A. 求考研数学必备公式
数学高考基础知识、常见结论详解
一、集合与简易逻辑：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。
集合元素的互异性：如： ， ，求 ；
（2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。
（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。
（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。
注意：区分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ；
；
（5）空集是指不含任何元素的集合。（ 、 和 的区别；0与三者间的关系）
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。
如： ，如果 ，求 的取值。
二、集合间的关系及其运算
（1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；
符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
（2） ； ；
（3）对于任意集合 ，则：
① ； ； ；
② ； ；
； ；
③ ； ；
（4）①若 为偶数，则 ；若 为奇数，则 ；
②若 被3除余0，则 ；若 被3除余1，则 ；若 被3除余2，则 ；
三、集合中元素的个数的计算：
（1）若集合 中有 个元素，则集合 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。
（2） 中元素的个数的计算公式为： ；
（3）韦恩图的运用：
四、 满足条件 ， 满足条件 ，
若 ；则 是 的充分非必要条件 ；
若 ；则 是 的必要非充分条件 ；
若 ；则 是 的充要条件 ；
若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；
五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；
注意：“若 ，则 ”在解题中的运用，
如：“ ”是“ ”的 条件。
六、反证法：当证明“若 ，则 ”感到困难时，改证它的等价命题“若 则 ”成立，
步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个
否定
正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个
否定
二、函数
一、映射与函数：
（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：
如：若 ， ；问： 到 的映射有 个， 到 的映射有 个； 到 的函数有 个，若 ，则 到 的一一映射有 个。
函数 的图象与直线 交点的个数为 个。
二、函数的三要素： ， ， 。
相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)
（1）函数解析式的求法：
①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：
（2）函数定义域的求法：
① ，则 ； ② 则 ；
③ ，则 ； ④如： ，则 ；
⑤含参问题的定义域要分类讨论；
如：已知函数 的定义域是 ，求 的定义域。
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为 ，扇形面积为 ，则 ；定义域为 。
（3）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
求下列函数的值域：① （2种方法）；
② （2种方法）；③ （2种方法）；
三、函数的性质：
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）
导数法（适用于多项式函数）
复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。
判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法
应用：把函数值进行转化求解。
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.
应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。
常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）
平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数y＝f(2x)经过 平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象。
（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意义。
对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于y轴对称
y=f(x)→y=－f(x) ,关于x轴对称
y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称
y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。（注意：它是一个偶函数）
伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。
一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
如： 的图象如图，作出下列函数图象：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；
（9） 。
五、反函数：
（1）定义：
（2）函数存在反函数的条件： ；
（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；
（4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择；②将 互换，得 ；③写出反函数的定义域（即 的值域）。
（5）互为反函数的图象间的关系： ；
（6）原函数与反函数具有相同的单调性；
（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。
如：求下列函数的反函数： ； ；
七、常用的初等函数：
（1）一元一次函数： ，当 时，是增函数；当 时，是减函数；
（2）一元二次函数：
一般式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；
两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ；
顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；
①一元二次函数的单调性：
当 时： 为增函数； 为减函数；当 时： 为增函数； 为减函数；
②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为 的形式，
Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则
时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则
时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
有三个类型题型：
(1)顶点固定，区间也固定。如：
(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程 的两根为 ；则：
根的情况
等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根
充要条件
注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果，在令 和 检查端点的情况。
（3）反比例函数：
（4）指数函数：
指数运算法则： ； ； 。
指数函数：y= (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。
（5）对数函数：
指数运算法则： ； ； ；
对数函数：y= (a>o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。
注意：（1） 与 的图象关系是 ；
（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。
（3）已知函数 的定义域为 ，求 的取值范围。
已知函数 的值域为 ，求 的取值范围。
六、 的图象：
定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。
七、补充内容：
抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
① 正比例函数
② ； ；
③ ； ；
④ ；
三、导 数
1．求导法则：
(c)/=0 这里c是常数。即常数的导数值为0。
(xn)/=nxn－1 特别地：(x)/=1 (x－1)/= ( )/=－x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k•f(x))/= k•f/(x)
2．导数的几何物理意义：
k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。
V＝s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
3．导数的应用：
①求切线的斜率。
②导数与函数的单调性的关系
一 与 为增函数的关系。
能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在 上单调递增，但 ，∴ 是 为增函数的充分不必要条件。
二 时， 与 为增函数的关系。
若将 的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 。∴当 时， 是 为增函数的充分必要条件。
三 与 为增函数的关系。
为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 。当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性。∴ 是 为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
四单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域;（2）求导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间。
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 在某个区间内可导。
③求极值、求最值。
注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。
但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
4.导数的常规问题：
（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；
（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；
（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
四、不等式
一、不等式的基本性质：
注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。
(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：
①若ab>0，则 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。
③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。
④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小
二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若 ，则 （当且仅当 时取等号）
基本变形：① ； ；
②若 ，则 ，
基本应用：①放缩，变形；
②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。
当 （常数），当且仅当 时， ；
当 （常数），当且仅当 时， ；
常用的方法为：拆、凑、平方；
如：①函数 的最小值 。
②若正数 满足 ，则 的最小值 。
三、绝对值不等式：
注意：上述等号“＝”成立的条件；
四、常用的基本不等式：
（1）设 ，则 （当且仅当 时取等号）
（2） （当且仅当 时取等号）； （当且仅当 时取等号）
（3） ； ；
五、证明不等式常用方法：
（1）比较法：作差比较：
作差比较的步骤：
⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。
⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。
⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。
（2）综合法：由因导果。
（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……
（4）反证法：正难则反。
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
放缩法的方法有：
⑴添加或舍去一些项，如： ；
⑵将分子或分母放大（或缩小）
⑶利用基本不等式，如： ；
⑷利用常用结论：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：
已知 ，可设 ；
已知 ，可设 ( )；
已知 ，可设 ；
已知 ，可设 ；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
六、不等式的解法：
（1）一元一次不等式：
Ⅰ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ；
Ⅱ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ；
（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论：
（5）绝对值不等式：若 ，则 ； ；
注意：(1).几何意义： ： ； ： ；
(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若 则 ；②若 则 ；③若 则 ；
(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。
(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ ；
（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
（8）解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.
③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为 （或更多）但含参数，要分 、 、 讨论。
五、数列
本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.
②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类；
③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整
体思想求解.
（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.
一、基本概念：
1、 数列的定义及表示方法：
2、 数列的项与项数：
3、 有穷数列与无穷数列：
4、 递增（减）、摆动、循环数列：
5、 数列{an}的通项公式an：
6、 数列的前n项和公式Sn:
7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：
8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：
二、基本公式：
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时，Sn= Sn=
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则
17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an bn}、 、 仍为等比数列。
20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)
24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。
25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。
26. 在等差数列 中：
（1）若项数为 ，则
（2）若数为 则， ，
27. 在等比数列 中：
（1） 若项数为 ，则
（2）若数为 则，
四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
28、分组法求数列的和：如an=2n+3n
29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求数列{an}的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值.
(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
六、平面向量
1．基本概念：
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2． 加法与减法的代数运算：
(1) ．
(2)若a=（ ）,b=（ ）则a b=（ ）．
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量 = + , = － , = －
且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜．
向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）;
+0= ＋(－ )=0.
3．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。
(1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜;
(2) 当 ＞0时， 与 的方向相同；当 ＜0时， 与 的方向相反；当 =0时， =0．
(3)若 =（ ），则 · =（ ）．
两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ．
(2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ‖b ．
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2．
4．P分有向线段 所成的比：
设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。
当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0；
分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ ≠－1）， 中点坐标公式： ．
5． 向量的数量积：
（1）．向量的夹角：
已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则∠AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角。
（2）．两个向量的数量积：
已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．
其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影．
（3）．向量的数量积的性质：
若 =（ ）,b=（ ）则e· = ·e=｜ ｜cos (e为单位向量);
⊥b ·b=0 （ ，b为非零向量）;｜ ｜= ;
cos = = ．
(4) ．向量的数量积的运算律：
·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c．
6.主要思想与方法：
本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
七、立体几何
1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
能够用斜二测法作图。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；
会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。
3.直线与平面
①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。
②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。
③直线与平面垂直的证明方法有哪些？
④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}
⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.
4.平面与平面
(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）
(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。
(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。
(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→
(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：
①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；
②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。
③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法? 多但是有用自己慢记！
B. 明天福彩3D能出什么号
福彩3D第08242-08243期的走势显示，近期中小号强势，大号则较为稀缺。从近期奖号的分布来看，0-4的中小号区域表现强劲，大号区则相对冷门。预计未来三期内，小号区域将继续保持强势，重点关注1、3、4等号码。此外，1路号码在近两期连续开出两码，这与之前的预测相吻合，预计1路号码将继续表现强势，重点关注1、4等号码。
近期，中小号区域相对强势，根据“横者恒强”的规律，这些号码在未来三期可能继续走强。综合来看，重点关注号码1、2、3、4、6等。具体而言，1号近期表现较热，尤其是上期与0相连开出，需防其延续为三连星；2号近期走势温和，下期处于对称分布之位，仍需关注；3号近期强势，预计在接下来的三期中至少还会开出一次；4号前段时期表现热，近期转冷，下期可能成为中值号，应重点关注；6号近期偏热，下期为邻号，适当关注。
组三号码近期虽强势，但总量仍亏损，需重点关注其回补。百位连续在低位振荡，预计会升至中大号区域，关注4、6、8等号码。十位则急速探底，预计会回升，重点关注3、4等号码。
第08242-08244期的具体推荐如下：412、314、984、548、619、745、592、075、672、429、487、980、720、982、441、114。1D推荐：3**、*4*、**2。2D推荐：41*、5*8、*75。和数选：8、11、12。
建议玩家根据自己的喜好和风险承受能力选择合适的号码进行投注。
C. 地形地貌研究常用工具软件的应用方法研究
罗伟东 李 刚
（广州海洋地质调查局 广州 510760）
作者简介：罗伟东，男，广东人，硕士，高级工程师，主要从事海洋地形地貌调查和研究工作。
E-mail：loky＿luo＠sina.com，电话：020-82250319，13609057863。
摘要 本文介绍了地形地貌研究主要工具软件的基本功能，针对主要工具软件的特点和实际应用情况，从地形数据的浏览、编辑、提取和转换，数据的网格化，等深线和彩色阴影底图等的编辑，调色板的制作与获取，地形图和三维立体图的制作等方面探讨地形地貌研究工具软件应用的方法，为地形地貌研究工作的开展创造有利条件，大大提高了工作效率和质量。
关键词 地形地貌 工具软件 应用方法
1 前言
海洋地形地貌调查和研究是大多数海洋调查研究的基本内容和重要组成部分。我国自20世纪90年代初引进多波束测深系统后开展了我国近海和邻近海域多波束海底地形地貌调查和综合研究，积累了丰富的资料和研究成果。提高地形地貌研究水平和工作效率是研究人员不断探索的方向。地形地貌研究工作常用的工具软件发挥了重要作用，能进行原始数据处理、数据网格化、数据提取转换浏览、制图等，还能进行地形坡度、距离和面积计算，地形剖面的提取制作，方便对海底地形分区、分析分布特征和识别地貌单元等。熟练掌握地形地貌研究工作常用的工具软件是研究人员必须具备的基本技能，合理选择和恰当应用工具软件是提高工作效率的有效途径。目前，地形地貌研究可用的工具软件有许多，如MapGIS、ArcGIS、Golden Software Surfer、CorelDRAW、Global Mapper、Fledermaus、GMT、MB-System和Caris Hips and Sips等。我国的地形地貌研究人员在以往的使用过程中，对相关软件积累了一些经验，但是面对种类繁多的工具软件，要恰当合理综合应用以提高工作效率和质量却不是一件容易的事。在实践工作中，常常会因为没有掌握软件的使用方法或没有发挥各软件的特点，而遇到一些困难，降低工作效率和质量。作者通过充分应用软件已有的功能，开发其潜在功能，结合工作实际，扬长避短，综合应用，使相应软件更好地服务地形地貌调查和研究工作，发挥更大的作用。
2 地形地貌研究主要工具软件概述
2.1 MapGIS、ArcGIS和Golden Software Surfer功能概述
这三款软件，特别是MapGIS和Surfer在国内得到广泛应用，相关文章对用法和功能的介绍很多。地形地貌研究主要的应用是利用MapGIS、ArcGIS制作规范的地形图和地貌图等；Surfer主要的应用是制作坡度图和地形图、地貌图和三维立体图等。
2.2 GMT功能概述
GMT（Generic Mapping Tools）是一个通用地学制图工具软件，发展至今已在大气、海洋、地震等研究领域得到较为广泛的应用。GMT是全命令行软件，需要用户录入命令及其指定的输入输出数据和各种配置参数（如经度、纬度、颜色配置等）来进行操作。GMT虽然操作相对繁琐，但执行效率很高，而且图形文件输出的主要格式为PostScript文件，这种格式可提供高质量、跨平台的图形打印，这也是GMT得以广泛应用的原因。
实际应用中，主要是制作二维三维地形图。利用GMT强大的颜色渲染和标准图框输出功能，制作颜色逼真的彩色阴影图、报告和论文插图，大数据量的网格化功能也是其强项。
2.3 Global Mapper功能概述
Global Mapper（简称GM）是美国Global Mapper公司开发的一个简单、实用的图形管理与应用软件。它可以在指定投影和地理坐标的基础上，编辑、转换光栅和矢量地形图，绘制二维、三维地形图以及点、线自编图形，具有良好的绘图、编辑、显示以及数据输出界面。其主要功能特点和实际应用包括以下四个方面：
1）浏览、合成、输入、输出、显示大部分流行的栅格图形和高程及矢量数据
实际应用中，主要用来直接打开浏览各类型如Surfer和GMT网格文件；输入输出（特定范围）网格、XYZ文件及点、线文件；合成相同或不同格式、大小的数据（网格、XYZ）文件。
2）具有数据、图形的转换、编辑、拼接、打印功能和投影转换
主要进行数据、图形的格式转换，如将GMT网格文件转换成Surfer网格文件，重新网格化数据，将XYZ文件转换成网格文件，网格、XYZ文件转换（输出）成图片等。在网格文件中选取制作特定位置的地形剖面。进行坡度、距离和面积计算。结合不同地理位置的地图，设置和改变、转换图片的投影方式。
3）具有简单的地理信息功能和动态GPS接收功能
为没有位置信息的图片添加坐标信息，在同一个项目中打开的文件都会在相同投影下的大地坐标系中显示。
4）在实际应用中，GM也存在不足之处：等深线功能简单，不能调整标注间距和字体样式及大小；地形图图框、比例尺不规范，文字大小和标注不可调节。
2.4 Fledermaus功能概述
加拿大IVS 3D公司生产的Fledermaus是全球海测数据3D具体化的领先商业软件之一，是一套功能强大的交互式三维数值数据虚拟实境的系统。它可以帮助使用者完成包括海洋（海岸、海底）资源调查与制图、环境影响评估、采矿、地质调查以及各种研究等工作。Fledermaus可直接支持广泛的工业数据格式输入。可直接导入、显示数字地形图，点、线、多边形数据集合、卫星影像并进行分析。浏览器iView4D可以随时浏览处理过或分析后的数据结果。
实际应用中，主要是利用其三维可视化功能和复杂区域编辑模块，用于导入网格文件，对三维数据进行三维可视化显示和操作，可任意角度观察地形地貌特征，可方便进行海底地形分区、分析分布特征和识别地貌单元。
3 工具软件的综合应用
常用工具软件在地形地貌研究中发挥了重要作用，工具软件种类繁多，各有优点缺点，科研人员要全部掌握其功能和操作方法有一定难度也没有必要，应该根据实际工作需要，重点掌握几个主要软件，扬长避短，合理应用，其他软件的应用能满足工作需要即可。针对所从事的工作，主要的应用情况从以下几个方面进行阐述。
图1 GM软件主界面窗口
3.1 地形数据的浏览、编辑、提取和转换
海底地形分区、分析分布特征和识别地貌单元等是地形地貌的工作之一，这些工作都要对地形数据进行浏览、观察、描述，以往一般是通过打印的地形图和三维地形图等图件来进行识别和描述。随着计算机软硬件技术的发展，目前，更科学的方法是利用工具软件完成上述工作，也可结合图件打印的方法。利用工具软件观察更直观简便高效，可直接导入、显示数字地形图，调节着色、等值线间距和垂直比例，进行地形坡度、距离和面积计算，特定位置剖面显示提取和制作，多角度、随意缩放、显示任意位置水深和点线多边线标注等。GM软件在这方面具有强大的功能（图1），结合Fledermaus，Golden SoftwareVoxler软件能方便地实现上述常用功能，大大提高工作效率，非常适合地形地貌研究和海洋调查使用。
GM软件可方便地打开XYZ和多种格式的网格文件（包括大数据量文件），还能把数据转换成自己的网格格式Global mapper grid显示，文件小，占用内存少，可随意进行操作，如放大缩小编辑等，显示效果好，这是GM软件的主要特点之一，相比其他软件具有明显优势。显示二、三维地形图，具有标注等深线、测线、标注符号和简单的3D view功能，能从各个角度浏览地形；能实时显示当前或指定位置的水深和经纬度；具备生成地形剖面功能，可选取任意位置进行地形剖面提取和制作；能进行地形坡度、距离和面积计算，地形坡度的计算和显示是在应用地形剖面功能时，在地形剖面窗口中的Options/showpath detais查看。地形剖面可输出为CSV或XYZ数据和图片格式，CSV或XYZ数据可用Grapher等专业软件制作成剖面图；图片格式可直接在CorelDRAW中导入编辑，为保证输出后的图片质量和字体大小合适，字体编辑时要注意调节字体的大小，输出的图片长度应在2000像素左右，输出后在word中的字体大小约为小5号。剖面图如图2所示。
微地形地貌的浏览和描述方面，需要用到相关三维可视化系统，GM软件具有简单的3D view功能，并不能满足实际应用的要求，目前最好的三维可视化系统是Fledermaus，Golden Software Voxler也有不错的表现，实际应用时应结合使用。
图2 典型地形剖面
3.2 数据的网格化
随着多波束海底地形地貌调查和综合研究的技术发展，对研究人员的要求也越来越高，数据网格化和数据转换方法已经成为研究人员必须掌握的技能之一。过去认为数据的网格化是由专业处理人员完成的想法已经不符合实际。研究人员在进行研究时不是简单地利用网格文件，实际可能应用的情况：简单的数据编辑；数据（网格文件）的格式转换；重新网格化，生成不同网格间距的网格文件；提取特定区域网格数据等。
在进行XYZ数据的网格化时，不同的网格化（插值）方法的绘图效果是不一样的。一般地，各软件都会提供多种网格化方法供用户选择，如Surfer提供多达12种方法、GMT有4种方法和ArcGIS提供5种方法。合理选择网格化方法和工具软件能有效提高图件制作质量，地形地貌的制图具体使用的网格化方法，需要根据客观环境特征和数据本身的特点，进行相应的数据分析，才能绘制出准确、有意义的图件。一般地，中大数据量的数据用加权反距离法（Inverse distance to a power）或者最小曲率法效果好、效率高，小数据量数据可使用克里格法（Kriging）。单一的工具软件不能满足实际要求，Surfer软件只适应于网格数据量较小的数据（几百兆的数据文件），Surfer的工作效率很低；大数据量的数据一般要选用GMT或MB-System软件进行网格化；进行数据浏览转换时可使用GM软件。
GMT网格化采用gmtmbgrid和Surface命令；MB-System软件采用mbgrid命令；Sur-face是张性样条网格化法，是一种经过改良的标准最小曲率算法，允许用户把张量引入表面。执行surface程序前要对数据进行预处理，消除混淆现象。地形数据采用block-median对网格间隔框内的值返回中值。Gmtmbgrid算法跟mbgrid命令一样是采用加权反距离插值法。具体根据实际需要选择。MB-System和GMT软件一般配合使用。使用的具体命令如下：
blockmedian文件名.xyz -R113/120/11/13 -I200e -V ＞ ship＿ 5m.xyz
Surface文件名.xyz -R113/120/11/13 -I200e -G文件名.grd
mbgrid -I文件名 -0文件名.grd -R113/120/11/13 -A2 -C2 -E 200/200 -N -V
GM软件网格化采用三角剖分法（triangulation/liner interpolation），这种方法对大数据量的数据处理效率低，数据边缘效果稍差，具体操作流程：打开XYZ文件，出现Ge-neric ASCII Text File Import Options窗口，在Import type选项中，选择Elevation Grid from3D Point Data，其他选项可以采用默认。确定后，出现Elevation Grid Creation Options窗口，在Grid Spacing中可自定义网格大小；确认后即可完成网格化过程，然后在File/Ex-port Elevation grid format，选择合适的格式输出数据。图3是不同软件网格化及制图效果图。左图是用GM软件采用三角剖分法网格化绘制而成，中图是GMT软件用改良的标准最小曲率算法（surface命令）进行网格化，右图是Surfer采用加权平均算法；从图中可清楚地看出，三个软件绘制的地形图一致性很好；GMT软件在网格化效果和调色效果方面都是最出色的，能较好的反映微地形且色彩逼真。
3.3 等深线和彩色阴影底图等的编辑
多波束数据经过后处理后，数据质量一般都能达到要求，特殊情况时也会有局部小范围数据质量较差的数据，在制作成图件时，在彩色阴影图和等深线上都会有直接的反映。一般地，都要对其进行编辑，去伪存真。彩色阴影底图的制作一般用GMT或Surfer，彩色阴影底图的编辑一般选用Photoshop或者CorelDRAW，等深线的生成可用MapGIS、Surfer和GMT软件，MapGIS具有等深线编辑功能，也可以在CorelDRAW中进行编辑，效果都很不错。在CorelDRAW中进行编辑时，等深线一般是在Surfer生成*.emf格式文件，在Corel-DRAW中打开进行编辑，删除等深线时应选用虚拟段删除工具，CorelDRAW是把显示的整条线段定义为由多条虚拟段组成，用虚拟段删除工具选中整条线段或线段的一部分后，程序将会自动删除选中的部分，操作很方便。添加线段时选中手绘工具，调节合适粗细，进行曲线和直线绘制。图片输出时同样要注意像素的调节，确保图像质量和字体合适。图4为等深线和彩色阴影底图编辑前后对比图，底图是用Surfer制作的，编辑方法如上述。右图为编辑后的情况，效果非常明显。
图3 不同软件网格化及制图效果图
图4 等深线和彩色阴影底图编辑前后对比图
3.4 调色板的制作与获取
制图的美观程度主要取决于调色板的着色效果，制作美观实用的图件是科研工作者的不懈追求。根据实际需要选择合适的工具软件及制作或引用合适的调色板是制图工作的重中之重。不同的工具软件的调色效果是有区别的。实践应用中，GMT软件的调色效果最好，Surfer、MapGIS和ArcGIS调色效果稍差，GM的调色效果次之。这也是GMT软件被广泛应用的主要原因之一。因此，在实际应用中，正式图件及成果报告插图等可应用GMT软件制图或制作彩色阴影图。GMT软件自身提供了许多独有且全球流行的调色板，自身也提供相应的命令如makecpt和grd2cpt根据相应的调色板模板对特定数据进行调色板制作，但并不能满足实际应用的需求。因此，制作或者获取第三方调色板是可行的办法。
调色板模板制作与管理的有效可行办法：首先，根据工作实际，确定工作中常用的几种地形数据类型如海陆结合数据、浅水数据和深水数据等，每种数据类型制作几个常用的调色方案，所有的调色方案都做成各软件特定的格式，可直接或稍为更改即可引用。由于GMT是全命令行软件，调色板的制作并不像Surfer等友好界面软件那么直观方便。一般地，在利用GMT自带调色板模板稍加修改或者直接在Surfer软件中制作调色板后，导出后再转换为GMT格式的调色板。
获取调色板的方法有两种：一种为通过专业网站获取相关调色板，专业网站提供多个领域的世界上主流的调色板和大量用户自主设计的调色板。另一种方法是手头只有地形图图片而没有相应数据调色板的情况，这时最好的方法是利用相关软件如Photoshop或其他具有取色功能的软件进行调色板制作，着色效果跟原有图片基本一致。
3.5 地形图和三维立体图的制作
发挥各地学绘图软件的优势，结合应用才能做出规范且最佳效果的图件。地形图和三维立体图正式图件的制作，单一工具软件不能满足要求。Surfer软件功能较全面但特点不明显且没有投影功能，等深线制作和编辑功能较弱；GMT的网格化和调色功能强大，等深线制作也不错，但没有编辑功能；由于制作正式图件时，可采用由GMT软件制作地形图和三维立体图的彩色阴影底图，再导入MapGIS或ArcGIS制成图件的方法，制作时要注意投影方式的匹配问题，GMT制作彩色阴影图时应选择合适的投影，导入前应该把PS文件转换成BMP或JPG图片，且要根据打印图件的大小选择合适的输出像素。图5为西太平洋地形图，是由GMT软件制作彩色阴影图导入MapGIS进行中文标注等。正式图件的等深线可直接由MapGIS生成并编辑或由GMT生成导入等。
4 结 语
地形地貌研究常用的工具软件种类多、功能很强大。本文针对常用工具软件的特点和实际应用情况，总结了这套工具软件应用方法的主要特点：把各软件的优势应用到实际工作，扬长避短，最大限度服务地形地貌研究工作，提高工作效率和质量；根据实际应用制定相应操作流程，综合应用，简化操作，提高效率；挖掘新工具软件，把GM软件应用于地形地貌研究工作，起到非常好的应用效果。这套方法为地形地貌研究工作的开展创造有利条件，大大提高了工作效率和质量。
图5 西太平洋三维立体图
参考文献
［1］陈欢欢等.Surfer 8.0等值线绘制中的十二种插值方法.工程地球物理学报，2007，2.
［2］刘方兰等.Global Mapper系统在海洋调查中的应用.海洋技术，2011，01.
The application method study of the general-used software for studying the topographic and geomorphic features
Luo Weidong Li Gang
（Guangzhou Marine Geological Survey，Guangzhou，510760）
Abstract：The paper introces the basic function of the general-used software for studying thetopographic and geomorphic features.Focuses on the characteristic features and the comprehen-sive application in practical experience，talking about the usages of the general-used software forstudying the topographic and geomorphic features on scanning，editing，collecting and conversionof the geographic data，data gridding，edit for the bathymetric contour and the color shader basemaps，palette make and abtain，topographic map and Creates the advantages for studying the top-ographic and geomorphic features，and also increases the efficiency and the quality of the study.
Key words：Topographic and geomorphic features Software Application method