1. 算子范数的定义
范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即①非负性；②齐次性；③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。
中文名
范数
外文名
norm
应用学科
数学
适用领域范围
代数
本质
函数
快速
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算子范数空间范数矩阵范数
名词定义
范数
范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。
定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。
注：在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。
半范数
假设
是域
上的矢量空间，V的半范数是一个函数
，
，满足：
（非负性）
（正值齐次性）
(三角不等式).
范数=半范数+额外性质
赋范线性空间
若
是数域上的线性空间，泛函
满足：
(1)正定性：
，且
；
(2)正齐次性：
；
(3)次可加性（三角不等式）：
。
那么，
称为
上的一个范数。
如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。
当且仅当
是零矢量(正定性）时，
是零矢量；若拓扑矢量空间的拓扑可以被范数导出，那么这个拓扑矢量空间被称为赋范矢量空间。
内积、度量、拓扑和范数的关系
(1) 范数
度量
拓扑：
，因此赋范线性空间是度量空间；但是由度量不一定可以得到范数。
(2) 如果赋范线性空间作为（由其范数自然诱导度量
的）度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy）序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫（Banach）空间。
(3) 内积
范数：
；范数不一定可以推出内积；当范数满足平行四边形公式
时，这个范数一定可以诱导内积；完备的内积空间称为希尔伯特空间。
2. 什么是范数向量的范数公式是什么
向量范数
定义1.
设
,满足
1.
正定性:║x║≥0,║x║=0
iff
x=0
2.
齐次性:║cx║=│c│║x║,
3.
三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数.
可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数.
常用向量范数有,令x=(
x1,x2,…,xn)T
1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2
∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
易得
║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞
定理1.Cn中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使
m║x║α≤║x║β≤M║x║
可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得
定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则
║x(k)-x║→0(k→∞)
iff
xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→
∞)
其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k)
→x(k→∞),或
.
三、
矩阵范数
定义2.
设
,满足
1.
正定性:║X║≥0,║X║=0
iff
X=0
2.
齐次性:║cX║=│c│║X║,
3.
三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║
4.
相容性:
║XY║≤║X║║Y║
则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数.
注意,
矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量
序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩
阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性:
║Ax║≤║A║║x║
所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的.
定理3.
设A是n×n矩阵,║?║是n维向量范数则
║A║=max{║Ax║:║x║=1}=
max{║Ax║/║x║:
x≠0}
是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性
或者说是相容的.
单位矩阵的算子范数为1
可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义:
║x║=║X║,X=(xx…x)
常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是
1-范数:║A║1=
max{║Ax║1:║x║1=1}=
2-范数:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}=
,λ1是AHA的
最大特征值.
∞-范数:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=
此外还有Frobenius范数:
.它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数.
四、
矩阵谱半径
定义3.设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n.称
为A的谱半径.
谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系:
ρ(A)≤║A║
因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.两边取范数,由矩阵范数的
相容性和齐次性就导出结果.
定理3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)