㈠ 神奇的乘法（四）
最最平常的乘法，也是一种卷积。
例如，计算 123×456，可以这样做：
制作如图的两个滑块，123竖着往下写，456倒着往上写。
然后，让456从123的旁边滑下来。
每滑动一格，都把两个数重叠的部分进行点积运算，结果记录下来。每次结果的个位向后移动一位。
当滑动结束以后，把那些结果加起来，即可。
这种运算就是卷积的直观展示。
类比乘法的卷积方法，可以定义两个序列的乘积。让一个序列从另一个序列旁边滑过，形成很多的点积，把这些点积加起来，得到序列积。
序列可以是有限的，也可以是无限的。
无限的序列可以有生成函数，生成函数，就是类似对等比数列求和的结果。用那结果，就可以生成等比数列。
序列乘积的时候，一个序列可以转化成向量，另外一个转化为矩阵。用矩阵，意味着乘法不可交换。
卷积常用在傅立叶分析。
印度乘法，是指普通的数字乘法，特别的地方有两处。
格子乘法最早记载在1150年印度数学家婆什迦罗的《丽罗娃提》一书，后来传到阿拉伯，再后来传到欧洲，由意大利人传到中国，中国数学家程大位给起了个好听的名字，叫“铺地锦”。
但中国人还是习惯用珠算，用“一口清”来计算乘法。
中国传统的大九九乘法口诀，只是把普通的小九九扩充一倍，例如“三九二十七”成为两句口诀“三九二七”与“九三二七”。而印度的大九九则更大，要求背诵所有的两位数乘以两位数，背诵以后，计算速度无疑会大大提升。
当然，背诵是有技巧的。不是单纯的死记硬背。例如十几乘以十几，方法就是，把乙的个位数加在甲的末尾，添零，再加上两数个位与个位相乘，得结果。
例如：18×13,（18+3）=21，添零以后是210,个位乘积是8×3=24，结果就是210+24=234。
俄罗斯农民的乘法，直观思想十分朴素，举个特殊例子来看：
16×17=8×34=4×68=2×136=1×272=272
指导思想就是，不断的把被乘数减半，把乘数加倍，直到被乘数变为1,结果就出来了。
上面的例子，碰巧被乘数减半的过程中，一直是偶数，如果是奇数，怎么办呢？如果是奇数，就单独记录下那一步的乘数，把被乘数减一，继续运算，在最后，把记录的结果加上去即可。
例如：
35×37
=34×37+37
=17×74+37
=16×74+74+37
=8×148+111
=4×296+111
=2×592+111
=1×1184+111
=1295
这种运算，表面上看，步骤很多，很笨拙。但正应了中国的古训“大巧若拙”，其实这种算法，是极其迅速的。尤其到了计算机的时代，到了二进制的时代。
俄罗斯农民的算法，可以用极快的速度完成大数的乘法。所谓大数，就是几百位或者几千位的数字相乘。
用普通的乘法是很慢的，要做多次的乘法和加法，复杂程度一般是N的平方;而俄罗斯农民算法的复杂度是N×(log N)。因此，是及其迅速的。并且，计算机中，除以2或者乘以2,很多时候是不需要计算的，只需要移动一位，因为计算机经常使用2进制。
俄罗斯农民算法可以扩展为使用4进制，16进制都可以，64进制等都可。
在大数乘法中，能比俄罗斯农民的乘法更快的算法并不多。
离散傅立叶变换，可以用来计算乘法。
但如果不是快速傅立叶变换，复杂度仍然是N的平方。
如果用快速傅立叶变换，就可以超越俄罗斯农民算法。
仅仅因为，傅立叶变换应用太广泛，人们针对傅立叶变换，研究了各种快速算法，使得快速傅立叶变换可以达到N(log N)的复杂度。
本质上讲，快速傅立叶变换的速度并没有超过俄罗斯农民的算法。仅仅因为，它已经有了各种成熟的库，各种优化的算法，因此，应用更广泛，就得到更多的优化，速度更快了。
如果对俄罗斯农民算法进行适当的优化，也可以达到快速傅立叶变换的速度。
日常如果要做大数乘法，用俄罗斯农民算法足矣。如果有更高的要求，可以用GNU的库函数，其中各种算法的实现都有，尤其是用快速傅立叶变换来计算乘法。
大数的乘法有什么用处呢？一般的，还真没什么用处。无聊的时候，可以把圆周率计算个几万位，就只有这种用处。
而几万位的圆周率，本身就没有什么用处。50位以内的小数，足够地球上的天文学家和物理学家用了。
大数乘法的其它用处包括：彰显科技，比拼电脑的计算速度，RSA加密，破解RSA加密等。
傅立叶变换怎样做乘法，以及为什么能做乘法，需要专门来讨论。
在没有计算器的年代里，三角函数专门有一个表，叫做三角函数表。已知角度，可以查询三角函数值。已知三角函数值，如正弦值，也可以查到角度。
利用这个表，可以进行乘法运算。把需要相乘的两个数字，通过适当的移位，变成三角函数可以表示的范围。然后查到对应的两个角度，用积化和差公式来计算。最后，对结果重新移位恢复。
例如，计算 4766×8848
先变成 0.4766×0.8848，
然后假设这是两个角度的正弦，查表的到两个角度：
28.463575度
62.22692度
根据公式
sinA × sin B = [cos (A-B) - cos(A+B)]/2
需要查计算：
两个角度的差是33.763344度，差表得余弦为 0.83134;
两个角度的和是90.6905度，差表得余弦为 -0.01205;
两者做差，平均以后，为0.421695。
按照这个结果，移位，原来乘积就是 42169500。
实际上，前面的部分都很精确，只有最后两位不同。
真实的结果是42169568。
在精确程度允许的情况下，足够了。
关键是，这种方法，只用加减法来计算乘法。
对数非常神奇，甚至可以说吊诡：
对数最自然的底，竟然就是自然对数底。一开始，人们各种尝试，就使得底非常接近自然对数底。
自然对数底，无疑是神秘的，欧拉对此剖析的最透彻，关于e的故事，三天三夜也说不完。
后来，有了常用对数，对数用来做乘法就更方便了。
外国人，有一种精神，是我们所没有的：在没有对数表格的情况下，他们可以经过几代人的努力，来编制长长的表格，做这样的苦功，枯燥且乏味。然后印刷下来，供大家使用，世界人民共享劳动成果。在有了表格的情况下，他们又尝试发明各种仪器，来简化运算，终于把计算尺，计算器和计算机搞出来了，还是大家都能用。这里，既有厚德载物的精神，又有自强不息的精神。
我们，却还在培养珠心算，用“一口清”这些高端乘法技术。尽量的，连笔和纸都不使用，来完成计算。这些技术，只能适用于少数有天赋的儿童，而且要经过辛苦的训练才能掌握。并且，这种技能的传承非常困难。并且，如果不经常使用，很快就会退化。
有工具，为什么不用呢？人类最高超的技能，不就是制造和使用工具吗？其实，根本不用担心加减乘除的技能退化。
现在，没有多少人会手动开平方。加减乘除并不比开平方重要。所以，就算大多数人不懂口算，也没什么关系。
能机械运算的，就用机械运算。能查表的，就查表。这样，才是真正的解放生产力，发展生产力。
数学需要运算。但运算不是数学的本质。
我们常常嘲笑外国人太笨，但他们才是真正的大智若愚啊！他在菜市场或者超市不会口算，是因为他们不需要计算，所以不需要会算。
中国古人，鄙视会算术的人，认为这些是属于底层人民的东西。属于“奇挤淫巧”一类。上层社会的人完全不懂得算术。这样的做法似乎也不妥。
理想的状态应该是：不同职业的人都得到应有的尊重，有体面的收入。职业平等，不分高低贵贱。