电磁场的数值计算方法

① 电磁场基本方程式

由电磁学中基本实验定律综合分析可知，介质中的电磁场满足麦克斯韦方程组：

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式中：

为电场强度（单位：V/m）；

为磁场强度（单位：A/m）；

为磁感应强度（单位：Wb/m²）；

为电位移矢量（单位：C/m²）；

为电荷密度（单位：C/m³）。

方程组简单的物理意义是，电场可以是由电荷密度分布q引起的发散场，也可以是由变化磁场

引起的涡旋场。磁场

是由传导电流

和位移电流

激励产生的涡旋场，空间中无孤立的磁荷存在。

电磁场四个基本量通过介质电性参数ε和μ联系起来，在各向同性介质中，它们的关系为

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式中：

为电流密度（单位：A/m²）；σ为介质的导电率；ε为介质的介电常数；μ为导磁率。

电磁场应满足的边界条件为：

的切线分量连续

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的切线分量不连续

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的法线分量连续

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的法线分量不连续

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式中：

为两种介质边界面的法线方向单位矢量；

为面传导电流密度，q_S为自由电荷面密度。

利用傅氏变换，可使随时间变化的电磁场分解为一系列谐变场的总和。若取时间因子为e^-iωt，则在谐变电磁场情况下麦克斯韦方程组为：

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8.3.1 大地电磁测深

在大地电磁测深中，它所讨论的电磁场频率是极低的，一般取周期T＞1s。在这种低频的情况下，介质中位移电流

的影响可以忽略，即可取（8.3.10）式中iωε=0。把大地电磁场近似地看作是由高空向地球垂直入射的平面电磁波，已为许多学者所证实，因为大地电磁场来源于太空，在地面有限范围内，只是它的波面中极小的部分。自然，这一部分可以近似看作是垂直入射的平面波。设其源电流是位于研究区域之外，于是这时介质中的麦克斯韦方程简化为：

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式中Δ·

=0是因为导电介质内部体电荷密度实际上是不存在的，这里时间因子都包含在场

和

之中，随时间变化的电场和磁场相互激励、相互转化，并以波的形式在介质中传播。当然传播特性将与介质的电性参数有关。

对（8.3.13）式两边取旋度

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由于

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故

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或写成

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其中

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类似地可以求出

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（8.3.17）和（8.3.18）式称为赫姆霍兹方程。它是电磁场所满足的基本方程式，它描述了电磁场空间变化和时间变化的规律。

依照麦克斯韦方程组导出的边界条件，对于大地电磁波情况，导电介质之间分界面上的边界条件为：

和

的切线分量是连续的，即E_1t=E_2t，H_1t=H_2t]]

和

的法线分量是连续的，即D_1n=D_2n，B_1n=B_2n]]

1n=j_2n

设x和y轴水平，z轴垂直向下，麦克斯韦方程可写成分量形式

对于Δ×

=iωμ

，有

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对于Δ×

=σ

，有

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设介质是二维的，取x轴垂直构造走向，y轴平行构造走向，z轴仍然垂直向下。这时由于电阻率（或导电率）沿y轴无变化，相应的电磁场沿y轴也应是稳定的。即有

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这时上述麦克斯韦方程可分解成两组偏振波，我们首先考虑E偏振，有

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将后两式代入前面一式中，可得

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其次再考虑H偏振，有

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将后两式代入前一式中，可得

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（8.3.20）和（8.3.22）式就是二维介质垂直入射平面波的波动方程，即赫姆霍兹方程。应当指出，二维介质中的线性偏振波只能沿走向y加以分解，其赫姆霍兹方程只依赖于x和z方向的电阻率分布，对于给定的二维介质模型电阻率分布和边界条件，波动方程的解可得出E_y和H_y，再借助于E 偏振和H 偏振中电磁场本身的关系式，可求得相应的 E_x和H_x。

在进行计算时，有关场的计算区域和其边界条件通常可以这样给出。

对于H偏振，区域的上边界可以取为地面，其上给出磁场为任意常数，如给H_y=1，最终解将按该常数规格化，底部边界磁场取为零，两侧边界可取磁场的法线导数为零，即取自然边界条件。有时也可按一维或层状模型计算边界磁场值，作为强加边界条件给出。

对于E偏振，底面电场E_y可取为零，两侧面边界也可取电场的法线导数为零，或按一维或层状介质计算给值。上边界的位置要取在地面以上，即要存在一个空气层作为模型的顶层给出，这是由于空气中E_y不是常数，需要把上边界取在远离地面的高空，使得界面上不均匀体的影响可以忽略，在空气层的顶部，即上边界可给定一个常数电场，如E_y=1。

8.3.2 甚低频法

甚低频（VLF）电法勘探中所测量的频率带为15～25kHz。在离所测定的军用电台较远处可视为平面波，其源电流位于研究区域之外，式（8.3.10）中j=0，但这时与大地电磁测深不同，介质中位移电流

的影响不能忽略。

当考虑二维地质体时，设y轴平行于地质体的走向，与（8.3.19）的推导相似可得：

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且

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这样相应的赫姆霍兹方程为

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8.3.3 线源情况

当使用平行y轴（地质体走向）的线源时，麦克斯韦方程与甚低频法相同，但带有源项，即

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式中I为线源的量值，将上面两式代入最后一式中可得：

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相似也可得出H_y的赫姆霍兹方程。

若计算网格足够大，当线源在网格内时，所有边界上的边界条件均可取电场为零。若线源在网格外，电场在边界上的数值可由两层模型的理论公式计算。

总结以上（8.2.14），（8.2.17），（8.3.20），（8.3.22），（8.3.23），（8.3.24）及（8.3.25）等式，对二维情况我们可提出它们所共同满足的偏微分方程式

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该式在数学上称为二维椭圆型偏微分方程，在物理上是已知的二维赫姆霍兹方程，式中与上述（8.2.14）、（8.2.17）、（8.3.20）、（8.3.22）、（8.3.23）、（8.3.24）及（8.3.25）各式相应的u，α，β及f的值列入表8.1中。

表8.1 有关微分方程的对比

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