历史上电磁场分析方法

A. 电磁场的发展历史

人们很早就接触到电和磁的现象，并知道磁棒有南北两极。在18世纪，发现电荷有两种：正电荷和负电荷。不论是电荷还是磁极都是同性相斥，异性相吸，作用力的方向在电荷之间或磁极之间的连接线上，力的大小和它们之间的距离的平方成反比。 在这两点上和万有引力很相似。18世纪末发现电荷能够流动，这就是电流。但长期以来，人们只是发现了电和磁的现象，并没有发现电和磁之间的联系。19世纪前期，奥斯特发现电流可以使小磁针偏转。而后安培发现作用力的方向和电流的方向互相垂直，磁针到通过电流的导线的垂直线方向与电流方向相互垂直。不久之后，法拉第又发现，当磁棒插入导线圈时，导线圈中就产生电流。这些实验表明，在电和磁之间存在着密切的联系。在电和磁之间的联系被发现以后，人们认识到电磁力的性质在一些方 面同万有引力相似，另一些方面却又有差别。为此法拉第引进了力线的概念，认为电流产生围绕着导线的磁力线，电荷向各个方向产生电力线，并在此基础上产生了电磁场的概念。人们认识到，电磁场是物质存在的一种特殊形式。电荷在其周围产生电场，这个电场又以力作用于其他电荷。磁体和电流在其周围产生磁场，而这个磁场又以力作用于其他磁体和内部有 电流的物体。电磁场也具有能量和动量，是传递电磁力的媒介，它弥漫于整个空间。19世纪下半叶，麦克斯韦总结了宏观电磁现象的规律，并引进位移电流的概念。这个概念的核心思想是：变化着的电场能产生磁场；变化着的磁 场也能产生电场。在此基础上他提出了一组偏微分方程来表达电磁现象的基本规律。这套方程称为麦克斯韦方程组，是经典电磁学的基本方程。麦克斯韦的电磁理论预言了电磁波的存在，其传播速度等于光速，这一预言后来为赫兹的实验所证实。于是人们认识到麦克斯韦的电磁理论正确地反映了宏观电磁现象的规律，肯定了光也是一种电磁波。由于电磁场能够以力作用于带电粒子，一个运动中的带电粒子既受到电场的力，也受到磁场的力，洛伦兹把运动电荷所受到的电磁场的作用力归结为一个公式，人们就称这个力为洛伦茨力。描述电磁场基本规律的麦克斯韦方程组和洛伦茨力就构成了经典电动力学的基础。在奥斯特电流磁效应实验及其他一系列实验的启发下，安培认识到磁现象的本质是电流 ，把涉及电流、磁体的各种相互作用归结为电 流之间的相互作用，提出了寻找电流元相互作用规律的基本问题。为了克服孤立电流元无法直接测量的困难，安培精心设计了4个示零实验并伴以缜密的理论分析，得出了结果。但由于安培对电磁作用持超距作用观念，曾在理论分析中强加了两电流元之间作用力沿连线的假设，期望遵守牛顿第三定律，使结论有误。上述公式是抛弃错误的作用力沿连线的假设，经修正后的结果。应按近距作用观点理解为，电流元产生磁场，磁场对其中的另一电流元施以作用力。

B. 高频电磁场的分析方法

高频电磁场是指频率在100kHz～300MHz的电磁波，其波长范围从1～3000m，按波长可分为长波、中波、短波、超短波。高频电磁辐射属于非电离辐射中的射频辐射（无线电波）。在非熔化极氩弧焊和等离子弧焊割时，常用高频振荡器来激发引弧，有的交流氩弧焊机还用高频振荡器来稳定电弧。人体在高频电磁场作用下，能吸收一定的辐射能量，产生生物学效应，主要是热作用。

高频电磁场强度受许多因素影响，如距离振荡器和振荡回路越近场强越高，反之则越低。此外，与高频部分的屏蔽程度等有关。

人体在高频电磁场作用下会产生生物学效应，焊工长期接触高频电磁场能引起植物神经功能紊乱和神经衰弱。表现为全身不适、头昏头痛、疲乏、食欲不振、失眠及血压偏低等症状。如果仅是引孤时使用高频振荡器，因时间较短，影响较小，但长期接触是有害的。所以，必须对高频电磁场采取有效的防护措施。高频电会使焊工产生一定的麻电现象，这在高处作业时是很危险的，所以高处作业不准使用高频振荡器。

C. 电磁场的主要分析方法有哪些

求磁场强度，安培环路定理
求电动势，法拉第电磁感应定律/动生电动势

D. 大地电磁场的特征与起源

4.2.1.1 大地地电磁场的特征

在很大地区范围内观测到的地球天然交变电磁场称为大地电磁场，它是以地球的电场和磁场分量的变化形式表现出来的。其中，在地球内部感应产生的分布于整个地球表面或较大区域的变化电场称为大地电场。大地电场与地球变化的磁场是密切联系、不可分割的，它们具有相同类型的变化。地球变化的磁场属于地磁学的重要内容，这里主要介绍大地电场。

大地电场的变化可分为两大类：一类是地电场的平静变化，另一类是地电场的干扰变化。平静变化是连续出现的，具有确定的周期性，干扰变化是偶然发生的。

平静变化有多种周期性，其中变化周期为11 a的，与太阳黑子出现的周期相同；有年变化周期，与太阳公转周期相同，并与季度变化有关，夏季场强幅度大，冬季场强幅度小；有月变化周期，与月球绕地球的周期相同；有静日地电日变化，与地球自转周期相同。

干扰变化与平静变化相比，它的出现带有一定的偶然性。干扰变化有高频地电变化，周期为0.000 1～1 s；有地电脉动，周期为0.2～1 000 s；有地电湾扰，无周期，持续时间为1～3h；有扰日地电日变化，周期为1d；有地电暴，变化持续的时间为1～3d。它们是大地电磁测深法主要的信号源。

图4.2.1给出了周期范围10^-4～10⁴s的大地电磁场振幅谱，是根据地磁场静日变化分析统计得出的。它包括了从湾扰到各类地电脉动(P_c、P_i)以及天电(ELF)等高频地电变化这些大地电磁现象所覆盖的频率范围。可以看出，在这一频率范围内，大地电磁场在1Hz附近振幅较小，而在更低和更高的频率上振幅都增大。

图4.2.1 天然电磁场振幅与频率的关系

在电法勘探中称之为地磁脉动(P波)的短周期脉动具有周期为0.2～1 000 s的似周期振动特性，在白天以波群形式几小时之内连续出现，故称该波为连续脉动波——P_c波，且主要是在早晨和下午期间出现。晚间，脉动具有衰减的正弦波性质，称这种振动为不规则脉动波——P_i波。这两类脉动又分若干个小类(图4.2.1)，其中P_c3和P_i2亚振动类型的振幅最大，且出现的概率也最大。在地电学中，电磁脉动的研究占有重要地位。

由于各种频率的振动成分起因不同，振动强度与昼夜变化、季节、纬度、甚至太阳活动有关。大地电磁场的最大振幅一般出现在夏季，在中纬度地区，大地电流场的振幅一般不超过几毫伏/千米，而磁场振幅为10^-3～10^-1A/m。

大地电场是个矢量，在某一测点O上，可采用不同方向的两组电极M₁N₁和M₂N₂来测量大地电场的场强E。一般使M₁N₁⊥M₂N₂，如图4.2.2a所示。E_x是大地电场在M₁N₁方向的分量，E_y是大地电场在M₂N₂方向的分量，用平行四边形法，将E_x和E_y的末端引出平行四边形的两条相邻边，并交于一点，此点即为矢量E的末端位置。

图4.2.2b，c是大地电场的两段记录。从图中量出各个时刻的E_x和E_y，可算出各个时刻的场强E。在直角坐标系中，先点出各个时刻的电场矢量E的端点，再按时间顺序连接各个端点就得到图4.2.2d，e所示的矢端曲线。从图中可以看出，大地电场强度不仅振幅随时间发生变化，而且方向也随时间变化，故在有限时间里(与变化周期比较)矢量端点描述出复杂图形。若场的矢端曲线具有等距图形和多交叉点形式(图4.2.2d)，这种极化称为非线性极化。一般这种情形可在陆台地区和巨大的等轴状盆地上观测到。在一些地区，如坳陷边缘区，矢端曲线具有伸长形状，且其长度超过横向宽度十倍，这种极化称为似线性极化(图4.2.2e)。在这种情形下，E_x和E_y变化或H_x和H_y变化几乎是相关的，矢端曲线的伸长线称为极化轴。

图4.2.2 电场测量方法(a)和E_x和E_y的振动记录(b，c)及相应的矢端曲线(d，e)

大地电磁场矢端曲线的复杂性证明了场源的复杂性。根据多年的观测结果可以假设两种类型的场源：一是场源位置对地球表面的观察者是固定的，变化的仅是其电流的大小和方向；二是场源电流大小可能不变，但相对观察位置是变化的。无论是属于哪一种，对于观察者而言，电磁场源的方向和大小均随时间发生变化。所以，在大地电磁场法中可假设无穷多个信号源。

在某一瞬间，大地电磁场在几百平方千米或更大的范围内，振幅、频率均保持一定，且能够同时相互对比。西西里岛和撒哈拉两地相隔约2 000km，但对比性表明了它们有同源特点(图4.2.3)。

图4.2.3 大地电磁场的对比性

(1952-2-24观测)

4.2.1.2 天然电磁场的起源

据现代空间的探测研究发现，在星际空间存在着来自太阳的等离子流(太阳风)以及宇宙射出的高速带电粒子。它们是一种超音速的粒子流(它在地球附近的速度为300～800km/s)，且具有很强的导电能力，地磁场不能穿过它，因而其磁力线发生畸变。远离地球区域的等离子体对地球磁场起着屏蔽作用，使地磁场局限在一个有限的范围内，这个区域称为磁层。磁层的边界在朝太阳这一边距离地心约有8～11个地球半径远，在背向太阳这一边则延伸得很远，形成一个磁尾。磁尾延伸至少超过月球，用卫星还没有观测到磁尾的闭合。在地球与太阳的连线上，由于太阳风在地球朝着太阳这方面“压缩”地磁场，使磁场强度增加；而在背着太阳这一面，则由于“拉伸”使磁场强度减弱。因此地球的磁场只是在地球附近才近似一个偶极场，在远处则发生了畸变(图4.2.4)。

图4.2.4 地球磁层结构示意图

1—地球偶极磁场磁力线；2—地磁场磁力线；3—磁层界线；4—过渡带；5—太阳风带

太阳的另一种辐射是电磁辐射。地球高层大气的电离主要是太阳辐射中紫外线和X射线所致，此外，太阳高能带电粒子和银河宇宙射线也起相当重要的作用。地球高层大气分子和原子，在太阳紫外线、X射线和高能粒子的作用下电离，产生自由电子和正、负离子。距地表60km以上的整个地球大气层都处于部分电离或完全电离的状态。

现代观察表明，天然电磁场的形成与太阳辐射(包括宇宙射线)作用下形成的地球磁层和电离层的变化有关。太阳风与地球磁层、电离层之间相互复杂的作用产生的各种电磁效应，形成各种成因的电流系统，激发出电磁波。如果这些磁效应是由太阳风的各种瞬时变化产生的，当观测到它们时，就归到微脉动一类；如果它们是由地球在非对称磁层内的各种传输现象产生的，则把它们归为日变效应一类。通常这些外磁场效应，较之于几乎不变的地球内场是相对小的。

除与宇宙现象有关的低频场(10^-4～10Hz)外，在地球上还有相对高频(n～10⁴Hz)的电磁场。其源可能是由工业漏电、超长波无电线电台、大气电现象及地磁场的变化形成的。高频地电变化的场源主要来源于在对流层中产生的雷电现象，主要在赤道上空8km处。以闪电形式的放电是典型的大功率电偶极子源。观测表明，每一秒中向地球冲击100 个左右的闪电。故雷电的电磁场实际上可认为是连续的，其电磁场的强度主要依赖于放电中心的位置及电磁场传播条件的变化。

不同频率的电磁场叠加在一起，形成一个非常复杂的电磁振动。在地球表面上的有限区域内，这些产生于地球外部的大地电磁场可近似为平面波。它们在穿透地层的过程中，可在导电地层中感应出强度不大而分布广泛的涡旋电流场。这种弱电流脉冲称为磁大地电流，其传播深度主要依赖于振动频率或者场的变化周期。因此，研究大地电磁场的频率响应，可以获得地下不同深度介质电阻率的分布。

大地电磁场含有较丰富的低频成分，人工产生这样低频的能力要付出很高的代价。而且，大地电磁场具有强大的能量，勘探深度大，磁暴时进行观测，获得的低频信息，可穿过巨厚的高阻地壳，达到几十乃至上百千米的上地幔，这是其他地球物理方法难以实现的，从而为人们研究地球深部构造提供了一种有力的工具。

E. 麦克斯韦电磁场方程的具体内容是什么

麦克斯韦方程组 Maxwell's equation

麦克斯韦方程组是麦克斯韦（James Clerk Maxwell）建立的描述电场与磁场的四个方程。

方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。 在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。

麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场，变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场。麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立了完整的电磁场理论体系。这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。

麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。它所揭示出的电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。

历史背景

1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。

场概念的产生，也有麦克斯韦的一份功劳，这是当时物理学中一个伟大的创举，因为正是场概念的出现，使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来，普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。

1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、安培—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。

积分形式
麦克斯韦方程组的积分形式：

这是1873年前后，麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。
其中：（1）描述了电场的性质。在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。
（2）描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。
（3）描述了变化的磁场激发电场的规律。
（4）描述了变化的电场激发磁场的规律。

变化场与稳恒场的关系：
当

时，
方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程：

在没有场源的自由空间，即q=0, I=0，方程组就成为如下形式：

麦克斯韦方程组的积分形式反映了空间某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间的关系。

微分形式

麦克斯韦方程组微分形式：在电磁场的实际应用中，经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。从数学形式上，就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。利用矢量分析方法，可得：

注意：(1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程有同样的形式。
(2) 应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。例如在各向同性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系：

在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用t=0时场量的初值条件，原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。

科学意义
(一)经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学模型进行类比的基础上创立起来的。但麦克斯韦的主要功绩恰恰是他能够跳出经典力学框架的束缚：在物理上以"场"而不是以"力"作为基本的研究对象，在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。这两条是发现电磁波方程的基础。这就是说，实际上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架，只是由于当时的历史条件，人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去理解电磁场理论。
现代数学，H空间中的数学分析是在19世纪与20世纪之交的时候才出现的。而量子力学的物质波的概念则在更晚的时候才被发现，特别是对于现代数学与量子物理学之间的不可分割的数理逻辑联系至今也还没有完全被人们所理解和接受。从麦克斯韦建立电磁场理论到现在，人们一直以欧氏空间中的经典数学作为求解麦克斯韦方程组的基本方法。

(二) 我们从麦克斯韦方程组的产生,形式,内容和它的历史过程中可以看到：第一，物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所撑握，所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的，一种新的具有认识意义的公理体系的建立才是科学理论进步的标志。第二，物理对象与对它的表达方式虽然是不同的东西，但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对 象的"存在"。由此，第三，我们正在建立的理论将决定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物理事实,，这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。

(三) 麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美，这种优美以现代数学形式得到充分的表达。但是，我们一方面应当承认，恰当的数学形式才能充分展示经验方法中看不到的整体性(电磁对称性)，但另一方面，我们也不应当忘记，这种对称性的优美是以数学形式反映出来的电磁场的统一本质。因此我们应当认识到应在数学的表达方式中"发现"或"看出" 了这种对称性，而不是从物理数学公式中直接推演出这种本质。

F. 高频电磁场的分析方法

高频电磁场是指频率在100kHz～300MHz的电磁波，其波长范围从1～3000m，按波长可分为长波、中波、短波、超短波。高频电磁辐射属于非电离辐射中的射频辐射（无线电波）。在非熔化极氩弧焊和等离子弧焊割时，常用高频振荡器来激发引弧，有的交流氩弧焊机还用高频振荡器来稳定电弧。人体在高频电磁场作用下，能吸收一定的辐射能量，产生生物学效应，主要是热作用。

高频电磁场强度受许多因素影响，如距离振荡器和振荡回路越近场强越高，反之则越低。此外，与高频部分的屏蔽程度等有关。

人体在高频电磁场作用下会产生生物学效应，焊工长期接触高频电磁场能引起植物神经功能紊乱和神经衰弱。表现为全身不适、头昏头痛、疲乏、食欲不振、失眠及血压偏低等症状。如果仅是引孤时使用高频振荡器，因时间较短，影响较小，但长期接触是有害的。所以，必须对高频电磁场采取有效的防护措施。高频电会使焊工产生一定的麻电现象，这在高处作业时是很危险的，所以高处作业不准使用高频振荡器。

G. 麦克斯韦方程妙在哪里

麦克斯韦方程妙处如下：

麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。

它所揭示出的电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。这个理论被广泛地应用到技术领域。

科学意义：

(一)经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学模型进行类比的基础上创立起来的。但麦克斯韦的主要功绩恰恰使他能够跳出经典力学框架的束缚：在物理上以“场”而不是以“力”作为基本的研究对象，在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。

这两条是发现电磁波方程的基础。这就是说，实际上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架，只是由于当时的历史条件，人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去理解电磁场理论。

现代数学，Hilbert空间中的数学分析是在19世纪与20世纪之交的时候才出现的。而量子力学的物质波的概念则在更晚的时候才被发现，特别是对于现代数学与量子物理学之间的不可分割的数理逻辑联系至今也还没有完全被人们所理解和接受。

从麦克斯韦建立电磁场理论到如今，人们一直以欧氏空间中的经典数学作为求解麦克斯韦方程组的基本方法。

(二) 我们从麦克斯韦方程组的产生，形式，内容和它的历史过程中可以看到：

第一，物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所掌握，所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的，一种新的具有认识意义的公理体系的建立才是科学理论进步的标志。

第二，物理对象与对它的表达方式虽然是不同的东西，但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对 象的“存在”。

第三，我们正在建立的理论将决定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物理事实，这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。

H. 电磁场基本方程式

由电磁学中基本实验定律综合分析可知，介质中的电磁场满足麦克斯韦方程组：

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式中：

为电场强度（单位：V/m）；

为磁场强度（单位：A/m）；

为磁感应强度（单位：Wb/m²）；

为电位移矢量（单位：C/m²）；

为电荷密度（单位：C/m³）。

方程组简单的物理意义是，电场可以是由电荷密度分布q引起的发散场，也可以是由变化磁场

引起的涡旋场。磁场

是由传导电流

和位移电流

激励产生的涡旋场，空间中无孤立的磁荷存在。

电磁场四个基本量通过介质电性参数ε和μ联系起来，在各向同性介质中，它们的关系为

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式中：

为电流密度（单位：A/m²）；σ为介质的导电率；ε为介质的介电常数；μ为导磁率。

电磁场应满足的边界条件为：

的切线分量连续

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的切线分量不连续

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的法线分量连续

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的法线分量不连续

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式中：

为两种介质边界面的法线方向单位矢量；

为面传导电流密度，q_S为自由电荷面密度。

利用傅氏变换，可使随时间变化的电磁场分解为一系列谐变场的总和。若取时间因子为e^-iωt，则在谐变电磁场情况下麦克斯韦方程组为：

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8.3.1 大地电磁测深

在大地电磁测深中，它所讨论的电磁场频率是极低的，一般取周期T＞1s。在这种低频的情况下，介质中位移电流

的影响可以忽略，即可取（8.3.10）式中iωε=0。把大地电磁场近似地看作是由高空向地球垂直入射的平面电磁波，已为许多学者所证实，因为大地电磁场来源于太空，在地面有限范围内，只是它的波面中极小的部分。自然，这一部分可以近似看作是垂直入射的平面波。设其源电流是位于研究区域之外，于是这时介质中的麦克斯韦方程简化为：

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式中Δ·

=0是因为导电介质内部体电荷密度实际上是不存在的，这里时间因子都包含在场

和

之中，随时间变化的电场和磁场相互激励、相互转化，并以波的形式在介质中传播。当然传播特性将与介质的电性参数有关。

对（8.3.13）式两边取旋度

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由于

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故

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或写成

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其中

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类似地可以求出

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（8.3.17）和（8.3.18）式称为赫姆霍兹方程。它是电磁场所满足的基本方程式，它描述了电磁场空间变化和时间变化的规律。

依照麦克斯韦方程组导出的边界条件，对于大地电磁波情况，导电介质之间分界面上的边界条件为：

和

的切线分量是连续的，即E_1t=E_2t，H_1t=H_2t]]

和

的法线分量是连续的，即D_1n=D_2n，B_1n=B_2n]]

1n=j_2n

设x和y轴水平，z轴垂直向下，麦克斯韦方程可写成分量形式

对于Δ×

=iωμ

，有

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对于Δ×

=σ

，有

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设介质是二维的，取x轴垂直构造走向，y轴平行构造走向，z轴仍然垂直向下。这时由于电阻率（或导电率）沿y轴无变化，相应的电磁场沿y轴也应是稳定的。即有

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这时上述麦克斯韦方程可分解成两组偏振波，我们首先考虑E偏振，有

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将后两式代入前面一式中，可得

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其次再考虑H偏振，有

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将后两式代入前一式中，可得

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（8.3.20）和（8.3.22）式就是二维介质垂直入射平面波的波动方程，即赫姆霍兹方程。应当指出，二维介质中的线性偏振波只能沿走向y加以分解，其赫姆霍兹方程只依赖于x和z方向的电阻率分布，对于给定的二维介质模型电阻率分布和边界条件，波动方程的解可得出E_y和H_y，再借助于E 偏振和H 偏振中电磁场本身的关系式，可求得相应的 E_x和H_x。

在进行计算时，有关场的计算区域和其边界条件通常可以这样给出。

对于H偏振，区域的上边界可以取为地面，其上给出磁场为任意常数，如给H_y=1，最终解将按该常数规格化，底部边界磁场取为零，两侧边界可取磁场的法线导数为零，即取自然边界条件。有时也可按一维或层状模型计算边界磁场值，作为强加边界条件给出。

对于E偏振，底面电场E_y可取为零，两侧面边界也可取电场的法线导数为零，或按一维或层状介质计算给值。上边界的位置要取在地面以上，即要存在一个空气层作为模型的顶层给出，这是由于空气中E_y不是常数，需要把上边界取在远离地面的高空，使得界面上不均匀体的影响可以忽略，在空气层的顶部，即上边界可给定一个常数电场，如E_y=1。

8.3.2 甚低频法

甚低频（VLF）电法勘探中所测量的频率带为15～25kHz。在离所测定的军用电台较远处可视为平面波，其源电流位于研究区域之外，式（8.3.10）中j=0，但这时与大地电磁测深不同，介质中位移电流

的影响不能忽略。

当考虑二维地质体时，设y轴平行于地质体的走向，与（8.3.19）的推导相似可得：

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且

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这样相应的赫姆霍兹方程为

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8.3.3 线源情况

当使用平行y轴（地质体走向）的线源时，麦克斯韦方程与甚低频法相同，但带有源项，即

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式中I为线源的量值，将上面两式代入最后一式中可得：

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相似也可得出H_y的赫姆霍兹方程。

若计算网格足够大，当线源在网格内时，所有边界上的边界条件均可取电场为零。若线源在网格外，电场在边界上的数值可由两层模型的理论公式计算。

总结以上（8.2.14），（8.2.17），（8.3.20），（8.3.22），（8.3.23），（8.3.24）及（8.3.25）等式，对二维情况我们可提出它们所共同满足的偏微分方程式

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该式在数学上称为二维椭圆型偏微分方程，在物理上是已知的二维赫姆霍兹方程，式中与上述（8.2.14）、（8.2.17）、（8.3.20）、（8.3.22）、（8.3.23）、（8.3.24）及（8.3.25）各式相应的u，α，β及f的值列入表8.1中。

表8.1 有关微分方程的对比

I. 三种常见的电磁场具体分析

关键是用 “右手定则”埃 直线电流：右手握住导线，大拇指指向电流方向，其余4指的方向就是磁场的方向（顺时针和逆时针）。 通电螺线管：右手握住螺线管，4指指向电流方向，大拇指的指向就是磁场的N极。