多尺度计算方法

① 求数值计算方法 第三版 李有法 朱建新 课后答案

数值计算方法如下：

1、有限元法：有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式。

借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数 形式，便构成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元 上的近似解构成。

根据所采用的权函数和插值函数的不同 ，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。

2、多重网格方法：多重网格方法通过在疏密不同的网格层上进行迭代,以平滑不同频率的误差分量。具有收敛速度快,精度高等优点。

多重网格法基本原理微分方程的误差分量可以分为两大类，一类是频率变化较缓慢的低频分量；另一类是频率高，摆动快的高频分量。

一般的迭代方法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显着。高频分量和低频分量是相对的，与网格尺度有关，在细网格上被视为低频的分量，在粗网格上可能为高频分量。

多重网格方法作为一种快速计算方法，迭代求解由偏微分方程组离散以后组成的代数方程组，其基本原理在于一定的网格最容易消除波长与网格步长相对应的误差分量。

该方法采用不同尺度的网格，不同疏密的网格消除不同波长的误差分量，首先在细网格上采用迭代法，当收敛速度变缓慢时暗示误差已经光滑，则转移到较粗的网格上消除与该层网格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进行下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细网格上。

3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：

一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

4、有限体积法：有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。

为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。

有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒原理一样。

限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒。

而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。

有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值 ，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。

在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。

5、近似求解的误差估计方法：近似求解的误差估计方法共有三大类:单元余量法,通量投射法及外推法。

单元余量法广泛地用于以FEM离散的误差估计之中,它主要是估计精确算子的余量,而不是整套控制方程的全局误差。

这样就必须假定周围的单元误差并不相互耦合,误差计算采用逐节点算法进行。单元余量法的各种不同做法主要来自对单元误差方程的边界条件的不同处理办法。基于此,该方法能够有效处理局部的残余量,并能成功地用于网格优化程序。

通量投射法的基本原理来自一个很简单的事实:精确求解偏微分方程不可能有不连续的微分,而近似求解却可以存在微分的不连续,这样产生的误差即来自微分本身,即误差为系统的光滑求解与不光滑求解之差。该方法与单元余量法一样,对节点误差采用能量范数,故也能成功地用于网格优化程序。

单元余量法及通量投射法都局限于局部的误差计算(采用能量范数),误差方程的全局特性没有考虑。另外计算的可行性(指误差估计方程的计算时间应小于近似求解计算时间)不能在这两种方法中体现,因为获得的误差方程数量,阶数与流场控制方程相同。

外推是指采用后向数值误差估计思想由精确解推出近似解的误差值。各类文献中较多地采用Richardson外推方法来估计截断误差。无论是低阶还是高阶格式,随着网格的加密数值计算结果都会趋近于准确解。但由于计算机内存与计算时间的限制,实际上不能采用这种网格无限加密的办法。

6、多尺度计算方法：近年来发展的多尺度计算方法包括均匀化方法、非均匀化多尺度方法、以及小波数值均匀化方法、多尺度有限体积法、多尺度有限元法等。

该方法通过对单胞问题的求解，把细观尺度的信息映射到宏观尺度上，从而推导出宏观尺度上的均匀化等式，即可在宏观尺度上求解原问题。均匀化方法在很多科学和工程应用中取得了巨大成功，但这种方法建立在系数细观结构周期性假设的基础上，因此应用范围受到了很大限制。

鄂维南等提出的非均匀化多尺度方法，是构造多尺度计算方法的一般框架。该方法有两个重要的组成部分：基于宏观变量的整体宏观格式和由微观模型来估计缺少的宏观数据，多尺度问题的解通过这两部分共同得到。

该方法基于多分辨分析，在细尺度上建立原方程的离散算子，然后对离散算子进行小波变换，得到了大尺度上的数值均匀化算子。此方法在大尺度上解方程，大大地减小了计算时间。

该法在宏观尺度上进行网格剖分，然后通过在每个单元里求解细观尺度的方程(构造线性或者振荡的边界条件)来获得基函数。从而把细观尺度的信息反应到有限元法的基函数里，使宏观尺度的解包含了细观尺度的信息。但多尺度有限元方法在构造基函数时需要较大的计算量。

借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数 形式，便构成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元 上的近似解构成。

根据所采用的权函数和插值函数的不同 ，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。

2、多重网格方法：多重网格方法通过在疏密不同的网格层上进行迭代,以平滑不同频率的误差分量。具有收敛速度快,精度高等优点。

多重网格法基本原理微分方程的误差分量可以分为两大类，一类是频率变化较缓慢的低频分量；另一类是频率高，摆动快的高频分量。

一般的迭代方法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显着。高频分量和低频分量是相对的，与网格尺度有关，在细网格上被视为低频的分量，在粗网格上可能为高频分量。

多重网格方法作为一种快速计算方法，迭代求解由偏微分方程组离散以后组成的代数方程组，其基本原理在于一定的网格最容易消除波长与网格步长相对应的误差分量。

该方法采用不同尺度的网格，不同疏密的网格消除不同波长的误差分量，首先在细网格上采用迭代法，当收敛速度变缓慢时暗示误差已经光滑，则转移到较粗的网格上消除与该层网格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进行下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细网格上。

3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：

一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

4、有限体积法：有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。

为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。

有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒原理一样。

限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒。

而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。

有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值 ，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。

在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。

5、近似求解的误差估计方法：近似求解的误差估计方法共有三大类:单元余量法,通量投射法及外推法。

单元余量法广泛地用于以FEM离散的误差估计之中,它主要是估计精确算子的余量,而不是整套控制方程的全局误差。

这样就必须假定周围的单元误差并不相互耦合,误差计算采用逐节点算法进行。单元余量法的各种不同做法主要来自对单元误差方程的边界条件的不同处理办法。基于此,该方法能够有效处理局部的残余量,并能成功地用于网格优化程序。

通量投射法的基本原理来自一个很简单的事实:精确求解偏微分方程不可能有不连续的微分,而近似求解却可以存在微分的不连续,这样产生的误差即来自微分本身,即误差为系统的光滑求解与不光滑求解之差。该方法与单元余量法一样,对节点误差采用能量范数,故也能成功地用于网格优化程序。

单元余量法及通量投射法都局限于局部的误差计算(采用能量范数),误差方程的全局特性没有考虑。另外计算的可行性(指误差估计方程的计算时间应小于近似求解计算时间)不能在这两种方法中体现,因为获得的误差方程数量,阶数与流场控制方程相同。

外推是指采用后向数值误差估计思想由精确解推出近似解的误差值。各类文献中较多地采用Richardson外推方法来估计截断误差。无论是低阶还是高阶格式,随着网格的加密数值计算结果都会趋近于准确解。但由于计算机内存与计算时间的限制,实际上不能采用这种网格无限加密的办法。

6、多尺度计算方法：近年来发展的多尺度计算方法包括均匀化方法、非均匀化多尺度方法、以及小波数值均匀化方法、多尺度有限体积法、多尺度有限元法等。

该方法通过对单胞问题的求解，把细观尺度的信息映射到宏观尺度上，从而推导出宏观尺度上的均匀化等式，即可在宏观尺度上求解原问题。均匀化方法在很多科学和工程应用中取得了巨大成功，但这种方法建立在系数细观结构周期性假设的基础上，因此应用范围受到了很大限制。

鄂维南等提出的非均匀化多尺度方法，是构造多尺度计算方法的一般框架。该方法有两个重要的组成部分：基于宏观变量的整体宏观格式和由微观模型来估计缺少的宏观数据，多尺度问题的解通过这两部分共同得到。

该方法基于多分辨分析，在细尺度上建立原方程的离散算子，然后对离散算子进行小波变换，得到了大尺度上的数值均匀化算子。此方法在大尺度上解方程，大大地减小了计算时间。

该法在宏观尺度上进行网格剖分，然后通过在每个单元里求解细观尺度的方程(构造线性或者振荡的边界条件)来获得基函数。从而把细观尺度的信息反应到有限元法的基函数里，使宏观尺度的解包含了细观尺度的信息。但多尺度有限元方法在构造基函数时需要较大的计算量。

② 什么是多尺度问题

多尺度问题指的是所研究的问题涉及到多个数量级。譬如目标检测中我们希望能够检测出很小的物体和很大的物体，这就涉及到两种不同数量的几何尺度。但受到技术限制，大部分研究都是在单一尺度下进行。
以上是个人理解。

③ 基于多尺度视觉特征的钓鱼检测最高准确率

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④ 多尺度分割

与传统的基于像元的分类方法不同，面向对象的遥感影像分类方法处理的基本单元是影像对象，而不是单个的像元。其采用一种基于遥感影像的多尺度分割方法，可以生成任意尺度的、属性信息相似的影像多边形 ( 对象) ，运用模糊数学方法获得每个对象的属性信息，以影像对象为信息提取的基本单元，实现分类和信息提取。面向对象的遥感影像分类有两个独立的模块: 对象生成 ( 影像分割) 与信息提取 ( 影像分类) ( Blaschket et al. ，2000; Metzler et al. ，2002) 。对象生成即采用多尺度分割技术生成同质对象，其是进行分类识别和信息提取的必要前提。信息提取是基于模糊逻辑分类的思想，建立特征属性的判别规则体系，计算出每个对象属于某一类别的概率，达到分类识别和信息提取的目的。

地表信息在不同的尺度 ( 时间或空间跨度) 上有着不同的表现，例如从图 5 －1 中分辨出的就是两个圆形的物体，当把观察距离拉远时，我们看到了图5 －2，这时我们根据其与相邻物体之间的关系能立刻分辨出左边的圆形物体是盘子，右边的圆形物体是车轮。这是空间尺度上的一个简单例子。时间尺度就更加简单，例如一片耕地，在夏季的时候是绿色的，到了秋季变成黄色的。上述的例子说明，当我们要正确识别目标地物的时候，必须要选择一个合适的尺度，达到最佳的分辨效果。传统的基于像元的信息提取方法均是在同一个尺度上进行，该尺度即影像的空间分辨率，由于它无法兼顾地物的宏观和微观特征，导致在影像信息十分丰富的时候 ( 高分辨率影像) ，往往达不到很好的提取效果，出现许多破碎的区域，这也就是常说的高分辨率影像分类的 “胡椒盐效应”。针对这一问题，面向对象的分类方法引进了多尺度分割的概念。

图 5 －1 两个圆形物体

图 5 －2 盘子和车轮

( 一) 多尺度分割的概念

多尺度分割是指在影像信息损失最小的前提下，以任意尺度生成异质性最小、同质性最大的有意义影像多边形对象的过程，其是一种影像抽象 ( 压缩) 的手段，即把高分辨率像元的信息保留到低分辨率的对象上，不同的地物类型可以在相应尺度的对象上得到反映( 黄慧萍，2003) 。影像的多尺度分割从任意一个像元开始，采用自下而上的区域合并方法形成对象。小的对象可以经过若干步骤合并成大的对象，每一对象大小的调整都必须确保合并后对象的异质性小于给定的阈值 ( 王岩等，2009) 。因此，多尺度分割可以理解为一个局部优化过程，而对象的同质性标准则是由对象的颜色 ( color) 因子和形状 ( shape)因子确定，分别代表了影像分割时 “颜色”和 “形状”各自所占的权重，两者之和为 1。而 “形状因子”又由光滑度 ( smoothness) 和紧致度 ( compactness) 两部分组成，两者权重之和为 1，这四个参数共同决定分割效果 ( 图 5 －3) 。

图 5 －3 多尺度分割的参数构成

( 二) 多尺度分割参数的选择

同质性标准包括光谱 ( 颜色) 和形状两个因子，其中形状因子又包括光滑度和紧致度。大多数情况下，颜色因子对生成对象最重要，形状因子有效控制着影像对象的破碎程度，可以避免 “同物异谱”和 “同谱异物”现象与 “胡椒盐效应”，以此提高分类精度( 田新光，2007) 。传统的基于像元的方法不考虑形状因子，而将光谱因子设置为 1，即完全依靠像元的光谱值进行信息提取。光滑度是通过边界平滑来优化影像对象的，其描述的是对象边界与一个正方形的相似度; 紧致度是通过聚集度来优化影像对象的，其作用是利用较小的差别把紧凑和不紧凑的目标对象区分开。光滑度和紧致度两个形状因子相互作用、相互影响，但并不完全对立，即通过光滑度优化的对象也可能会有好的紧致度，反之，通过紧致度优化过的对象也可能会有光滑的边界。

在参数设置时，首先应当明确光谱信息的重要性，应充分利用光谱 ( 颜色) 信息，形状因子权重太高会导致对象同质性的破坏，出现一个对象包含若干地类的情况，不利于信息提取。因此，在进行多尺度分割时要遵循两条基本原则: ① 尽可能使用较大的颜色因子; ② 如果遇到边界不很光滑但是聚集度较高的影像对象，可尝试使用较大的形状因子来加以控制。

( 三) 分割尺度的选择

多尺度分割的一个突出贡献是同一空间分辨率的遥感影像信息不再只由一种尺度来表示，而是在同一遥感影像中可以由多种适宜的尺度来描述 ( 黄慧萍，2003) 。多尺度分割不仅生成了有意义的影像对象，并且将原分辨率的影像信息扩展到不同尺度上，实现了信息的多尺度表达与描述。多尺度分割表示在影像分割过程中采用不同的分割尺度值，所生成的对象大小取决于分割前确定的分割尺度值，其值越大，所生成对象的多边形面积就越大而数目越少，反之多边形面积越小，数目越多。因此，影像分割时尺度的选择很重要，其直接决定了分类和信息提取的精度。

最优尺度的确定一直是面向对象分类方法的一个研究重点，但是最优尺度是相对的，是相对于某一特定目标或要求的，某一特定变量的最优分割尺度值不一定适用于其他变量，所以最优尺度只能是一个数值范围。但是分割尺度的选择应当遵守以下规则: 对于某一特定地物类别，最适合的尺度是指分割后的对象边界清晰，能用一个或者多个对象来表达这种地物类别，既不能太破碎也不能出现混合类别对象，单个对象能够很好地表达这种地物类别特有的属性特征，使其能很好地与其他地物类别区分开来 ( 黄慧萍，2003) 。一般来看，分割尺度越小，产生的对象就越 “纯”，不同地物类别被划分到单个对象的概率就越小，这样信息提取的精度就越高; 但是分割尺度越小会导致同一地物类别对象之间差异性增加，不同地物类别对象之间的异质性反而降低，并不利于分类和识别，而且分割对象数目过多，过于破碎，反而增加了计算机的运算量，降低了提取的精度，并不可取，所以，必须在分割尺度和分类精度之间寻找到平衡点。

( 四) 多尺度分割的网络层次关系

不同的分割尺度生成相应的对象层，从而构建影像对象之间的层次等级网络，它以不同的空间尺度表达了影像所包含的信息，每一个对象都有它的邻域 ( 左右) 对象、上层父对象和下层子对象 ( 图 5 －4) 。对象网络层次结构按照从大到小、从上到下的方式安排:原始层 ( 像元层) 放在最底层，尺度最大的放在最高层。分割尺度较小的层中包含的对象数量较多，每个对象包含的像元数较少; 而分割尺度较大的层中，单个对象包含的像元数目比较多，而包含的对象数量比较少。在这个对象网络层次结构中，每一个对象都包含了邻域对象、下层子对象和上层父对象之间复杂的属性关系，在处理这些关系的时候，上、下层次对象间的关系显得尤为重要，因为通常可以根据父对象的属性确定子对象类别、根据子对象的平均属性对父对象的纹理属性进行分类以及根据已确定类别的子对象组成对父对象进行分类等。此外，相邻对象也十分重要，因为如果有些对象的光谱、纹理和形状信息都十分相似，若以它们的对象作为分类判定的一个标准，则信息提取就容易得多。

图 5 －4 多尺度分割的网络层次结构图

( 五) 基于异质性最小原则的区域合并算法

多尺度分割采用的是基于异质性最小原则的区域合并算法，其基本思想是把具有相同或相似性质的相邻像元集合起来组成区域多边形 ( 对象) 。首先在每个需要分割的区域中找一个种子像元作为生长起点，然后将种子像元邻域中与种子像元有相同或相似性质的像元合并到种子像元所在的区域中，将这些新的像元当作新的种子像元继续进行上面的过程，直到再没有满足条件的像元，由此生成一个区域 ( 对象) ( 章毓晋，2000) 。区域合并算法的目的是实现分割后影像对象的权重异质性最小，如果仅考虑光谱异质性最小会导致分割后的对象边界比较破碎，因此，需要把光谱异质性的标准和空间异质性的标准配合使用。在分割前，需要首先确定影响异质性大小的光谱因子和形状因子，因为只有同时满足光谱异质性、光滑度异质性和紧致度异质性最小，才能使整幅影像中所有对象的平均异质性最小 ( 戴昌达等，2004) 。

( 六) 模糊分类方法

面向对象的遥感影像分类方法采用的是基于模糊逻辑分类系统的模糊数学分析方法。模糊理论是由美国加州伯克莱分校 Zadeh 教授于 1965 年提出的，主要用来处理模糊不清、不严密和不明确的问题。模糊性是客观世界存在的普遍现象 ( 陈文凯，2007) ，遥感影像中的模糊性主要表现在一个对象 ( 像元) 内可能出现多个地物类别在这种情况下如何确定其归属。

模糊分类系统一般由模糊化、模糊推理和去模糊三个部分组成。模糊化就是把特征值向模糊值转化的过程，实质上是一个特征标准化的过程，成员函数是一个模糊表达式，能把任意特征值范围转换为 ［0，1］ 这个统一的范围。模糊推理是指对模糊集合建立相关的模糊判断规则并进行最终推理。去模糊实际上是通过模糊推理以及综合评价方法最终确定结果的过程。

遥感影像经过分割后得到的对象不再是硬性地属于某个特定的地物类别，而是在不同程度上与该类别相关，它们之间的关系不再是 “是”与 “非”的硬性关系，而是不确定的。模糊分类方法是一种量化不确定状态的数学分析方法。采用模糊分类方法有以下三点优势:① 特征值向模糊值转化，这实际上是一个特征标准化的过程; ② 允许特征之间的相互组合，甚至是范围和大小迥异的特征也可以组合起来作为分类的规则; ③ 提供了灵活的、可调整的特征描述，通过模糊运算和层次分析，能够进行复杂的分类和信息提取 ( 张永生等，2004) 。

本研究面向对象的地物分类方法技术流程如图 5 －5 所示。

图 5 －5 面向对象的地物分类方法技术流程图

⑤ hog多尺度检测和单尺度检测有什么区别

1. hog描述子在opencv中为HOGDescriptor。

2. 2. 可以调用该描述子setSVMDetector方法给用于对hog特征进行分类的svm模型的系数赋值，这里的参数为HOGDescriptor::getDefaultPeopleDetector()时表示采用系统默认的参数，因为这些参数是用很多图片训练而来的。

3. 3. 对输入图片进行行人检测时由于图片的大小不一样，所以要用到多尺度检测。这里是用hog类的方法detectMultiScale。参数解释如下：

4. HOGDescriptor::detectMultiScale(const GpuMat img, vector<Rect> found_locations, doublehit_threshold=0, Size win_stride=Size(), Size padding=Size(), double scale0=1.05, int group_threshold=2)

5. 该函数表示对输入的图片img进行多尺度行人检测 img为输入待检测的图片；found_locations为检测到目标区域列表；参数3为程序内部计算为行人目标的阈值，也就是检测到的特征到SVM分类超平面的距离;参数4为滑动窗口每次移动的距离。它必须是块移动的整数倍；参数5为图像扩充的大小；参数6为比例系数，即滑动窗口每次增加的比例；参数7为组阈值，即校正系数，当一个目标被多个窗口检测出来时，该参数此时就起了调节作用，为0时表示不起调节作用。

6. 4. 最后对检测出来的目标矩形框，要采用一些方法处理，比如说2个目标框嵌套着，则选择最外面的那个框。

7. 5. 因为hog检测出的矩形框比实际人体框要稍微大些,所以需要对这些矩形框大小尺寸做一些调整。
   

⑥ 函数的多尺度逼近

函数（模拟信号）f（t）∈L²（R）可以用一系列具有不同尺度j的函数序列｛f^j（t）｝来逼近，这种方法称为函数的多尺度逼近。特别在图像处理方面，在不同尺度上分析图像并将其结果进行比较，是一种流行的方法。在实践中，常给定等距采样间隔T作为基本单位，对应j尺度的采样间隔为 T^j=T/2^j，j∈Z。在固定的 j 尺度，分划的节点为｛t_j，k｝，采样值为｛f（t_j，k）｝，基函数为｛φ_j，k（t）｝。特别是，基函数可以选择为同一个函数φ（t），然后经平移伸缩形成函数系，如φ_j，k（t）=φ（2^jt-k），这样可作出在j尺度下的近似函数f^j（t），即

地球物理信息处理基础

因此只要计算出｛c_j，k｝，就能得出f^j（t）。在j尺度下，若φ_j，k（t）是内插型基函数，即φ_j，k（t）｜_tj，m=δ_k，m，如δ 脉冲串函数、矩形函数或线性样条函数等，则系数｛c_j，k｝正好就是样本值｛f（t_j，k）｝，此时，式（6-50）中 f^j（t）➝f（t）是容易实现的。若采用非内插型基函数，而｛c_j，k｝仍采用样本值｛f（t_j，k）｝，那么，据式（6-50）的线性组合形式虽然可以在一定程度上近似f（t），但T^j➝0时，近似函数f^j（t）是不能逼近目标函数f（t）的。图6-9和图6-10给出用矩形函数和线性样条函数作基函数时，分别用阶梯函数和折线函数近似f^j（t）的示意图。

⑦ 如何从数学上描述一个多尺度问题

解决问题的教学内涵丰富，如何让学生喜欢它，这是我们当前所面临的问题。如何上好小学数学解决问题教学的几点体会
《基础教育课程改革纲要》中指出：改变课程实施中过于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力。《课程标准》明确指出：“学生是学习的主人。”前苏联教育家苏霍姆林斯基也曾说过：“人的心灵深处，总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者的固有需要，这种需要在小学生精神世界尤为重要。”长期束缚在教师、教材、课堂圈子里，不敢越雷池半步的学生，在今天更需要我们极力改变学习方式，而探究即为自主学习的方式。因此，要讲究自主探究的学习策略，使之成为发现者、研究者、探索者，从而把他们心灵深处被压抑的个性释放出来。数学解决问题教学更能充分发挥学生自主探究学习的能动性。
一、引导发现、感悟，注重自主探究的尝试性
发现是探究的开始。由于好奇是少年儿童的心理特点，它往往可促使学生作进一步深入细致的观察、思考和探索，从而提出探究性的问题。让学生提出问题，自主合作探究，不仅仅是一个方式方法问题，而是一种教育观念的问题，是一种教学质量观的问题，是学生观的反映。如果我们能营造一个积极宽松和谐的课堂教学氛围，让学生成为“问”的主体，成为一个“信息源”，那么，学生学习的积极性和主动性将被大大激发。因为学生提问题总是以自身积极思考为前提的。正因为这样，我们说教师与其“给”学生10个问题，不如让学生自己去发现，去“产生”一个问题。
两步计算的解决问题教学时，我将例题巧作变动，大大激发了学生探究的欲望。
师：大家想不想来做一个猜数游戏啊？
生：想！
师：我这儿有三个不同颜色的盒子（分别出示红、白、黑三个盒子），盒子里分别装了一些硬币。现在，我请你猜一猜，红盒子里装了多少个硬币？
生：（七嘴八舌乱猜）
师：大家都没有猜对。在你没有得到相关的信息之前，你能一下子准确地猜出红盒子里装了多少个硬币吗？
生：不能。
师：那我给你一个信息：黑盒子里有15个硬币。依靠这个信息，你能准确猜出红盒子里的硬币个数吗？为什么？
生：不能。红盒子里硬币的个数与黑盒子无关。
师：我再给你一个信息：白盒子里有10个硬币。现在，你能不能猜出红盒子里硬币的个数？为什么？
生：还是不能。因为红盒子里的个数与白盒子的个数无关。
师：知道了这两个信息，你还想知道什么方面的信息就能猜出红盒子里硬币的个数了？把你的想法和小组里的成员交流一下。
学生通过交流，归纳出如果再知道一个能把红盒子与白盒子和黑盒子里的个数联系起来的信息，就能猜出红盒子里硬币的个数。学生举例：红盒子里的硬币个数比黑（白）盒子多（少）多少个；红盒子里的硬币个数是黑（白）盒子的多少倍；红盒子里的硬币个数比黑盒子和白盒子的总数多（少）多少个；红盒子里的硬币个数是黑盒子和白盒子的总数的多少倍等等。这时，引导比较学生自己提出的问题，可以发现有的只需一步计算，有的却需两步计算。让学生说说为什么要两步计算。在提出问题、比较问题的过程中，学生不仅强化了两步解决问题的结构，而且对解决问题教学中数量关系的选择有了初步的定位。教师最后出示相关信息，学生终于顺利猜出红盒子里的硬币个数。
只有学生自己主动提出问题，主体作用才能得以真正的发挥，才能体现自主探究发现。因此，教师要随时注意挖掘教材中隐藏的“发现”因素，创设一种使学生主动发现问题、提出问题的情境，启发学生自己发现问题、探索知识，使教学过程围绕学生在学习中产生的问题而。教师必须积极创设问题情境，引导学生提出与学习过程有密切关系的问题，使所提出的问题提到点子上，才能促进自主合作探究，达到学会学习之目的。
二、鼓励参与合作，追求自主探究的互动性
1、创设情景，激发兴趣，提供主动探究的空间。
教学时不要把学生死死地捆在教科书上，让学生死记那些他们认为很枯燥的东西。教师要根据学生的数学学习心理规律尽可能选他们乐于接受的，有价值的数学内容为题材编出问题。如给数学找到生活中的原型，让学生体验到“学数学”不是在“记数学、背数学、练数学、考数学”，而是在 “用数学”。
人教版九年义务教育六年制第九册教材第45页，应用题例1是这样的：
一个服装厂计划做660套衣服，已经做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，平均每天要做多少套？
这种类型的解决问题枯燥得很，离学生比较远，学生肯定没有兴趣。没有了兴趣不能产生探究的兴趣。我对此题做了如下改动：
（1）课件展示情境或组织学生进行对话表演。
客户：周厂长，！我们订做的660套衣服，生产得怎么样了？
厂长：已经做了5天，平均每天做75套。
客户：我们等着要货，你们3天之内能完成了吗？
厂长：能。
（2）师：同学们！你们根据厂长、客户提供的信息想到什么数学问题？
教师根据学生的回答，整理出以上出示的例1。
（3）师：你们会解答吗？如果不会，可以小组讨论。
生：略
这种方式较好地体现了“数学问题生活化”和“自主学习、探索创新”两大方面，将学习活动置于社会生活问题之中，巧妙地把要解决的问题变为对话展现给学生。让学生主动积极地获取知识，将感性的实际活动与学生的内心感受体验结合起来。这样的数学，学生不仅学得好，而且也为他们以后到社会上去成为各行各业的成功者打好基础。
2、给学生自由选择的权利，提供主动探究空间。
每个学生都有自己独特的内心世界、精神世界和内心感受，有着不同于他人的观察、思考、解决问题的方式。现代教育越来越重视每个学生潜能的开发和个性的发展。由于学生的认知水平和认知习惯的不同，常常会想出不同的计算方法，这正是学生具有不同独特性的体现。因此在教学过程中，教师要鼓励学生灵活运用知识，尝试各种算法的多样化。
无论学生用哪种方法解决这个问题，都应该给予肯定，不能强求学生使用统一的方法解决同样的问题，在学生独立思考解决这个问题的基础上，进行小组内的交流，每个学生都发表自己的观点，倾听同伴的解决方法，使每个学生感受到解决方法的灵活性、多样化。这样的教学有利于培养学生独立思考的能力，有利于学生进行学习交流。使每个学生都有获得成功的愉悦，而且还能使不同的人学到不同的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
3、建立合作小组，提供主动参与的合作伙伴。
课前先建立合作小组，将不同学习能力、学习态度、学习兴趣、性别、个性的学生分配在同一组内，组成4人或6人的小组，再给组内成员一个特殊的身份，一项特殊的职责。如“主持人”（掌管小组讨论的全局，分配发言机会，协调小组学习的进程，观察组内同学合作技巧的表现，如讨论时的声音控制、提问和应答时的礼貌）等，最后要求每一组设计组名、组标，促使合作学习小组形成“组内互助合作，组间竞争夺标”的氛围。
解决问题具有抽象性，有时学生不能很好地理解题意，造成解题障碍。在这种情况下，教师应重视问题解决的过程，让学生理解题意，从而轻松掌握解题方法。
4、选择专题，分工合作，加强主动探究能力。
在有限的课堂时间里，可紧扣教材，选择重点、难点、疑点作为专题，运用研究性学习，分工合作，提高学生的主动性、研究性和发现的能力。为了减少学生研究探索学习的梯度，课堂上利用教材特点进行专题研究是必不可少的，可在课外探究学习中面对更多的是如何搜集处理信息怎样与人合作。为此要引导学生遇到困难时能主动寻求帮助，要热情地帮助他人排忧解难。若自己拥有材料正是别人急需的，能成全他人的计划，使自己在学会探究的同时，更学会做人。
三、激活求异思维，培养自主探究的独创性
通过不同的途径，从不同的角度，用不同的方法解决问题，这样不仅活跃了学生的思维，开阔了思路，同时也促进学生养成善于求异的习惯，对于培养学生的创新能力有着决定性的作用。在教师的教学中，通过表达方式的变异，理解角度的变更，思考方法的变迁，题型设计的变化等来提供多形态的知识信息，创造多样化的思维环境，接通多方位的解题思路，从而促进内容的深化，理解的深入，提高学生思维的变通性和广阔性。人们在理解知识的过程中，习惯运用某种思维方式，便会产生定势心理。教师在教学中要不失时机地创设思维情境，千方百计地为学生提供创新素材和空间。用“教”的创新火种点燃“学”的创新火，才能有成效地培养学生自主探究的独创性。
比如针对五年级的学生，在学习了三步计算的应用题后，我设计了一道与学生生活比较接近的开放题，以此来激活学生的变通思维：
学校组织师生看电影。学生950人，教师27人。影剧院售票处写着：
今日放映
《宇宙与人》
成人票： 每张8元
学生票： 每张4元
团体票： 每张6元
（30人或30人以上可购买团体票）
请设计一种你认为最省钱的购票方案，并算出购票一共需要多少钱？
题目一出示，学生就颇有兴趣，积极开动脑筋，力求找到最佳方案。
以下是 学生不同的解题方法：
方法1：827+4950=4016（元）
方法2：（27+950）6=5862（元）
方法3：从学生人数中拿出3人，和教师组成一个团体。
306+9474=3968（元）
……
针对这样的问题，不同层次的学生有不同的解法，每位学生在这样的问题情境中都得到了充分地发挥。通过练习，培养了学生主动应用数学知识的能力
四、设计开放作业，强化自主探究实践性
数学教学是一个开放的系统，生活中处处有数学，也处处用数学。皮亚杰认为“儿童如果不具有自己的真实活动，教育就不可能成功。”如何设计开放的作业，让学生在自主探究的实践中有所收获呢？首先要尊重学生择业的要求，其次要开放作业的形式与内容。
1、迁移例题解法。
如讲授了植树问题后，可建议学生去步行街上走一走，数一数步行街上有多少个垃圾桶，目测一下每两个垃圾桶之间的距离大约是多少米，再算一算从起始的垃圾桶到最后一个垃圾桶之间的总长度约是多少米？
2、结合生活热点。
国庆、元旦等节日期间，许多商店推出打折的促销手段，可以在家长的带领下，去商店购物，看看商品的原价是多少，打几折，打折以后的价钱是多少，比原价便宜多少？记录下你的考察结果。返校后可组织讨论：商店利用打折的手段促销商品，它是赚多了，还是赚少了？会不会亏本？让学生真切的感受到数学就在我们的身边。
3、加强专题实践。
学习了长方形和正方形面积的计算以后，就可以跟爸爸妈妈一起给家设计一些装修方案。比如：量一量房间的长和宽，算一算房间的面积大约是多少平方米。如果购买地板的话，根据家庭的经济实力，再去市场了解地板的价格，选择合适的价位，进行购买，大约需要支出多少。
这样开放的作业内容，既与教材内容相联系，又与学生生活相结合，还“接轨”了社会活动，学生有了“自由驰骋”的自主学习，自由探索的空间，在实践中才能焕发生命的活力，充满成长的气息，书写一个创造的人生。
解决问题的教学内涵丰富，如何让学生喜欢它，这是我们当前所面临的问题。但我坚信，只要教师通过一定的策略，为学生营造轻松的氛围，让学生觉得要解决 的问题，离自己并不遥远，问题解决才有价值。这样才能让学生喜欢上解决问题。从而真正掌握解决方法。达到了这种境界才算是一堂成功的优秀的教学。

⑧ 什么是多尺度法

多尺度法是在平均法的基础上发展起来的一种近似解析方法。平均法是利用两种不同的时间尺度，将系统的振动分解为快变和慢变两种过程。将标志运动的主要参数，如振幅和初相角，在快变过程的每个周期内平均化，然后着重讨论其慢变过程。为了提高平均法的计算精度，可以将时间尺度划分的更为精细，由此发展为二十世纪六十年代的多尺度法。

⑨ 小波多尺度分解 怎样计算每层的总能量

各层小波细节或逼近重构信号的各点幅值平方后的求和。

⑩ 什么是图像多尺度几何分析技术

通过像小波变换这样的数学分析方法，把图像分解在不同的尺度（不同的精细程度，如不同的低频高频子带）上，来进行处理的一种数学分析方法。