数学分析问题方法定理

A. 数学分析中求极限的几种重要方法

极限是数学分析的重要内容，是高等数学的理论基础和研究工具，学习极限相关理论对学习数学分析和掌握高等数学众多理论有着极其关键的作用。由于极限的计算题目类型多变，而极限的求取方法也种类繁多，因此，针对不同问题找到正确且最简洁的方法意义重大。

1、利用定义求极限

极限的概念可细分为函数的极限和数列的极限。

2、利用法则求极限

2.1 四则运算法则法

2.2 两个准则法

本文简单介绍两个准则，分别为夹逼准则和单调有界准则，常用于数列极限的求解。

(2)单调有界准则：单调有界数列必有极限，且极限唯一。

利用单调有界准则求极限过程中，首先需要证明数列的单调性和有界性，然后要证明数列极限的存在，最后根据数列的通项递推公式以及极限的唯一性来求极限。

2.3 洛比达法则法

3、利用公式求极限

3.1 两个重要极限公式法

(1)极限及其变换，常用于包含三角函数的“”型未定式。

利用这两个重要极限公式来求极限时要仔细观察函数形式是否符合。

3.2 泰勒公式法

泰勒公式法是指在求极限时，利用泰勒公式将函数进行展开后再通过一般求极限的方法进行计算的'方法。

泰勒公式法对一些比较复杂的求极限过程可以起到简化作用。

4、利用性质求极限

4.1 无穷小量性质法

利用下列几点无穷小量的性质可解决相关的极限问题。

性质1：有限无穷小量的代数和为无穷小。

性质2：无穷小量与有界函数的乘积为无穷小。

性质3：有限无穷小量的乘积为无穷小。

4.2 函数连续性法

函数的连续性：

5、其他方法

5.1 中值定理法

中值定理法包括利用微分或积分中值定理求极限，通过微分或积分中值定理将函数进行变换，再求极限。

5.2 定积分法

则可知定积分可化为和式极限的形式，同样，在求和式极限时，可转为定积分的形式来求解。具体步骤：

(1)首先选择恰当的可积函数f(x)。

(2)然后将所求和式极限表示成为f(x)在某区间[a，b]上的等分的积分和式的极限。

(3)最后利用求f(x)在区间[a，b]上的定积分就可得到和式的极限。

B. 数学分析

第七章 实数的完备性
目的与要求：使学生掌握反映实数完备性的六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；明确六个基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上的连续函数性质和一些有关命题．了解数列上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系.
重点与难点：重点是实数完备性基本定理的证明，难点是实数完备性基本定理的应用.
第一节 关于实数集完备性的基本定理
一 区间套定理与柯西收敛准则
1 区间套
定义1 区间套: 设 是一闭区间序列. 若满足条件
（1） 对 , 有 , 即 , 亦即
后一个闭区间包含在前一个闭区间中；
（2） . 即当 时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .
区间套还可表达为:
， .
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减.
例如 和 都是区间套. 但 、
和 都不是.
2 区间套定理
定理7.1(区间套定理) 设 是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 , 使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点.
证明 （用单调有界定理证明区间套定理）
由假设（1）知，序列 单调上升，有上界 ；序列 单调下降，有下界 .因而有
， . .
再由假设（2）知
，
记 . 从而有
.
若还有 满足 ，令 ，得 .故 是一切 的唯一公共点.证毕.
注： 这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：
（1）要求 是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的，则定理不一定成立.如
.
显然有 ， 但 .
如果开区间套是严格包含： ，这时定理的结论还是成立的.
（2） 若 ，但 ，此时仍有 ， ，但 ，于是对任意的 ， ，都有 .
全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集，则称该全序集是完备的，该定理刻划实数集是完备的.该定理也给出通过逐步缩小搜索范围，找出所求点的一种方法.
推论 设 为一区间套， ．
则 当 时，恒有 ．
用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．
3 数列的柯西收敛准则的证明
数列的柯西收敛准则：
数列 收敛的充要条件是： ， ，当 时,有 ．
（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）
证明 必要性
设 ．由数列极限定义， ， ，当 时有
， ，
因而 ．
充分性 按假设， ， ，使得对一切 有 ，
即在区间 内含有 中除有限项外的所有项．
据此，令 ，则 ，在区间 内含有 中除有限项外的所有项．记这个区间为 ．
再令 ，则 ，在区间 内含有 中除有限项外的所有项．记
，它也含有 中除有限项外的所有项，
且满足 及 ．
继续依次令 ，照以上方法得一闭区间列 ，其中每一个区间都含有 中除有限项外的所有项，且满足 ， ，

即 是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数 （ ）．
现在证明数 就是数列 的极限．事实上，由区间套定理的推论，
当 时，恒有 ．
因此在 内含有 中除有限项外的所有项，这就证得 ．
二 聚点定理与有限覆盖定理
1 聚点
定义2 设 是无穷点集. 若在点 (未必属于 )的任何邻域内有 的无穷多个点, 则称点 为 的一个聚点.
数集 有唯一聚点 , 但 ；
开区间 的全体聚点之集是闭区间 ；
设 是 中全体有理数所成之集, 易见 的聚点集是闭区间 .
2 聚点概念的另两个等价定义
定义 对于点集 ，若点 的任何 邻域内都含有 中异于 的点，即
，则称点 为 的一个聚点.
定义 若存在各项互异的收敛数列 ，则其极限 称为 的一个聚点.
3 以上三个定义互相等价的证明：
证：定义2 定义 显然成立．
定义 定义 由定义 ，取 ， ；
再取 则 ，且显然 ；
……
一般取 则 ，且显然 与 互异；
……
无限地重复以上步骤，得到 中各项互异的数列 ，
且由 ，易见 ．
定义 定义2 ， ，当 时，必有
，且因 各项互不相同，故 内含有 中无限多个点．[证毕]
4 聚点定理
定理 7.2 (魏尔斯特拉斯聚点定理 Weierstrass ) 直线上的任一有界无限点集 至少有一个聚点 ，即在 的任意小邻域内都含有 中无限多个点（ 本身可以属于 ，也可以不属于 ）．
证 因为 为有界无限点集,故存在 ,使得 ,记 ．
现将 等分为两个子区间．因为 为有界无限点集，故两个子区间中至少有一个含有 中无穷多个点，记此区间为 ，则 ，且
．
再将 等分为两个子区间．则两个子区间中至少有一个含有 中无穷多个点，记此区间为 ，则 ，且
．
将此等分区间的手续无限地进行下去，得到一个闭区间列 ，它满足
， ，

即 是区间套，且每一个闭区间中都含有 中无穷多个点．
由区间套定理，存在唯一的一个数 （ ）．
于是由区间套定理的推论， 当 时，恒有 ．
从而 内含有 中无穷多个点，按定义2 ， 为 的一个聚点.
5 致密性定理.
推论：任一有界数列必有收敛子列.
证 设 为有界数列．若 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的．
若 中不含有无限多个相等的项，则 在数轴上对应的点集必为有
界无限点集，故由聚点定理，点集 至少有一个聚点，记为 ．于是按定
义 ,存在 的一个收敛的子列以 为极限.
作为致密性定理的应用,我们用它重证数列的柯西收敛准则的充分性
证明 充分性
由已知条件： ， ，当 时,有 ．欲证 收敛．
首先证 有界． 取 ，则 ， 有
特别地， 时
设 ，则 ，
再由致密性定理知， 有收敛子列 ，设 .
对任给 ，存在 ,当 时,同时有
，和
因而当取 时,得到

故 .
6 海涅–博雷尔(Heine–Borel) 有限覆盖定理:
1. 定义(覆盖 )
设 为数轴上的点集 , 为开区间的集合（即 的每一个元素都是形如 的开区间）. 若 中任何一点都含在 中至少一个开区间内，则称 为 的一个开覆盖,或称 覆盖 ．
若 中开区间的个数是无限（有限）的，则称 为 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）．
例 覆盖了区间 , 但不能覆盖 ；
覆盖 , 但不能覆盖 .
2． 海涅–博雷尔Heine–Borel 有限复盖定理:
定理7.3 (有限覆盖定理) 设 是闭区间 的一个无限开覆盖，即 中每一点都含于 中至少一个开区间 内．则在 中必存在有限个开区间，它们构成 的一个有限开覆盖．
证明 （用区间套定理证明有限覆盖定理）用反证法
设 为闭区间 的一个无限开覆盖．假设定理的结论不成立：即
不能用 中有限个开区间来覆盖．
对 采用逐次二等分法构造区间套 ， 的选择法则：取“不能用 中有限个开区间来覆盖”的那一半．
由区间套定理， ．
因为 ,所以 使
记 由推论，当 足够大时， 有

这表示 用 中一个开区间 就能覆盖，与其选择法则相违背．所以 必能用 中有限个开区间来覆盖．
说明 当 改为 时，或者 不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立．
例如：
1) ： ．
是开区间 的一个无限开覆盖，但不能由此产生 的有限覆盖．
2) ： ．
是 的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生 的有限覆盖．
三 实数完备性基本定理的等价性
1 实数完备性基本定理的等价性
至此,我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即
定理1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.
确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与它等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6．
定理2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛．
定理3 (区间套定理） 设 为一区间套：
1）
2） ．
则存在唯一一点
定理4 (有限覆盖定理) 设 是闭区间 的一个无限开覆
盖，即 中每一点都含于 中至少一个开区间 内．则在 中必存
在有限个开区间，它们构成 的一个有限开覆盖．
定理5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集 至少有一个聚点 ，即在 的任意小邻域内都含有 中无限多个点（ 本身可以属于 ，也可以不属于 ）．
定理6 (柯西准则) 数列 收敛的充要条件是： ，只要 恒有 ．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）
这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．
2 实数完备性基本定理等价性的证明
证明若干个命题等价的一般方法.即循环论证，当然也可以用其他的方法进行，下面我们按循环论证来进行实数完备性基本定理等价性的证明：
定理1（确界原理） 定理2 (单调有界定理) 定理3 (区间套定理） 定理4 (有限覆盖定理) 定理5 (聚点定理) 定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）
其中 定理1（确界原理） 定理2 (单调有界定理)，定理2 (单调有界定理) 定理3 (区间套定理）与定理3 (区间套定理） 定理4 (有限覆盖定理)分别见定理2.9, 7.1与7.3； 定理4 (有限覆盖定理) 定理5 (聚点定理)和定理5 (聚点定理) 定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）作为练习自证；而定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）见下例.
例1 用“数列柯西收敛准则” 证明“确界原理” ：
即 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .
证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）
设 为非空有上界数集 . 由实数的阿基米德性,对任何正数 ,存在整数 ,使得 为 的上界,而 不是 的上界,即存在 ,使得 .
分别取 , ,则对每一个正整数 ,存在相应的 ,使得 为 的上界,而 不是 的上界,故存在 ,使得 .
又对正整数 ， 是 的上界，故有 .再由 得
；同理有 .从而得 .
于是,对任给的 ,存在 ,使得当 时有 .
由柯西收敛准则,知数列 收敛.记 .
下面证明 就是 的上确界.首先,对任何 和正整数 有 ,
由 得 ,即 是 的上界.其次, 对任何 ,
由 及 ,对充分大的 同时有 , .
又因 不是 的上界, 故存在 ,使得 .
再结合 , 得 .
这说明 为 的上确界.
同理可证：非空有下界数集必有下确界.
作业 P168 1，2，3，4，5，6，7.

第二节 闭区间上连续函数性质的证明
在本节中，将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章第二节中给出的闭区间上连续函数的基本性质
一 有界性定理
若函数 在闭区间 上连续，则 在 上有界
证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 参阅[3]P106—107
证法 二 ( 用致密性定理). 反证法.
证明： 如若不然， 在 上无界， ， ，使得 ，对于序列 ，它有上下界 ，致密性定理告诉我们 使得 ，由 在 连续，及 有
，
矛盾.
证法 三 ( 用有限复盖定理 ).
证明：（应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（定理4.2）对每一点 都存在邻域 及正数
使 ,
考虑开区间集
显然 是 的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在 的一个有限点集

覆盖了 ,且存在正整数
使对一切 有 ，
令 则对 ， 必属于某 ， ，
即证得 在 上有上界．
二 最大、最小值定理
若函数 在闭区间 上连续, 则 在 上取得最大值和最小值.
证 ( 用确界原理 ) ( 只证取得最大值 )
令 ， , 如果 达不到 ，则恒有 .
考虑函数 ，则 在 上连续，因而有界，设 是 的一个上界，则
，
从而 ，
这与 是上确界矛盾，因此 ，使得 .
类似地可以证明达到下确界.
三 介值性定理
设 在闭区间 上连续,且 若 为介于 与 之间的任何实数 或 ，则存在 使 ．
证法一 (应用确界定理)
不妨设 ，令
则 也是 上连续函数, ， ,于是定理的结论转为: 存在 ，使 这个简化的情形称为根的存在性定理(定理4.7的推论)
记 ，显然 为非空有界数集
故有确界定理, 有下确界,
记 .因 ， 由连续函数的局部保号性, ，使在 内 ，在 内 ．由此易见 ， ，即 ．
下证 ．倘若 ，不妨设 ，
则又由局部保号性,存在 使在其内 ，特别有
，
但此与 矛盾，则必有 ．
几何解释： 直线 与曲线 相交.把 轴平移到 ，则问题成为零点存在问题.这启发我们想办法作一个辅助函数，把待证问题转化为零点存在问题.辅助函数如何作？
① 从几何上， , 启示我们作
函数 ；
② 从结果 着手.
利用零点定理证：令 ，则 在 上连续，往下即转化为零点存在问题.
证法二 ( 用区间套定理 ) .
这里我们证明与介值性定理等价的“零点定理 ”.
命题（零点存在定理或根的存在性定理）
设函数 在闭区间 上连续，即 ，且 与 异号，则在 内至少存在一点 使得 .即方程 在 内至少存在一个实根.
证明 设 ， .将 二等分为 、 ，
若 则 即为所求；若 ，当 时取 否则取 ，将所取区间记为 ，从而有 ， .如此继续，如某一次中点 有 终止（ 即为所求）；否则得
满足：（1） ；
（2） ；
（3） ，
由闭区间套定理知， 唯一的 ， ，且
由 在 处的连续性及极限的保号性得
， ，
这种先证特殊、再作辅助函数化一般为特殊，最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方法，以后会经常用到.
四 一致连续性定理
若函数 在闭区间 上连续, 则 在 上一致连续.
证法 一 ( 用有限复盖定理) .
证明: 由 在闭区间 上连续性， ，对每一点 ，都存在 ，使当 时，有
(2)
考虑开区间集合
显然 是 的一个开覆盖，由有限覆盖定理,存在 的一个有限子集

覆盖了 . 记
对 , ， 必属于 中某开区间，设 ，
即 ，此时有

故由（2）式同时有 和
由此得 .所以 在 上一致连续.
证法二 ( 用致密性定理).
证明： 如果不然， 在 上不一致连续，
， ， ， ，而 .
取 ，（ 为正整数） ， ，
而 ，当 取遍所有正整数时，得数列 与 .
由致密性定理，存在 的收敛子序列 ,设 ，
而由 ，可推出
又得 .
再由 在 连续，在 中令 ，得
，
与 矛盾.所以 在 上一致连续.
作业 P172 1，2，3，4， 5.

第三节 上极限和下极限
一 上（下）极限的定义
对于数列，我们最关心的是其收敛性；如果不收敛，我们希望它有收敛的子列，这个愿望往往可以实现.例如： .
一般地，数列 ，若 ： ，则称 是数列 的一个极限点.如点例 有2个极限点.数列 的最大（最小）极限点如果存在，则称为该数列的上（下）极限，并记为 （ ）.如 ， .
例1 求数列 的上、下极限
例2 设 ，求上、下极限.
二 上（下）极限的存在性
下面定理指出，对任何数列 ，它的上（下）极限必定存在.
定理1 每个数列 的上极限和下极限必定唯一，且
＝ ，
＝ .
三 上下极限和极限的关系
.
定理2 存在极限则 的上极限和下极限相等，
即 ＝ ＝ .
四 上（下）极限的运算
普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立.例如：
.
一般地有： ，当 收敛时，等号成立.
作业 p175 1，2，3.

C. 数学分析中的典型问题与方法的目录

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书名：数学分析中的典型问题与方法

作者：裴礼文

豆瓣评分：9.3

出版社：高等教育出版社

出版年份：1993-5

页数：844

内容简介：《数学分析中的典型问题与方法》共分220个条目,1200个问题,包括一元函数极限、连续、微分、积分、级数,多元函数极限、连续、微分、积分。

D. 数学分析问题，关于中值定理的，求大神指导😭，具体见图

f(x)在[a,b]上连续,f(a)=0,f(b)=1,因此由介值定理,存在某个c∈(a,b),使得f(c)=1/2
在区间[a,c]和[c,b]上分别使用拉格朗日中值定理,得
存在ξ∈(a,c),使得f'(ξ)=[f(c)-f(a)]/(c-a)=1/2(c-a)
2(c-a)=1/f'(ξ)
存在η∈(c,b),使得f'(η)=[f(b)-f(c)]/(b-c)=1/2(b-c)
2b-c=1/f'(η)
相加即得所要证的式子
并且因为ξ∈(a,c),η∈(c,b),所以ξ和η不可能相等

E. 求数学分析完备性七大定理的互相证明

裴礼文上是有一些互推，但是并不完全。
进一步可参看谢惠民《数学分析习题课讲义》，上面比较全，而且将实数完备性理论和闭区间上连续函数的性质结合起来互推（这点是北大喜欢考的，几乎每年都有一题是实数完备性与闭区间连续函数性质的互推）。
证明其实是次要的，关键要掌握方法，举个例子，北大07年一题：用有限覆盖定理来证闭区间连续函数的介值定理，这就要求我们构造一个无限开覆盖从而利用有限覆盖定理，如何构造（首先必须明确只需证零点定理即可，而连续函数又有局部保号性，我们就是利用这点来构造无限开覆盖的），这才是整个证明的精髓所在，掌握这个何愁证不出来！

F. 数学分析定理大全

最好的书就是《数学分析》，随便哪本都行
只讲定理不讲证明就不叫数学分析了

G. 数学分析中基本理论6大定理，老师说6大定理是相互的。只能承认其中一个，才能证明其他的。我现在有个疑问

实数完备性的6个定理（有的也称7打定理，加上致密性定理）是相互等价的，没有任何区别，这些定理仅仅是实数的完备性的不同表现形式而已。
这点等你学了泛函将体会更深

H. 常用的数学分析方法有哪些

1．避免“一步到位”
是指解题过程中，省略关键步骤，而直接得到答案，这样扣分是严重的．由于解答题是严格按照步骤给分的，如果解题过程中失去关键步骤，跳过拟考查的知识点、能力点，就意味着失去得分点，自然被扣分.
例1(2000年全国高考题) 已知函数y＝ cos2x＋ sinxcosx＋1，x∈R．
(I) 当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(II) 该函数的图像可由y＝sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：(I)由题设可得，y＝ sin(2x＋ )＋ ，故有
当 x= ＋k ，k∈Z，函数y取得最大值．
(II) 略．
评注：在(Ⅰ)的解答中犯了“大题小作”中的“一步到位”错误，缺少了化简过程的3个要点与何时取到最大值的1个要点，因而被扣分.
2． 避免“使用升华结论”
在解选择和填空题中，使用升华结论(教材中未给出的正确结论)是允许的，而且还是一种简捷快速的答题技巧．而直接运用(不加说明或证明)在解答题中是不合适的，且是“大题小作”，要适当扣分的.
解答高考解答题的理论根据应该是教材中的定义、定理、公理和公式，而学生使用“升华结论”则达不到考查能力、考查过程的目的，因此不能以题解题，不能直接运用教材以外别的东西，以免被扣分.
例2⑴(1991年全国高考题) 根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．
⑵(2001年全国高考题) 设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
评分标准中指出：
对于⑴：“利用y＝x3在[0，＋∞)上是增函数的性质，未证明y＝x3在(－∞，＋∞)上也是增函数而直接写出f(x1)－f(x2)＝ － ＜0，未能证明为什么 － ＜0过程，由评分标准知最多得3分．
对于⑵：有些考生证明时，直接运用课本中的引申结论“y1 y2＝p2”而跳过拟考查的知识点、能力点而被扣2分.
对于课本习题、例题的结论，是要通过证明才能直接使用(黑体字结论例外)，否则将被“定性”为解题不完整而被扣分．又如1996年高考理科第22(Ⅱ)及2001年全国高考理科第17(Ⅱ)利用面积射影定理，由于不加证明而直接使用，因而被扣分.
3 避免“答非所问”
是指没有根据题意要求或没有看清题意要求，用其它方法或结论作答，这明显也要被扣分的.
例3(1993年全国高考题)已知数列
Sn为其前n项和．计算得 观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明．
解：依据题意，推测出Sn的公式为：
Sn＝ ．
∵ ak＝ ＝ － ，
分别取k＝1，2，3，…，n，并将n个式子相加得：
Sn＝1－ ＝ ．
评注 以上解法可谓“简单、明了”，但证明时不用数学归纳法，为“答非所问”，不合题意，扣分是必然的. 又如1999年高考第22题(应用题)，第(Ⅰ)问中求“冷轧机至少需要安装多少对轧辊”，要求是用整数作答，不少考生未能用整数作答，违背题意而被扣分.
(四)了解“评分标准”，把握得分点
掌握解答题的“得分点”就要了解高考的评分标准，解答题评分标准是分步给分，但并非写得越多得分越高，而是踏上得分点就给分，即按所用的数学知识，数学思想方法要点式给分，允许“等价答案”，允许“跳步得分”. 因此解答时，应步骤清，要点明，格式齐. 对于不同题型的给分规律有：
1．立几题得分点
通常分作证，计算两部分给分，各段中间又按要点给分.证明主要写清两点：①空间位置关系的判断推理的依据(课本中的定理、公理)；②什么是空间角和距离及理由(紧扣定义). 特别要注意没有写清角、距离要被扣分. 计算过程的书写：计算一般是解三角形，要写清三角形的条件及解出的结果. 用等积法解题，要找出等积关系并计算. 都是分段得分的，如1998年23题，1999年22题，都有3个小题，每小题4分，其中作证2分，计算2分.
2．分类讨论题得分点
按所分类分别给分，加上归纳的格式(即写为“综上：当××时，结论是××”)分. 如1996年第20题，按a＞1和0＜a＜1两类分别给5分，归纳给1分. 2000年理19(Ⅱ)，求 a 的取值范围，使函数在区间[0，＋∞)上是单调函数，按 a≥1和0＜a＜1讨论各得2分.
3．应用题得分点
按设列、解答两部分给分. 特别要注意不答和答错都要扣1分，应注意设、列、解、答的完整性，争取步骤阶段分.
4．推理证明题得分点
按推理格式，推理变形步骤给分. 对于用定义证明函数的单调性、奇偶性，用数学归纳法证题，都有严格的格式分，应完整，避免失分. 即使推理证明不出，宁可跳步作答，也要套用格式. 从条件、结论两头往中间靠，这样写完格式，这样可以少扣分.
5．综合题得分点
按解答的过程，分步给分，每个步骤又按要点给分. 尽可能把过程分步写出，尽量不跳步，根据题意
列出关系，译出题设中每一个条件，能演算几步算几步，尚未成功不等于失败，特别是那些解题层次分明的题目，那些已经程序化的方法，每进行一步得分点的演算都可以得到这一步的满分，最后结论虽然没有算出来，但分数已过半，所以说，“大题拿小分”也是一个好主意. 因此尽量增加分步得分机会，千万别轻易留空白题.
(五)常用的解答题解题技巧
1.较简单的解答题的求解
对于比较容易解答的解答题(一般是前面3道),宜采用一慢一快的方法,就是审题要慢,解题要快,速战速决,为后面3道解答题留下时间.
找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不要拖泥带水，罗唆重复，用阅卷老师的话，就是写出“得分点”，一般来讲，一个原理写一步就可以了。至于不是题目直接考查的过渡知识，可以直接写出结论，高考允许合理省略非关键步骤，应详略得当。
例2004北京理科第15题
在 中， ， ， ，求 的值和 的面积.
分析:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力
解：
又 ,

.

2.较难的解答题的求解
对于较难的解答题(后面3道)来说,要想在有限的时间内做全对是不大现实的.当然也不能全部放弃,应该尽可能的争取多拿分.对于绝大多数考生来说，在这里重要的是：如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略，下面谈四个观点。
(1)、缺步解答
如果我们遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个明智的策略是：将它分解成为一个系列的步骤，或者是一个个子问题，能演算几步就演算几步，尚未成功不等于彻底失败，每进行一步得分点的演算就可以得到这一步的满分，最后结论虽然没有得出来，但分数却已过半。因为近几年高考解答题的特点是：入口易完善难，不可轻易放弃任何一题。
例: (2004浙江理科第21题)已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1.
（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且 ，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当 时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.
解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程
即
因为点M到直线AP的距离为1,
∵ 即 .
∵ ∴
解得 +1≤m≤3或--1≤m≤1-- .
∴m的取值范围是
(Ⅱ)可设双曲线方程为 由
得 .
又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此， （不妨设P在第一象限）
直线PQ方程为 .
直线AP的方程y=x-1,
∴解得P的坐标是（2+ ，1+ ），将P点坐标代入 得，

所以所求双曲线方程为
即
(2)、跳步解答
解题卡在某一过渡环节上是常见的，这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果得不出，证明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，我们再回过头来，集中力量攻克这个“中途点”。由于高考时间的限制，“中途点”的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写上“证明某步之后，继而有……”一定做到底。也许，后来中间步骤又想出来了，这时不要乱七八糟地补上去，可补在后面，可书写为“事实上，某步可证如下”。
有的题目可能设有多问，第一问求不出来，可以把第一问当成已知，先做第二问，这也算做是跳步解答。
例: (2004天津文科第18题) 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
(I) 求所选3人都是男生的概率；
(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.
解: (I) 所选3人都是男生的概率为
(II)所选3人中恰有1名女生的概率为
(III)所选3人中至少有1名女生的概率为
这3道小题可以说是互相独立的,彼此不相干.所以如果第1小题做不来,可以跳过去,直接做第2小题.

(3)、退步解答
“以退求进”是一个重要的解题策略，如果你不能解决题中所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从复杂退到简单，从整体退到局部。总之，退到一个你能够解决的问题，比如，{an}是公比为q的等比数列，Sn为{an}的前n项和，若Sn成等差数列，求公比q=____.
对等比数列问题，我们需考虑到q=1，q≠1两种情况，你可以先对特殊的q=1进行讨论，满足题意，找到解题思路和情绪上的稳定后，再讨论q≠1时是否也满足题意，发现无解，如果对q≠ 1的情况你确实不会解，你还可以开门见山的写上：本题分两种情况：q=1或q≠1.
也许你只能完成一种情况，但你没有用一种情况来代替主体。在概念上、逻辑上是清楚的。另外“难的不会做简单的”还为寻找正确的、一般的解题方法提供了有意义的启发。
4、辅助解答
一道题目的完整解答，即要有主要的实质性的步骤，也要有次要的辅助性的步骤，如：准确的作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题中的未知量，函数中变量的取值范围，轨迹题中的动点坐标，数学归纳法证明时，第一步n的取值等，如果处理得当，也会增分，不要小视它们。
另外，书写也是辅助解答，卷面随意涂改及正确答案的位置不合理，都会造成不必要的失分。
所以，有人说，书写工整，卷面整齐也得分，不无道理。

I. 数学分析法的一般步骤

数学分析法是指根据某些技术经济问题之间的内在联系，运用数学模型来分析其相互之间关系的一种方法。
数学分析法经济活动分析具体方法之—，是数学分析方法在经济活动分析中的实际运用。主要包括：量本利分析法、相关分析法，回归分析法、线性规划法和投入产出法等具体方法。这类方法主要用于因素分析，预测分析。趋势分析、决策分析，方案优化、效益评价等方面。
每一种决策分析方法都有自己的特定内容。数学分析方法的基本内容是数学化、模型化和计算机化。从数学角度看，数学中发现了许多有实用价值的手段，如线性规划、整数规划、动态规划、对策论、排队论、存货模型、调度模型、概率统计等等，对定量化的分析与决断起到了重大的推动作用；从模型化角度看，每一种数学手段都包括了解决决策问题的具体数学模型，人们可以借助于模型找出自己所需了解的问题的答案；从计算机化的角度看，人们可以借用电子计算机这个快速逻辑计算工具，缩短解决问题的时间，增强预测的精确性。这“三化”是互相联系的，它们的结合使决策的技术和方法发生了重大变化。
数学分析法的中心内容是建立与决策与决策目标相适应的、反映事物联系的数学模型。这种模型的核心是运用数学方法，把变量之间以及变量同目标之间的关系用数学关系式表达出来。如果应用电子计算机，则把这些数学模型用计算机的语言编成程序模型，然后把程序模型输入电子计算机，通过计算机的运算，得到准确的数据和结论。目前，许多常用的数学分析法都已编成计算机程序，供决策者随时调用。

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