但通分太麻烦，故用放编法。
证明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1
又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d
∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2
综上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2
练习5：已知：a＜2，求证：loga(a+1)＜1
6换元法
换元法是许多实际问题解决中可以起到化难为易，化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，若通过换元的思想与方法去解就很方便，常用于条件不等式的证明，常见的是三角换元。
(1)三角换元：
是一种常用的换元方法，在解代数问题时，使用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化成三角问题，充分利用三角函数的性质去解决问题。
例7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求证0＜A＜1
证明： ∵x，y∈R+， 且x-y=1，x=secθ ， y=tanθ ，（0＜θ＜xy ）
∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ
=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ
=sinθ
∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1
复习6：已知1≤x2+y2≤2，求证：12 ≤x2-xy+y2≤3
(2)比值换元：
对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式，即可。
例8：已知 x-1=y+12=z-23，求证：x2+y2+z2≥4314
证明：设x-1=y+12=z-23=k
于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2
把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2
=14(k+514)2+4314≥4314

反证法
有些不等式从正面证如果不好说清楚，可以考虑反证法，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步推导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的，凡是"至少"、"唯一"或含有否定词的命题，适宜用反证法。
例9：已知p3+q3=2，求证：p+q≤2
分析：本题已知为p、q的三次 ，而结论中只有一次 ，应考虑到用术立方根，同时用放缩法，很难得证，故考虑用反证法。
证明：解设p+q＞2，那么p＞2-q
∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q3
将p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0
即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2
练习7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.
求证：a＞0，b＞0，c＞0
数学归纳法
与自然数n有关的不等式，通常考虑用数学归纳法来证明。用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。
例10：设n∈N，且n＞1,求证： (1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12
分析：观察求证式与n有关，可采用数学归纳法
证明：（1）当n=2时，左= 43，右=52
∵43＞52∴不等式成立
（2）假设n=k(k≥2，k∈n)时不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12
那么当n=k+1时，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①
要证①式左边＞ 2k+32，只要证2k+12·
2k+22k+1＞2k+32②
对于②〈二〉2k+2＞ 2k+1·2k+3
〈二〉(2k+2)2＞ (2k+1)(2k+3)
〈二〉4k2+8k+4＞ 4k2+8k+3
〈二〉4＞3 ③
∵③成立 ∴②成立，即当n=k+1时，原不等式成立
由（1）（2）证明可知，对一切n≥2（n∈N），原不等式成立
练习8：已知n∈N，且n＞1，求证： 1n+1+1n+2+…+12n＞ 1324

构造法
根据求证不等式的具体结构所证，通过构造函数、数列、合数和图形等，达到证明的目的，这种方法则叫构造法。
1构造函数法
例11：证明不等式：x1-2x ＜x2 （x≠0）
证明：设f（x）= x1-2x- x2 （x≠0）
∵f (-x)
=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2
=x1-2x- ［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2
=f（x）
∴f（x）的图像表示y轴对称
∵当x＞0时，1-2x＜0 ，故f（x）＜0
∴当x＜0时，据图像的对称性知f（x）＜0
∴当x≠0时，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）
练习9：已知a＞b，2b＞a+c，求证：b- b2-ab＜a＜b+b2-ab
2构造图形法
例12：若f（x）=1+x2 ，a≠b，则|f（x）-f（b）|＜ |a-b|
分析：由1+x2 的结构可知这是直角坐标平面上两点A(1，x)，0(0，0)的距离即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2
于设A(1，a)，B(1，b)则0A= 1+a2

❽ 科研研究方法有哪些

科研的典型方法。前面选题和搜集资料都是科研的前提条件，接下来我们就应该正式进行科研工作。在进行科研工作之前，我们要掌握一些典型的科研方法。
1.观察法.科学观察是指人们通过感官，有计划、有目的对在自然发生状态下何在人为发生的条件下的事物。科学观察是我们科研常用的方法，它与人们日常的观察不同，科学观察总是为了解决一定的科学问题而进行的，它有明确的任务、目的和观察对象，它不仅要用眼睛看，有时还要借助于仪器进行观察，观察之后还要进行详细的、准确的记录，而人们日常的观察是很随意的，没有这些要求和规定。1.观察方法 2 观察的意义 3观察的原则 4.观察的种类 5.观察的偏差
2实验法。 试验方法是获取第一手科研资料的重要的和有力的手段。大量的、新的、精确的和系统的资料，往往是通过试验而获得的。试验方法是探索自然奥秘和发明新物品的必由之路。实验是检验真理的唯一标准。有许多科学理论和技术的正确与否都是通过实验的方法才能得到验证的。所以说试验法是科研工作中非常重要的一种方法。1.实验方法 2实验新特点3.实验的作用4.实验的类型5.实验的要求6.实验的缺陷
3.模拟法。模拟方法就是根据相似的理论，先设计和制作一个与自然事物、自然想象及其发展变化过程相似的模型，然后，通过对模型的试验和研究，间接地去试验和研究“原型”的性质和规律性。模拟方法与常规的实验方法相比较，一般说来，他不是对“原型”的各种因素影响的纯化和简化，而是尽量对“原型”的复杂因素进行全面的模拟和研究。所以，模拟方法可以很好的解决实际试验中难以实现的条件，有效的促使科研工作的进一步完成。1.模拟方法 2.模拟的特点 3.模拟的种类 4.模拟的作用 5.模拟的不足
还有其他一些方法比如：数学方法，理想化，类比法，假说法，综合法等。