中职数学第六章数列的教学方法

1. 在学习数列中有哪些常见的经典题型和解题方法

一、 高中数学与初中数学特点的变化。 1、数学语言在抽象程度上突变。 不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显着的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2、思维方法向理性层次跃迁。 高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等、、、分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，正如上节所述，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的事，这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证形思维。 3、知识内容的整体数量剧增 高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。这就要求第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识；第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中；第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好。因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法；第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。 二、不良的学习状态。 1、 学习习惯因依赖心理而滞后。 初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教学中教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了，由“参与学习”转入“督促学习”。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。 2、 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，而且有的可能还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此，高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。因为在我们广州市可以说是普及了高中教育，因此中考的题目并不具有很明显的选拨性，同学们都很容易考得高分。但高考就不同了，目前我们国家还不可能普及高等教育，高等教育可以说还是属于一种精英教育，只能选拨一些成绩好的同学去读大学，因此高考的题目具有很强的选拨性，如果心存侥幸，想在高三时再发奋一、二个月就考上大学，那到头来你会后悔莫及的。同学们不妨打听打听现在的高三，有多少同学就是因为高一、二不努力学习，现在临近高考了，发现自己缺漏了很多知识而而焦急得到处请家教。 3、 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。 4、 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。 5、 进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法，实根分布与参变量的讨论，三角公式的变形与灵活运用，空间概念的形成，排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。 三、 科学地进行学习。 高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。 1、培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。 (1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳打稳扎，它是推动我们主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。 (2)课前自学是上好新课，取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。 (3)上课是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。
记得采纳啊

2. 高中数学，数列的这一章节，做数列的题目有多少种方法，比如裂项相消法，叠加法（累加法）等，请一一列举

分组求和法；
倒序相加法；
裂项法。
倒序相加法：当前面的项和最后的项加起来是常数或有规律的数。
错位相减法：单项数列的表达式是由等比数列和等差数列相乘得到。如：an=n*a^(n+1)
裂项法：用于分数的数列。
分组求和法：数列的项可以拆分成其他典型数列。
识；

直接利用公式求和；
倒序相加法；
错位相减法；
分解转化（拆项）法；
裂项相消法；
并项法。
函数思想：将数列上升为特殊的函数来认识；数形结合思想方法：函数的图象能直接反映数列的本质；

方程（组）思想：等差、等比数列中在求时，知三求二，所用的就是方程思想。

观察分析法：求通项公式时常用；

分类讨论法：求等比数列的前n项和公式时要考虑公比是否为1，公比是字母时要进行讨论

3. 如何实现中职数学数列的有效教学

一、因材施教,积极改革教学方法
（一）更新教学观念,提高教学的主观能动性
以往教师的教学工作,是按照教学大纲的具体要求,以教科书为准绳,进行一系列的教学活动,而对“课程论”研究甚少.因此,教师的教和学生的学都比较被动,为了改变这种状况,教师应积极引导学生主动钻研,鼓励学生自己去思考和解决问题.如“正切函数”概念的教学,按传统的教法,学生只停留于死记概念,至于为什么要在一定区间上研究这一概念,很少有学生主动去思考,学生的学习完全处于被动状态.为此,在教学中通过提出一系列与“正切函数”概念内容相关的问题（正切函数的定义域、周期性等）,不一定由概念讲性质,而是根据性质研究概念,启发学生去思考.学生通过看书和讨论,找到这些问题的答案,理解了正切函数的概念.实践证明,采用这种先提出问题,再引导学生通过自己思考和探索去理解概念来龙去脉的教学方法,不仅加深了学生对概念的理解,而且还调动了学生的学习主动性,使教学达到了良好的效果.
（二）运用信息技术,提高教学的生动性
对数学教师而言,信息化技术应用的不多,原因是数学不像其他学科,课件形式很单一,很多是简单的把公式或例题呈现在屏幕上,这样感觉不如直接在黑板上板书；二是大多数教师不会用动画做课件,课件对学生也没多大的吸引力.那么怎样才能吸引学生呢,教师应该大力推广信息技术在数学教学过程中的普遍使用,充分利用信息技术的优势,改进数学教材的呈现方式,将中职数学教材与信息技术整合,促进中职数学课程内容的现代化.
（三）采取探究性教学,培养学生发散性思维
在数学教学中运用探究性教学主要是通过开放题来实现的,数学开放题具有促使学生掌握科学的思维方式以及优良的思维品质和正确的数学观,提高数学表达能力等多种教育功能.由于在开放题的教学中,学生是以知识的主动发现者、探索者和研究者的身份出现,因此,学生不再是“装”数学,而是“搞”数学,这就可以使他们在一定程度上去体验数学家进行数学研究的活动过程(尽管两者完全不同)
,深切领会数学的实质,因此,数学开放题用于学生的探究性学习是十分有意义的.比如,有两个二面角,它们的面对应平行,仔细观察你能得到哪些结论?试说明或证明之.策略：隐去结论,让学生猜测,并检验.通过开放题的形式进行的探究性学习,激发了学生的探究热情,培养了学生的探索精神和应变能力,锻造了学生不怕困难、坚忍不拔的意志品质.
(四)注重数学思想渗透, 拓展学生认知能力
在课堂教学过程中,表层知识的发生过程实际上也是思想方法的发生过程.像概念的形成过程,新旧知识的对比过程,结论的推导过程,规律的被揭示过程,解题思路的思考过程等,都是向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会.此时提高学习效果,往往会起到事半功倍的作用.如教“反函数”这一节内容时,学生思维往往容易出现“混乱”,搞不清为什么有的函数有反函数,有的函数没有反函数.这时需要教师积极引导学生的思维,让他们知道函数是一种特殊的映射,反函数作为一种函数,也必须符合函数的定义,从而推导出在定义域和值域间只有一一映射的函数才有反函数.不是一一映射,就没有反函数.
（五）坚持以人为本,构建和谐教学氛围
师生是以民主、宽松、和谐的关系为基础的,教师必须用尊重、平等的情感去感染学生,使课堂充满“爱”的气氛.只有在轻松愉快的情绪氛围下,学生才能对所学的知识产生浓厚的兴趣,当学生付出努力,获得好的学习成绩并得到赞扬后,就会得到心理满足,这种满足会促使他们产生进一步的学习动机,相反,如果学生学习成绩长期较差,缺少因学习成功而产生的精神上的有益刺激,得到的总是老师的批评、同学的嘲笑和家长的指责,学习必然没有兴趣,因此,对学习差的学生,在教学中必须以较低的起点来帮助他们获得较好的成绩,并及时鼓励,使之获得自信.
二、联系实际,灵活设置教学内容
由于中等职业学校的学生普遍基础差、底子薄、对自己没信心、学习没兴趣,而且有相当一部分学生对数学课有抵触情绪.为了重拾他们的学习信心,提高学习兴趣,首先必须要降低数学教材的难度,更新数学教学的内容.第二,各个专业应该立足所开的专业课特点,中职数学课应服从专业特色教学,不同类型的专业对数学课的课时及要求应有所不同.因此,数学教师应从提高素质和加强应用的角度选择教材的内容,满足专业岗位需求.为实行各专业数学区别化教学奠定基础.确定不同专业学生应该具备的数学内容,使数学教学能联系实际,突出专业个性.例如,模具班在上数学课时,在立体几何上可多安排一些时间,这样增强学生的立体感.不同的类型的专业,该部分内容不同.如机电专业,对立体几何、平面向量、解析几何有所侧重；而财会专业则对排列、组合、统计初步应用较多；计算机专业,对集合、数列、一元二次方程,计算方法等经常用到.
三、重视实践,转变考核评价方式应该说,现行的对学生评价与考试制度与全面推进素质教育的要求是不大相适应的,突出反映在：注重学习成绩,忽视学生全面发展和个体差异；关注结果而忽视过程.这种只依据学生的卷面成绩评价学生的单一评价办法不知使多少中职学生的学习积极性被打击,多少中职学生应有的希望被强行破灭.对中职学生的数学学习,甚至进步与成长都十分不利.因此,在课程评价上,我们必须转变考核方式,探索科学的评价办法,发现和发展学生的潜能.如此才能帮助学生树立自信心,促进学生积极主动地发展.例如有些学生综合实践能力很强,就是学习成绩不怎么样,假如就拿考试来衡量一个学生的好坏,那只会打消学生的积极性.

4. 高中数学数列的构造法是什么怎么使用最好有例题分析

数列构造法能解决很多数列难求的问题，但不是绝对好用。碰到无法构造的需要猜想，证明等方法。
例1： a1=1， an+1=2an + 3*（1/2）^(n+1)
看好，前后像等比，却又多了一项，且此时该等比数2和后面加的那个（1/2）不一样。这一点很重要，我们构造形式一致：
【an+1+p*（1/2）^(n+1)】=2【an + p*（1/2）^(n+1)】 看到一定要凑形式上的一致。 待定系数，反过来展开和原来式子作比对。对应系数，项都相等。
得p=1
【an+（1/2）^(n)】这个数列成等比数列，公比为2 ，看好 ，里面的n在变化，这是第n项，下一项是n+1 里面1/2的指数那里当然相应地也是n+1 ，这就是形式上严格一致。渗透了待定系数的思想原理。

例2： 已知正数数列列：nan -（n+1）a（n+1）=2n（n+1）an*an+1 ，求an，n∈N*
此题连同上面一道题都是我亲手现编的，可以看到比较复杂。
但是这道题目不难发现，两边n（n+1）存在重复情形，所以两边做除法，反正n∈N*，可以除。而且一样的是，an*a（n+1）和上面n（n+1）也是一样重复，又是正数列，除吧。
一做除法，欣然欢喜：1/(n+1)*a(n+1) - 1/n*an=2 原来1/n*an 是倒数成等差数列啊。
此题上来一个大式子很吓人，稍作变形，而且往倒数方向考虑，约去重复对称的项和式子。拨云见日。

5. 如何改进教学方法，提高中职数学教学质量

近年来，随着中职招生规模的不断扩大，加之中职生从中考中分流而来，入学成绩低，尤其是在数学这门学科中学习基础较差。中职数学的教学正面临着前所未有的困惑和挑战，如何优化中职数学的教学方法势在必行。笔者认为，中职数学的教学要适应新时期发展的要求，做到与时俱进，以服务专业为导向，要多注重教学方法的完善，最终达到期望的教学目标。
一 我国目前中职数学的教学质量现状分析
中职学生数学底子薄弱，缺乏一个良好的学习习惯。学生对于数学的认知存在一定的偏差，多数学生认为中职学校只要学好专业课就可以了，文化课则没必要学。当前，中职数学的理论性及逻辑性较强，数学教学的内容同专业课之间的联系不够紧密，是目前中职学校数学教学中存在的主要问题。这些方面都导致学生对数学学习兴趣的缺乏，对中职数学的教学质量造成了直接影响。
因此，中职数学教学应当改变传统的教学模式，结合专业课教学，采用新型教学手段及多元化评价方式，以激发学生的学习兴趣，达到提高中职数学的教学质量的目的。
二 改善教学方法以提高中职数学的教学质量分析
1.多媒体信息技术在中职数学教学中的应用探索
数学本身是具有抽象性、知识深度及广度都非常强的学科，中职数学更加体现数与形的高度结合统一。多媒体信息技术具有较强的直观性、可控制性、交互性、信息容量大、教学方式多样、灵活快速，正是符合了中职数学教学的各项要求，教学过程可以以点对点、多角度及方向、网状等方式进行。利用多媒体信息技术编制的数学教学课件可以很好地辅助教师完成教学目标，为教学计划的顺利实施提供了更加形象生动的表现方式。
“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”中职数学教学的特点是具有抽象的内容。在课堂教学中，可以利用多媒体计算机制作图文、声情并茂的教学课件，使中职数学教学抽象且复杂的学习活动瞬间变得直观简单。最大限度地激发了学生的学习兴趣，增强了学生学习的主动性及实际应用能力，便于学生更容易地理解与掌握数学教学内容。使多媒体信息技术完全贯穿于整个中职数学教学过程中，久而久之，教学效果收效较大。
2.中职数学的教学要与学生自身的专业特点相结合
中职数学教师要在保证教学基本知识的同时，结合学生自身各专业的特点，针对其专业对数学知识实际应用，按需取舍教学内容。本着“以够用为尺度，以实用为目的”的原则，让学生更多地了解数学在将来专业课当中的一些应用，使所学知识能更多地在专业课、实际生产和日常生活中找到相应的模型。积极鼓励学生运用数学知识解决专业及实际问题，这样既培养了学生的数学应用能力，又使学生有了成就感，觉得数学学有所用，从而提高了对数学的学习兴趣。
按照上述理念，以电子专业的数学教学为例，可以将中职数学的教学内容分为以下三部分：（1）基础部分：集合、函数与三角函数、直线与圆、数列、立体几何。这些是每个学生的必修内容，是各类专业与现代职业岗位对高素质劳动者的最基本要求。（2）专业部分：数的运算、指数、对数、三角函数的性质与应用、向量、复数、逻辑关系。这部分内容是电子专业学生所必备的数学知识，它们是工具，提供了学习专业技能的保障。（3）提高部分：圆、椭圆、双曲线、概率、统计、数学模型训练。这些内容可以作为学生的选修内容，以保证学生将来的继续学习、转岗和创业。教师可根据不同学生的基础、兴趣和自身素质指导学生学习；也可以有组织地成立数学课外小组，集体合作、讨论学习。在教学的过程中，可以将基础与专业知识穿插进行，按照每学期专业课用到的数学知识和用到的时间，以及各个知识点的逻辑关系来安排这些内容的教学顺序。
3.中职数学教学评价的调整实践
传统的学生学业评价总是以期中和期末考试来定局，为了使中职数学的教学更能体现自身的教学目标，笔者在校本教材的编写中增加了培养学生数学应用能力的内容，这就必须体现在考核中。为此，笔者将考试和教学结合起来，采用综合评定成绩的方法，其考核内容如下：
平时成绩占15%，包括课上回答问题和讨论、课堂检测及作业等成绩；实验成绩占25%，包括对学生的数学应用能力的考核，主要体现在数学建模方面；期末考试成绩占60%，包括考核学生平时的学习和对基本知识的理解与掌握情况。通过这种完善后的考试方式，能积极促进学生学习的主动性，把握好学生在整个学习过程中的每一个环节，杜绝了“考前搞突击，平时不努力”的不良学风，为学生日后的专业学习打下良好的基础。
三 结束语
如何提高中职数学的教学质量，优化教学方法，是中职数学教师永恒的研究课题和奋斗目标。中职数学教师要切实转变传统的教学观念和方法，在教学过程中理论联系实际，以学生为主体，设法激发学生的学习积极性，同时注重自身素质的提高，以情感人，使学生们不仅愿意学数学，而且更愿意学好数学。

6. 中职数学知识点有哪些

一、幂函数：

1、定义形如y=xα的函数叫幂函数，其中α为常数，在中学阶段只研究α为有理数的情形

二、指数函数和对数函数：

1、定义：指数函数，y=ax(a＞0，且a≠1)，注意与幂函数的区别。对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)。指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数．

2、指数函数：y=ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质。

三、指数方程和对数方程：

指数方程和对数方程属于超越方程，在中学阶段只要求会解一些简单的特殊类型指数方程和对数方程，基本思想是将它们化成代数方程来解。

四、数列的概念：

1、数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项）。在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作na。

五、函数的表示方法：

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种。

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系。

7. 数学：数列的解题方法

直译法
设元后，视元为已知数，根据题设条件，把数学语言直译为代数式，即可列出方程。
例1.（2004年山西省）甲、乙两个建筑队完成某项工程，若两队同时开工，12天就可以完成工程；乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天。问单独完成此项工程，乙队需要多少天？
解：设乙单独完成工程需x天，则甲单独完成工程需（x－10）天。根据题意，得

去分母，得x
2
-34x+120=0
解得x
1
=30,x
2
=4
经检验，x
1
,x
2
都是原方程的根，但当时x=30，x-10=20，当x=4时，x-10=-6，因时间不能为负数，所以只能取x=30。
答：乙队单独完成此项工程需要30天。
点评：设乙单独完成工程需x天后，视x为已知，则根据题意，原原本本的把语言直译成代数式，则方程很快列出。
列表法
设出未知数后，视元为已知数，然后综合已知条件，把握数量关系，分别填入表格中，则等量关系不难得出，进而列出方程（组）。
例2.（2004年海淀区）在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？
解：设此队胜x场，平y场
由列表与题中数量关系，得
解这个方程组，得
答：此队胜6场，平4场。
点评：通过列表格，将题目中的数量关系显露出来，使人明白，从胜、平、负的场数之和等于12，总得分22分是胜场、平场、负场得分之和。建立方程组，利用列表法求解使人易懂。

8. 做数列题的方法

公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。

类型一
归纳—猜想—证明
由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．

类型二
“逐差法”和“积商法”
(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．
(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．

类型三
构造法
递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．

类型四
可转化为类型三求通项
(1)“对数法”转化为类型三．
递推式为an+1=qan�k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为类型三．

(2)“倒数法”转化为类型三．
递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．
若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为类型三．
若b≠0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况．

类型五
递推式为an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈N)
可先将等式(n+k)an+1=qnan两边同乘以(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)，得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)… (n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)nan，令bn=(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)�6�1nan,则bn+1= (n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1．
从而bn+1=qbn，因此数列｛bn｝是公比为q，首项为b1=k(k-1)(k-2)…2�6�11�6�1a1=k!a1的等比数列，进而可求得an．

总之，由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂，不可能一一论及，但只要我们抓住递推数列的递推关系，分析结构特征，善于合理变形，就能找到解决问题的有效途径．

类型一�归纳—猜想—证明
由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．
�例1�设数列｛an｝是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)，则它的通项公式是an=______________．(2000年全国数学卷第15题)
解：将(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)分解因式得(an+1+an)〔(n+1)an+1-nan〕=0．
��由于an＞0，故(n+1)an+1=nan，即an+1=n/(n+1)an．
��因此a2=(1/2)a1=(1/2)，a3=(2/3)a2=(1/3),…．猜想an=(1/n),可由数学归纳法证明之，证明过程略．

类型二�“逐差法”和“积商法”
(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．
例2�已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),证明：an=(3n-1)/2．
(2003年全国数学卷文科第19题)
证明：由已知得an-an-1=3n-1，故
an=(an-an-1)+(an-1－an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3��n-2�+…+3+1=3n-1/2．
所以得证．
(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,a��n�/an-1�=f(n－1)�，�且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．
例3�(同例1)(2000年全国数学卷第15题)
另解：将(n+1)a2n+1-nan2＋an+1an=0(n�=1,2,3,…)化简，得(n+1)an+1=nan，即
an+1/an=n/(n+1)．�
故an=an/an-1�6�1an-1/an-2�6�1an-2/an-3�6�1…�6�1a2/a1�=n-1/n�6�1n-2/n-1�6�1n-3/n-2�6�1 … �6�11/2�=1/n．

类型三�构造法
递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．
例4�(同例2)(2003年全国数学卷文科第19题)
另解：由an=3n-1+an-1得3�6�1an/3n=an-1/3n-1+1．
令bn＝an/3n，则有
bn=1/3bn-1+1/3． (*)
设bn+x=1/3(bn-1+x)，则bn=1/3bn-1+1/3x-x，与(*)式比较，得x=-1/2，所以bn-1/2=1/3(bn-1-1 /2)．因此数列｛bn-1/2｝是首项为b1-1=a1/3=-1/6，公比为1/3的等比数列，所以bn-1/2=-1/6�6�1(1/3)n-1，即 an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1．故an=3n〔1/2-1/6(1/3)n-1〕=3n-1/2．
例5�数列｛an｝中，a1=1,an+1=4an+3n+1，求an．�
解：令an+1+(n+1)x+y=4(an+nx+y)，则
an+1=4an+3nx+3y-x,与已知an+1=4an+3n+1比较，得

3x=3， 所以
x=1,
3y-x=1， y=(2/3)．
故数列｛an+n+(2/3)｝是首项为a1+1+(2/3)=(8/3)，公比为4的等比数列，因此an+n+(2/3)=(8/3)�6�14n-1,即
an=(8/3)�6�14n-1-n-(2/3)．
另解：由已知可得当n≥2时，an=4an-1+3(n-1)+1，与已知关系式作差，有an+1-an=4(an-an-1)+3，即an+1- an+1=4(an-an-1+1)，因此数列｛an+1-an+1｝是首项为a2-a1+1=8-1+1=8，公比为4的等比数列，然后可用“逐差法” 求得其通项an=(8/3)�6�14n-1-n-(2/3)．

类型四�可转化为
类型三求通项
(1)“对数法”转化为
类型三．
递推式为an+1=qan�k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为
类型三．
例6�已知数列｛an｝中，a1=2,an+1=an2，求an．
解：由an+1=an2＞0，两边取对数得lgan+1=2lgan．令bn=lgan则bn+1=2bn．因此数列｛bn｝是首项为b1=lga1=lg2，公比为2的等比数列，故bn=2n-1lg2=lg22n-1，即an=22n-1．
(2)“倒数法”转化为
类型三．
递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．
若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为
类型三．
若b≠0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况．
例7�在数列｛an｝中，已知a1=2,an+1=(3an+1)/(an+3)，求通项an．
解：设an+1+x=y(an+x)/an+3，则an+1=(y-x)an+(y-3)x/an+3，结合已知递推式得

y-x=3, 所以
x=1,
y-3=1， y=4，
则有an+1+1=4(an+1)/an+3，令bn=an+1，则bn+1=4bn/bn+2，求倒数得1/bn+1=1/2�6�11/bn+1/4，即1/bn+1-1/2=1/2(1/bn-1/2)．
因此数列｛1/bn-1/2｝是首项为1/b1-1/2=1/a1+1-1/2=-1/6，公比为1/2的等比数列．
故1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1，从而可求得an． 求数列的前n项和是高中数学《数列》一章的教学重点之一，而对于一些非等差数列，又非等比数列的某些数列求和，是教材的难点。不过，只要认真去探求这些数列的特点。和结构，也并非无规律可循。
典型示例：
1、 用通项公式法：
规律：能用通项公式写出数列各项，从而将其和重新组合为可求数列和。
例1：求5，55，555，…，的前n项和。
解：∵an= 5 9(10n-1)
∴Sn = 5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + … + 5 9(10n-1)
= 5 9[（10+102+103+…+10n）-n]
= （10n＋1-9n-10）
2、 错位相减法：
一般地形如{an�6�1bn}的数列，{ an }为等差数列， { bn }为等比数列，均可用错位相减法求和。
例2：求：Sn=1+5x+9x2+�6�1�6�1�6�1�6�1+(4n-3)xn-1
解：Sn=1+5x+9x2+�6�1�6�1�6�1�6�1+(4n-3)xn-1 ①
①两边同乘以x，得
x Sn=x+5 x2+9x3+�6�1�6�1�6�1�6�1+(4n-3)xn ②
①-②得，（1-x）Sn=1+4（x+ x2+x3+�6�1�6�1�6�1�6�1+ ）-（4n-3）xn
当x=1时，Sn=1+5+9+�6�1�6�1�6�1�6�1+（4n-3）=2n2-n
当x≠1时，Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）xn ]
3、 裂项抵消法：
这一类数列的特征是：数列各项是等差数列某相邻两项或几项的积，
一般地，{an}是公差为d的等差数列，则：

即裂项抵消法， 多用于分母为等差数列的某相邻k项之积，而分子为常量的分式型数列的求和，对裂项抵消法求和，其裂项可采用待定系数法确定。
例3：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。
解：
4、 分组法：
某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，从而可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列之和。
例4：求数列 的前n项和。
解：
5、 聚合法：
有的数列表示形式较复杂，每一项是若干个数的和，这时常采用聚合法，
先对其第n项求和，然后将通项化简，从而改变原数列的形式，有利于找出解题办法。
例5：求数列2，2+4，2+4+6，2+4+6+8，…，2+4+6+…+2n，…的前n项和
解：∵an=2+4+6+…+2n= n(n+1)=n2+n
∴Sn=(12+1)+(22+2)+(32+3) +……+( n2+n)
=（12+22+32+…+ n2）+（+2+3+…+n）
= n（n+1）（2n+1）+ n(n+1)
= 1 3n（n+1）（n+2）
6、 反序相加法：
等差数列前n项和公式的推导，是先将和式中各项反序编排得出另一个和式，然后再与原来的和式对应相加，从而解得等差数列的前n项和公式，利用这种方法也可以求出某些数列的前n项和。
例6：已知lg(xy)=a，求S，其中
S=

解: 将和式S中各项反序排列，得

将此和式与原和式两边对应相加，得
2S= + + �6�1 �6�1 �6�1 +
(n+1)项
=n(n+1)lg(xy)
∵ lg(xy)=a ∴ S= n(n+1)a
以上一个6种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。