‘壹’ 层次分析法的起源
层次分析法，该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
‘贰’ 层次分析法有几个步骤
层次分析法（AHP）是美国运筹学家萨蒂于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标之间能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
2. 算法基本原理
例子：
在这里插入图片描述
2.1. 解决问题的思路
层次分析法的基本思路是将所要分析的问题层次化；根据问题的性质和所要达成的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照这些因素的关联影响及其隶属关系，将因素按不同层次凝聚组合，形成一个多层次分析结构模型；最后，对问题进行优劣比较并排列。
2.2. 层次分析法的步骤
1.建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按照他们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。
最高层： 决策的目的、要解决的问题。
最低层： 决策时的备选方案。
中间层： 考虑的因素、决策的准则。
对相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重的问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中做出选择或形成选择方案的原则。
2.构造判断矩阵
层次分析法中构造判断矩阵的方法是一致矩阵法，即：不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较；对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难，以提高准确度。
判断矩阵 a i j a_{ij} a
ij
的标度方法
标度 含义
1 表示两个因素相比，具有同样重要性
3 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
2,4,6,8 上述两相邻判断的中值
倒数 因素 i i i于 j j j比较的判断 a i j a_{ij} a
ij
，则因素 j j j与 i i i比较的判断 a j i = 1 / a i j a_{ji}=1/a_{ij} a
ji
=1/a
ij
3.层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根 λ m a x \lambda max λmax的特征向量，经归一化（使向量中各元素之和为1）后记为 W W W。 W W W的元素为同一层次元素对于上一层因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
定义一致性指标 C I = λ − n n − 1 CI=\frac {\lambda-n}{n-1} CI=
n−1
λ−n
：
C I = 0 CI=0 CI=0,有完全的一致性；
C I CI CI接近于0，有满意的一致性；
C I CI CI越大，不一致越严重。
为了衡量 C I CI CI的大小，引入随机一致性指标 R I RI RI
随机一致性指标 RI
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
定义一致性比率： C R = C I R I CR=\frac{CI}{RI} CR=
RI
CI
，一般认为一致性比率 C R < 0.1 CR<0.1 CR<0.1时，认为A的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对 a i j a_{ij} a
ij
加以调整。
示例：
在这里插入图片描述在这里插入图片描述
4.层次总排序及其一致性检验
计算某一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的权值，称为层次总排序。
这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
在这里插入图片描述
A层 m m m个因素 A 1 , A 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , A m , A_{1},A_{2},···,A_{m}, A
1
,A
2
,⋅⋅⋅,A
m
,对总目标Z的排序为 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a m a_{1},a_{2},···,a_{m} a
1
,a
2
,⋅⋅⋅,a
m
。
B层 n n n个因素对上层A中因素为 A j A_{j} A
j
的层次单排序为 b 1 j , b 2 j , ⋅ ⋅ ⋅ , b n j ( j = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , m ) b_{1j},b_{2j},···,b_{nj}(j=1,2,3,···,m) b
1j
,b
2j
,⋅⋅⋅,b
nj
(j=1,2,3,⋅⋅⋅,m)。
B层的层次总排序(即B层第 i i i个因素对总目标的权值为： ∑ j = 1 m a j b i j \sum_{j=1}^{m}a_{j}b_{ij} ∑
j=1
m
a
j
b
ij
)为：
B 1 : a 1 b 11 + a 2 b 12 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m b 1 m , B_{1}:a_{1}b_{11}+a_{2}b_{12}+···+a_{m}b_{1m}, B
1
:a
1
b
11
+a
2
b
12
+⋅⋅⋅+a
m
b
1m
,
B 2 : a 1 b 21 + a 2 b 22 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m b 2 m , B_{2}:a_{1}b_{21}+a_{2}b_{22}+···+a_{m}b_{2m}, B
2
:a
1
b
21
+a
2
b
22
+⋅⋅⋅+a
m
b
2m
,
⋅ ⋅ ⋅ ··· ⋅⋅⋅
B n : a 1 b n 1 + a 2 b n 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m b n m , B_{n}:a_{1}b_{n1}+a_{2}b_{n2}+···+a_{m}b_{nm}, B
n
:a
1
b
n1
+a
2
b
n2
+⋅⋅⋅+a
m
b
nm
,
层次总排序的一致性比率为: C R = a 1 C I 1 + a 2 C I 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m C I m a 1 R I 1 + a 2 R I 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m R I m CR=\frac{a_{1}CI_{1}+a_{2}CI_{2}+···+a_{m}CI_{m}}{a_{1}RI_{1}+a_{2}RI_{2}+···+a_{m}RI_{m}} CR=
a
1
RI
1
+a
2
RI
2
+⋅⋅⋅+a
m
RI
m
a
1
CI
1
+a
2
CI
2
+⋅⋅⋅+a
m
CI
m
,当 C R < 0.1 CR<0.1 CR<0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。
例子：
在这里插入图片描述在这里插入图片描述
3.算法总结
应用领域：经济计划个管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。
建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。
构造成对比较矩阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。
4.参考
层次分析法建模——《网络文库》
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层次分析法（AHP）基础概念整理+步骤总结
层次分析法是用来根据多种准则，或是说因素从候选方案中选出最优的一种数学方法 递阶层次的建立与特点 一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。 最顶层是我们的目标，比如说选leader，选工作，选旅游目的地 中间层是判断候选方物或人优劣的因素或标准 选工作时有：发展前途 ，待遇 ，工作环境等 选leader时有：年龄，经验，教育背景，魅力 构造判断矩阵 ...
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层次分析法（AHP）——matlab代码实现
层次分析法（AHP）的主要思想是根据研究对象的性质将要求达到的目标分解为多个组成因素，并按组成因素间的相互关系，将其层次化，组成一个层次结构模型，然后按层分析，最终获得最高层的重要性权值。层次分析法把一个复杂的无结构问题分解组合成若干部分或若干因素，上一层次对相邻的下一层次的全部或某些元素起支配作用，这样就形成了自上而下的层次结构，通过相关指标之间的两两比较对系统中各指标进...
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评论(8)
写评论
DLMU_DH218码龄1年
3
想请问一下，最后得到的权重向量怎么用？毕竟每个特征的数据量纲不一样，能结合例2说一下吗，谢谢了5月前
比比吧哔啵码龄1年
回复DLMU_DH218:不是值最大的为最优方案吗
3月前
忘小寒boy码龄2年
2
怎么感觉此文与知乎某篇文章一致4月前
gnv0_码龄1年
请问大神如果不是这样的层次结构怎么设置权重啊4月前
Mr.Bornapart码龄2年
请问大神，大于9个因素的层次分析法你有吗1年前
pyjiango码龄1年
回复Mr.Bornapart:大于9个因素可以聚类吧，分为几个决策层
5月前
Zero xing码龄1年
其中的n取到几是由什么决定的啊？1年前
bk3333码龄4年1
回复Zero xing:矩阵的维度或者因素的个数啊
1年前
数学建模方法——层次分析法（AHP）
0. 层次分析法简介 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）主要是对于定性的决策问题进行定量化分析的方法。举个例子，在日常生活中，我们经常需要进行感性的判断，比如报高考志愿，感觉清华北大都很好，到底要报哪个；再比如去市场买菜，到底是买青椒做青椒炒鸡蛋，还是买黄瓜做黄瓜炒鸡蛋；再比如想去出游，到底是去公园A还是公园B。上面提到的这些问题，都是决策，也叫做评价类...
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‘叁’ 层次分析法是谁提出的
萨蒂。
层次分析法，是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。该方法是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
‘肆’ 多目标决策分析方法综述(层次分析法)
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是对一些较为复杂、较为模糊的多目标问题作出决策的简易方法，它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
层次分析法，它是一种简明、实用的定性分析和定量分析相结合的分析方法。层次分析法把满影响因素按照相互作用的影响及隶属关系划分成有序的递阶结构，从而形成一个多层次结构模型。在每一层次上根据对一定客观事实的主观判断。对所属层次中的要素进行两两比较，然后经过数学计算和检验，获得该层次相对于高一层的相对重要性的权数。在次基础上进而计算出个层次要素对于系统的目标组合权数，从而得出不同的备选方案的权数，并进行排序；最终得出满意的方案。
层次分析法最大的优点是可以在决策中更好地把定性分析和定量分析结合在一起以及矩阵的检验并保持评价过程中的一致性，避免过于主观性，尤其是在许多复杂因素都发生的情况下，运用层次分析法显得尤为重要。另一个优点是在于它是一个开放式的决策方法，它所要求的递阶层次结构可以随着决策者的问题的复杂程度以及决策人的偏好而加以修正和补充。
还应注意两个问题：第一，在构造递阶层次结构时，要注意同一层次的各个因素具有互斥性；第二，在进行两两比较构造判断矩阵时，由于主要依赖主观判断，为避免意见过于偏哪一个因素，应尽量采取专家集体判断的方法。只有这样，上述的层次分析法才能真正的发挥其科学性作用。（我自己总结的，不是!!）
‘伍’ 层次分析法
定性与定量相结合。
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP），是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
‘陆’ 层次分析方法
层次分析法，简称AHP，是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
层次分析法是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。
层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。
层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。[1]
基本原理
层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。[1]
计算步骤
1.建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。 最高层是指决策的目的、要解决的问题。 最低层是指决策时的备选方案。 中间层是指考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。
2.构造判断(成对比较)矩阵
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Saaty等人提出一致矩阵法，即不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较，对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。如对某一准则，对其下的各方案进行两两对比，并按其重要性程度评定等级。 为要素 与要素 重要性比较结果，表1列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。按两两比较结果构成的矩阵称作判断矩阵。
‘柒’ 什么是层次分析法啊
层次分析法（AHP）是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于本世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。层次分析法的步骤如下：
（1）通过对系统的深刻认识，确定该系统的总目标，弄清规划决策所涉及的范围、所要采取的措施方案和政策、实现目标的准则、策略和各种约束条件等，广泛地收集信息。
（2）建立一个多层次的递阶结构，按目标的不同、实现功能的差异，将系统分为几个等级层次。例如：图16-7就是以递阶层次表示的国家富强的一般结构。
（3）确定以上递阶结构中相邻层次元素间相关程度。通过构造两比较判断矩阵及矩阵运算的数学方法，确定对于上一层次的某个元素而言，本层次中与其相关元素的重要性排序--相对权值。
（4）计算各层元素对系统目标的合成权重，进行总排序，以确定递阶结构图中最底层各个元素的总目标中的重要程度。
（5）根据分析计算结果，考虑相应的决策。
层次分析法的整个过程体现了人的决策思维的基本特征，即分解、判断与综合，易学易用，而且定性与定量相结合，便于决策者之间彼此沟通，是一种十分有效的系统分析方法，广泛地应用在经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、人才预测、交通运输、水资源分析利用等方面。
‘捌’ 什么是层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤
人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：
（i）建立递阶层次结构模型；
（ii）构造出各层次中的所有判断矩阵；
（iii）层次单排序及一致性检验；
（iv）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点
应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类：
（i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。