高中数学初等函数解题的简单方法视频

Ⅰ 高一数学基本初等函数求值

一．观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，
故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .
点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）
二．反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）
三．配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})
四．判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）
当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3
当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。
五．最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ）
A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞）
（答案：D）。
六．图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为 －2x+1 (x≤1)
y= 3 (-1<x≤2)
2x-1(x>2)
它的图象如图所示。
显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七．单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
八．换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t=√2x+1 （t≥0）,则
x=1/2(t2-1)。
于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
九．构造法
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,
KC=√(x+2)2+1 。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共
线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）
十．比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。
函数的值域为｛z|z≥1｝.
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）
十一．利用多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）
十二．不等式法
例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0
1-x≠0
解得，0＜x<1。
∴函数的值域（0，1）。
点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。
以下供练习选用：求下列函数的值域
1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）
2．Y=2x/(2x－1)。 （y>1或y<0）

Ⅱ 高一数学三角函数的各种解题方法

我最后一次帮人回答三角函数。
第一：三角函数的重要性，即使你高一勉强过了，我希望你能在暑假好好学习三角函数知识。
第二：任意角三角函数。同角三角函数公式，切化弦公式以后一会常用到，恒等式公式整合了正余弦之间的关系。诱导公式就是一个BUG不用管它，能记住多少算多少，通用口诀：奇变偶不变符号看象限，奇偶的辨别是PI/2的整数倍的奇偶决定。
第三：三角函数的图像和性质。首先要明白三角函数线的知识，虽然考试不会涉及不过对于理解三角函数的图像的绘制提供了直观的理解。三角函数的草图一律用五点作图法。三角函数的性质包括最值性、单调性、奇偶性、周期性、对称性。三角函数的这五个性质必须好好把握。
第四：正弦函数。这里主要是从基本初等三角函数变换成初等三角函数。Asin(wt+y)+c。关于各个数值的含义你以后会在高中物理中的交流电理论或是简谐振动理论里学习。其中的初相位和圆频率之间的先后变换所产生的关系必须弄清楚，这里经常会弄错还希望你能注意。
第五：余弦函数。和正弦函数一样，不过还有涉及到余弦的便会涉及到向量的数量积。其实在物理学的功的定义中便接触了。
第六：正切函数。注意它的间断点和周期与正余弦函数的差别。最重要的还是切化弦吧，还有就是直线斜率和正切的关系。
第七：余切，正割，余割，反三角函数，球面三角函数你接触一下吧。虽然高中基本不用对于你的学习还是有好处的。
第八：三角恒等变换。这里是三角函数的难点和重点。八个C级要求这里占了两个。再加上数量积一个，C级要求的三角函数就占了3个。主要思路：变角变名变次数。主要公式：两角和与差公式，二倍角公式及其推论（降幂扩角，升幂缩角），辅助角公式。
第九：两角和与差公式。这个公式如果你不会用，那请好好学。总共六个公式。记住之间正负号和函数的位置。很好记忆的。
第十：二倍角公式。二倍角公式三个。余弦公式中比较复杂，以及由它推导出来的降幂公式升幂公式也是变换的重点。
第十一：辅助角公式。这个其实是两角和函数的逆运算。它的出现频率却不低于二倍角函数，故特引起重视。
第十二：其他变换公式。万能代换就是一个bug，由半角公式推导而来。积化和差和差化积高中应用不多，大学就很重要了，最基本的极限理论就得用到它。三角公式繁多还有其他不列举。
第十二：解三角形。两个公式。正弦定理，余弦定理。优美公式勾股定理不要遗忘哦。计算三角形的面积的方法应该要掌握至少七种吧。
第十二：三角函数的导数。记住三个公式就可以了。
第十三：三角函数的应用。物理问题一般使用正余弦函数居多。实际问题或者是几何问题一般是正切函数居多。
第十四：若有兴趣请以后详读天文学基础教程和傅立叶分析教程。你就深深地被三角所迷了。

Ⅲ 高一数学函数题型及解题技巧有哪些

高一数学函数题型及解题技巧有：代入法、单调性法、待定系数法、换元法、构造方程法。

一、代入法

代入法主要有两种方式，一种是出现在选择题中，就是直接把题目的答案选项带入到题目中进行验证，这也是相对比较快的一种办法，另外一种就是求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数，带入函数的表达公式或者函数的性质，直接性的求解题目，通常适用于填空题，难度也也不会太大。

二、单调性法

单调性是在求解函数至于或者最值得时候很常见的一种高效解题的方法，函数的单调性是函数的一个特别重要的性质，也是每年高考考察的重点。但是不少同学由于对基础概念认识不足，审题不清，在解答这类题时容易出现错解。下面对做这类题时需注意的事项加以说明，以引起同学们的重视。

三、待定系数法

待定系数法解题的关键是依据已知变量间的函数关系，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是根据所给条件来确定这些未知系数，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

运用待定系数法解答函数问题的基本步骤是：1、首先要确定所求问题含有待定系数的解析式；2、根据题目中恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；3，用函数的基本性质解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

四、换元法

换元法主要用于解答复合函数题型问题，把一个小的函数表达式用一个变量来表现的形式称为换元法，运用换元法解题可以降低题目的难度，便于观察和理解。

五、构造方程法

不管哪种函数性坏死，函数的方程在运用中无疑是可以降低解题难度的，所以构造函数的方程也是经常会用到的一种解题技巧，特别是在高考解答题压轴题中，构造函数这个步骤也是可以取得很高分数的，所大家必须要重视构造函数法这个技巧。

Ⅳ 高中数学函数解题技巧

学习高中数学函数，数形结合思想是最基本的解题技巧。
首先把函数有关概念要记清楚，然后进行题型归纳。
函数相等，函数求解析式的6个题型，函数求定义域的2个题型，函数求值域的9个题型，这是函数三要素要掌握的。
函数的奇偶性需要掌握判断函数奇偶性的4个方法，分别是定义法怎么判断，奇偶函数运算法则判断，图像法判断，复合函数判断函数奇偶性。
已知函数的奇偶性，求参数的值相关题型，然后就是奇偶性的应用题型了，第一个是局部含有奇函数的应用，第二是根据函数的奇偶性求函数解析式的两个题型，第三是根据函数的奇偶性，解抽象函数不等式，比较函数值的大小，根据函数奇偶性画图像等。
学习函数单调性，周期性，对称性都是一样，题型归纳。
然后初等函数，记住运算公式，理解函数图像……
题型都会做了，函数上就没有没有问题了。

Ⅳ 初中函数解题技巧

初中数学不难学，但是要掌握一定的方法，下面9个方法贯穿了整个初中乃至高中数学，同学们务必要掌握哦！

1配方法

通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法，叫配方法。

配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2bxc=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，

最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

6构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，

从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

7面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。

运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。

所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

8几何变换法

在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。

中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。

另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。

几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。

9反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。