正弦量分析方法图解

‘壹’ 求 直流电路，正弦交流电路的基本计算公式

在工程实际中，经常遇到电压和电流随时间按正弦规律变化的电路，我们称这样的电路为正弦交流电路，简称正弦电路。

对正弦电路的分析和研究具有重要的理论和实际意义。一方面，目前世界上绝大部分发机电、输配电线路、用电设备（如电动机等）的电压、电流都是采用正弦函数的形式，对于这类电路的分析，多数情况下，可以按正弦电路加以分析处理。另一方面，非正弦的周期函数，可以分解为频率成整数倍的正弦函数的无穷级数（即傅里叶级数），因此，当非正弦周期函数（往往取有限项正弦级数近似）的电压、电流作用于线性电路时，也可按正弦电路进行分析处理。

本章介绍正弦交流电路的基本知识，阐述正弦交流电路稳态分析的基本理论和基本方法。这里所说的稳态是指线性电路在同频率正弦电源作用相当长时间后，所达到的稳定工作状态。

§3-1 正弦电压和电流
工业频率的正弦交变电动势通常是由交流发电机产生的。发电机由定子和转子组成，当转子在外力作用下转动时，会切割磁力线而产生感应电动势。采用特殊气隙可使感应电动势呈正弦规律变化。其表达式可用正弦函数表示，如电动势可表示为e=Emsinωt。由此产生的电压和电流可表示为：

[1]

一、 正弦量的三要素

确定一个交流电，通常取决于以下三个要素：交流电变化的快慢、交变的幅度和交变的起点。而对于正弦交流电，这三个要素恰好对应正弦量的频率、幅值和初相。下面我们以电流为例介绍正弦量的三要素。

（一） 周期、频率、角频率

正弦交流电交变一次所经历的时间称为交流电的周期，用T表示，单位是秒（s）。正弦交流电一秒钟所完成的交变次数称为交流电的频率，用f表示，单位是赫兹（Hz），简称赫（周/秒）。周期和频率互为倒数。即

或
我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率，有些国家（如美国、日本等）采用60Hz。电力标准频率也称工频。通常的交流电动机和照明负载都用这种频率。在其它各种不同的技术领域内还使用着各种不同的频率。如高速电动机的电源频率为150Hz~2000Hz，无线电中波的频率为535kHz~1605kHz，调频台的频率为88MHz~108MHz，卫星通信的频率为3.7GHz~4.2GHz，等等。

正弦交流电变化一个周期，对应的正弦函数就变化2π弧度，所以正弦量变化的快慢除了用周期和频率表示外，还可以用角频率ω来表示，角频率的单位为弧度/秒（rad/s）。ω、T和f 三者之间的关系是：

显然，周期T、频率f和角频率ω三者之间有固定的换算关系，知道其中任意一个就可以求出另外二个。

因此以下三种正弦量的写法是等效的：

(3-1)

例 3.1.1 已知f=50Hz，试求T和ω。

解：T=1/f=1/50=0.02 s

ω=2πf=2×3.14×50=314 rad/s

（二） 幅值、有效值

正弦量在任一瞬时的值称为瞬时值，用小写字母来表示，如i、u分别表示电流和电压的瞬时值。瞬时值中最大的值称幅值或最大值，用带下标m的大写字母表示，如Im、Um分别表示电流、电压的幅值。

工程应用中正弦电压和电流的大小通常是采用有效值来衡量，而非幅值或瞬时值。有效值是从电流的热效应角度来规定的。不论是周期变化的电流还是直流，只要它们在相等的时间内通过同一电阻发出的热量相等，就把它们的大小看成是相等的。也就是说，某一周期性电流i通过电阻R在一个周期内产生的热量，和另一个直流I通过同样的电阻在相等时间内产生的热量相等，那么这个周期变化的电流i的有效值在数值上就等于这个直流I。

根据以上所述，可得
由此可得出有效值：

上式适用于所有周期性变化的量。当电流为正弦量时，即i=Imsinωt时，则有：

(3-2)

可见，正弦量幅值是有效值的 倍。因此以下两种写法是等效的：

(3-3)

规定，有效值都用大写字母表示（可以带下标，如I1、I2、IR等，但一般不能用m作为下标，以示与最大值区别），与表示直流的字母一样。

一般所讲的正弦电压或电流的大小，例如交流电压380V或220V，都是指有效值。万用表测量得到的交流电压和电流也是有效值。

例 3.1.2 u=Umsinωt ，Um=310V，f=50Hz，试求有效值U和t=0.1s时的瞬时值。

解： V

s时，
（三）初相位

在正弦量的表达式i=Imsin(ωt+ψi)中的（ωt+ψi）称为正弦量的相位角或相位，其单位为弧度（rad）或度（°）。如果已知某一正弦量在某时刻的相位，就可以确定这个正弦量在该时刻的量值、方向及变化趋势，因此相位表示了正弦量在某时刻的状态。不同的相位对应正弦量的不同状态，从这个意义上讲，相位还表示了正弦量的变化进程。当相位随时间作连续变化时，正弦量的瞬时值随之作连续变化。

ωt

i

ψi=0

ψi

ωt

i

ψi<0

ωt

ψi

i

ψi>0

图3-1 正弦量的初相位

O

O

O

相位角（ωt+ψi）跟时间有关，当时间t=0（称为计时起点）时，所对应的相位角就称为初相位，其值为ψi。显然，要确定正弦量在某一时刻的值，除了跟幅值与角频率有关外，还和初相位有关。

初相位ψi的取值范围规定为|ψi|≤π。其取值有三种情况：ψi＜0，ψi=0和ψi＞0，正弦图形对应如图3-1。

二、相位差

线性电路中，如果所有电源都是同频率的正弦量，则电路中的响应电压和电流也是该频率的正弦量。对于同频率的正弦量，我们可以比较它们的相位差。

设如下二个同频率的正弦量：

两正弦量间的相位之差，称为相位差。则u和i的相位差为：

(3-4)

可见，两个同频率的正弦量的相位差是与时间无关的常量，即等于它们初相位之差。通常，相位差 的取值范围是 ，若不在此范围内，则可加减2π使其满足 。

若 ＞0，则u超前i，或i滞后u，超前或滞后的角度为 。如图3-2（a）。

若 ＜0，则u滞后i，或i超前u，超前或滞后的角度为 。

若 =0，则u与i同相位，简称同相。如图3-2（b）

特殊地，若 =±π/2，称u与i正交。如图3-2（c）

若 =±π，称u与i反相。如图3-2（d）

u,i

（a） >0

i

u

ωt

u,i

（b） =0

u

i

ωt

u,i

（c）

i

u

ωt

u,i

（d）

i

u

ωt

图3-2 同频率正弦量相位差

O

O

O

O

必须强调，比较正弦量的相位差时要注意“三同”：

（1）同频率。只有同频率的正弦量才有确定的相位关系，它们的相位差才为常数。不同频率正弦量的相位差会随时间而发生变化。

（2）同函数。正弦函数和余弦函数都可以用来表示正弦交流电，当要进行相位比较时，必须要化成同一函数来表达才能进行相位运算。

（3）两正弦函数表达式前面的符号应该相同。

例3.1.3 已知两电流 A， A，求它们的相位差。

解：先将i2化为正弦表达式：

故i1与i2相位差为：
由此可知，i1比i2滞后40°。

例 3.1.4已知两电流 A， A，求它们的相位差。

解：先将i2前面的符号化为正号：

故i1与i2相位差为：
由于 的取值范围为-180°~180°，故
由此可知，i1比i2滞后160°。

在分析或计算交流电路时，我们往往先选定某一个正弦量为参考量，令其初相位为零，然后再确定其它正弦量与参考量之间的相位关系。注意，电路中各正弦量之间的相位差并不会因为选择不同的参考正弦量而发生变化。

‘贰’ 正弦交流电的三要素是

正弦交流电的三要素是，幅值，初相位，角频率。

Im——幅值；

φ——初相位；

ω——角频率。

幅值、初相位和角频率统称为正弦量的三要素。正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，已知正弦量的三要素，即可确定正弦量的瞬时值。

正弦交流电在工业中得到广泛的应用,它在生产、输送和应用上比起 直流电来有不少优点,而且正弦交流电变化平滑且不易产生高次谐 波,这有利于保护电器设备的绝缘性能和减少电器设备运行中的能量 损耗。另外各种非正弦交流电都可由不同频率的正弦交流电叠加而成 (用傅里叶分析法),因此可用正弦交流电的分析方法来分析非正弦交流电。

‘叁’ 电路分析时 相量计算 怎么手算啊，就像2∠45+1∠

相量有两种表示形式：1、模+幅角；2、复数形式。

加减法时，采用复数形式计算。如果是“模+幅角”的形式，就转化为复数形式。如你的题目中：2∠45°+1∠30°=2×（cos45°+jsin45°）+1×（cos30°+jsin30°）=√2/2+j√2/2+√3/2+j0.5=（√2/2+√3/2）+j（0.5+√2/2）。

乘除法时：使用模+幅角形式计算。Z1=R1∠φ1，Z2=∠φ2，则：Z=Z1×Z2=R1∠φ1×R2∠φ2=R1R2∠（φ1+φ2）。如果是复数形式，就需要将其转化为模+幅角的形式：因为Z1=R1∠φ1=R1cosφ1+jR1sinφ1=x+jy，所以R1=√（x²+y²），φ1=arctan（y/x）。

此外，

复数阻抗的实部称为等效电阻，虚部称为电抗，模称为阻抗模，幅角称为阻抗角,它们分别用符号R、X、|Z|、φ表示。复数导纳的实部称为等效电导，虚部称为电纳，模称为导纳模，幅角称为导纳角，它们分别用符号G、B、|Y|、φ┡表示，于是 Z =R+jX=|Z|e。

(3)正弦量分析方法图解扩展阅读：

例1：电路分析时相量计算，2∠45+1∠-30 计算：

加减用代数式,乘除用指数式,本题是加减,要转换成代数式：

2∠45 + 1∠-30

= 2 cos45° + j 2 sin45° + cos(- 30°) + j sin(- 30°)

= √2 + j √2 + √3/2 - j 0.5

= (√2 + √3/2) + j (√2 - 0.5)

= 2.28 + j0.9142

= 2.456∠21.84°

例2：电路分析时相量计算，2∠45：

相量有两种表示形式：1、模+幅角；2、复数形式。加减法时，采用复数形式计算。如果是“模+幅角”的形式，就转化为复数形式。如你的题目中：2∠45°+1∠30°=2×（cos45°+jsin45°）+1×（cos30°+jsin30°）=√2/2+j√2/2+√3/2+j0.5=（√2/2+√3/2）+j（0.5+√2）。

‘肆’ 电路分析基础下册的正弦量怎么化为振幅相量比如 20角30度是怎么化为17.32+j10的

解：激励源包含直流分量和基波两个部分，分别计算响应后进行叠加。1、直流分量作用时：电容开路，电感短路，电感电流就是电阻电流，所以：u'（t）=iL×R=2×10=20（V）。2、基波分量作用时：IL（相量）=8/√2∠0°=4√2∠0°（A）=4√2（A）。因此并联支路电压：U1（相量）=IL（相量）×jXL=4√2∠0°×j5=20√2∠90°（V）=j20√2（V）。Ic（相量）=U1（相量）/（-jXc）=20√2∠90°/（-j20）=√2∠180°=-√2（A）。根据KCL：Ir（相量）=IL（相量）+Ic（相量）=4√2-√2=3√2（A）。Ur（相量）=Ir（相量）×R=3√2×10=30√2（V）。根据KVL：U（相量）=Ur（相量）+U1（相量）=30√2+j20√2=36.06√2∠33.69°（V）。所以：u"（t）=36.06√2×√2sin（ωt+33.69°）=72.11sin（ωt+33.69°）（V）。3、叠加：u（t）=u'（t）+u"（t）=20+72.11sin（ωt+33.69°）（V）。

‘伍’ 正弦量的一般解析式

"但是在计算初相时如φ=30·=π/6.这里π就是180·" 这句话说错了,这里的"π/6"是弧度制,π仍旧等于3.14,而不是180°
而之所以解析式里出现π这是推导的结论,只能说它符合客观事实.

‘陆’ 谈谈正弦量的相量表示法和普通意义上的向量的区别和联系

摘要 正弦量本身是没有方向的标量，为了方便计算而引入相量这种工具，相量表现出了正弦量的有效值和相位；而表示力、电场强度、磁感应强度等的空间向量是有大小、有方向的矢量，箭头代表向量的方向，长度代表向量的大小。二者是有本质区别的。即相量本身是表示正弦量，向量本身则是表示既有大小又有方向的量。相量的模值是正弦量的有效值，向量的模值是表示量的大小。相量与坐标轴的夹角表示了正弦量的初相位，向量与坐标轴的夹角则表示了其在空间中的方向。