用空间向量研究距离问题解题方法

① 高中数学如何用空间向量求空间直线到平面的距离

设直线行于平面.平面的法向量为n.
A为直线上的任意一点,B为平面上的任意一点.
则,直线到这平面的距离d,即等于向量AB在向量n上的投影的绝对值.
即:d=|n点乘AB|/|n|.
如果乐意,自然可换成坐标表达式.

② 立体几何，用空间向量解答。并求解释一下用空间向量解答线线距离，线面距离，点面距离，线面角的基本方法

在矩形ABCD中，AD=4,AB=2,E,F分别是线段AB，BC的中点，PA垂直平面ABCD，三棱锥P-ABD的体积等于4，线段AD上是否存在点G，使得EG垂直PF？若存在，求出点G到平面PDF的距离。

解析：∵矩形ABCD中，AD=4,AB=2，PA⊥面ABCD

建立以A为原点，以AD方向为X轴，以AByytm为Y轴，以AP方向为Z轴正方向的空间直角坐标系A-xyz

∵三棱锥P-ABD的体积等于4

V=1/3*1/2*AD*AB*PA=1/6*4*2*PA=4==>PA=3

∵E,F分别是线段AB，BC的中点

∴点坐标：

A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，E(0,1,0)，F(2,2,0)，P(0,0,3)

设G(x,0,0)（0<x<4）

向量EG=(x,-1,0)，向量PF=(2,2,-3)

向量EG·向量PF=2x-2+0=0==>x=1

∴G(1,0,0)

向量PG=(1,0,-3)，向量PD=(4,0,-3)，向量PF=(2,2,-3)

设向量n(x,y,z)是面PDF的一个法向量

则向量n·向量PD=4x-3z=0；向量n·向量PF=2x+2y-3z=0

令y=1，则x=1,z=4/3

∴向量n=(1,1,4/3)==>|向量n|=√34/3

向量PG=(1,0,-3)

G到平面PDF的距离为向量PG在平面法线上的投影

即，d=|向量n·向量PG|/|向量n|

|向量n·向量PG|=|1-4|=3

∴d=3/(√34/3)=9/√34

解题的基本方法：

(1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中

(2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位；

(3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标；

(4)求解给定问题

求解异面直线间距离；

求异面直线间距离的关键是根据题目给定条件寻找二条异面直线间距离所在；

点到平面距离问题；

直线与平面间距离

从直线上任取一点，求该点到平面的距离；

直线与平面夹角；

(1)求直线与平面夹角的基本方法是寻找或作直线在该平面内的射影，然后找出在直线和射影上的二个向量，进而求出其夹角。

(2)求平面的一个法向量，然后求出直线与法向量的夹角，该夹角与直线和平面夹角互余

③ 空间向量求距离公式问题

设平面外一点A,找到平面内任意一点B,求出向量AB坐标，求平面一个法向量n,则点A到平面距离d=|AB*n|/|n|

这个斜线却是可以变化的，
但是AB. n是不变的
因为：
AB. n=|AB|*|n|*cos∠BAn=|n|*点A到面的距离

所以不同的斜线会有相同的结果

④ 空间向量求解各种距离 [点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离（利用法向量）]

1. P点到线距d：在直线上取一点A，计算向量PA，直线的方向向量a，计算cos<向量PA,向量a>
d=|PA|*sin<向量PA,向量a>
2. P点到面距d：在平面上找一点A，计算向量PA，直平面的法向量n，计算cos<向量PA,向量n>
d=|PA|*cos<向量PA,向量n>
3. 线到线的距离：只需平行线，回到问题1
4. 线到面的距离，只需线面平行，回到问题2
5. 面到面的距离，在一个平面内找到一点，回到问题2
原则上点可以任意取，但实际操作中要找特殊点

⑤ 用空间向量研究距离问题有哪些

点到线距离：比如A（1,2）B（2,3）C（0,2）求点A到BC距向量BC=（-2,-1）。

给它找一个垂直向量,称为法向量n=（-1,2）（注意。这里只要垂直就可以了,比如（3,-6）也行,对结果无妨，但不能（0,0）) 取向量AB=（1,1）。

则距离d=（向量AB*向量n0）的绝对值,其中n0是n的单位向量,在这里n0=n/n的模=（-1/根5,2/根5）那么d=-1/根5*1+2/根5*1=1/根5=5分之根号5。

向量规定

向量的大小叫做向量的长度或模（molus)。

1.长度为0的向量叫做零向量，记为0。

2.模为1的向量称为单位向量。

3.与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a。

4.方向相等且模相等的向量称为相等向量。

⑥ 如何用空间向量求解空间距离（点点距离 点

点到线距离：比如A（1,2）B（2,3）C（0,2）求点A到BC距向量BC=（-2,-1）我们给它找一个垂直向量,称为法向量n=（-1,2） （注意,这里只要垂直就可以了,比如（3,-6）也行,对结果无妨,但不能（0,0）) 取向量AB=（1,1）则距离d=（向量AB*向量n0）的绝对值,其中n0是n的单位向量,在这里n0=n/n的模=（-1/根5,2/根5）那么d=-1/根5*1+2/根5*1=1/根5=5分之根号5 你可以用解析法验证思路是：做出给定直线的任意一个法向量,再做已知点到已知直线上任意一点的向量,如我上面找的AB,找AC也可以,哪怕设任意点P在直线BC上,取AP也无妨,然后做的这个向量在法向量上的投影即为点线距离.应该比较好理解,高二学空间向量中点面距就是这个思路,那时候你对这种方法的理解就更深了至于点点距,那相当于求向量模嘛,比如要求刚才的AB长,AB=（1,1）,模是根号2,你可以用两点间距离公式验证

⑦ 用空间向量怎样求两点的距离有啥公式吗

有,设p（x，y，z），则距离d=|ax+by+cz+d|/√(a^2+b^2+b^2)
(类似于与平面直角坐标系中的点到直线的距离公式）
另外“ax+by+cz+d=0”代表的是一个平面，而不是直线。
希望回答对你有所帮助~

⑧ 如何用空间向量研究距离夹角问题

夹角的求法：找到直线的方向向量与平面的法向量，用向量夹角公式求出来的就是线面夹角的正弦值。

一、异面直线的夹角：

1、先求两异面直线的方向向量a,b。

2、求这两个向量的夹角<a,n>

3、转化为异面直线的夹角q。

二、直线与平面所成角：

1、直线的方向向量和平面的法向量。

2、求这两个向量的夹角。

3、转化为直线与平面的夹角q。

卦限

三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。