向量等式计算方法

㈠ 数学向量的所有公式

设亏氏哪a=（x,y）,b=(x',y').

1、向量的加法

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a。

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0。

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”。

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y')。

4、数乘向量

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa。

数对于向量的分配销码律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb。

相关概念

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一核困定适用。

因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

㈡ 向量的运算的所有公式是什么

向量的运算的所有公式是：

1、加法：已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

2、减法：AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。

3、数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。

向量代数规则：

1、反交换律：a×b=-b×a。

2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。

3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。

4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。

㈢ 平面向量的运算公式

设a=（x，y）
b=(x'，y')

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则

AB+BC=AC

a+b=(x+x'，y+y')

a+0=0+a=a

向量加法的运算律

交换律：a+b=b+a

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量
那么a=-b
b=-a
a+b=0
0的反向量为0

AB-AC=CB
即“共同起点，指向被减”

a=(x,y)
b=(x',y')
则
a-b=(x-x',y-y')

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量
记作λa
且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣

当λ＞0时
λa与a同方向

当λ＜0时
λa与a反方向

当λ=0时
λa=0，方向任意

当a=0时
对于任意实数λ
都有λa=0

注：按定义知
如果λa=0
那么λ=0或a=0

实数λ叫做向量a的系数
乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩

当∣λ∣＞1时
表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍

当∣λ∣＜1时
表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb

数乘向量的消去律：①
如果实数λ≠0且λa=λb
那么a=b
②
如果a≠0且λa=μa
那么λ=μ

3、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a
b
作OA=a
OB=b
则角AOB称作向量a和向量b的夹角
记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量
记作a•b
若a、b不共线
则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉
若a、b共线
则a•b=+-∣a∣∣b∣

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'

向量的数量积的运算律

a•b=b•a（交换律）

(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)

（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）

向量的数量积的性质

a•a=|a|的平方

a⊥b
〈=〉a•b=0

|a•b|≤|a|•|b|

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律
即：(a•b)•c≠a•(b•c)
例如：(a•b)^2≠a^2•b^2

2、向量的数量积不满足消去律
即：由
a•b=a•c
(a≠0)
推不出
b=c

3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由
|a|=|b|
推不出
a=b或a=-b

4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量
记作a×b
若a、b不共线
则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉
a×b的方向是：垂直于a和b
且a、b和a×b按这个次序构成右手系
若a、b共线
则a×b=0

向量的向量积性质

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积

a×a=0

a‖b〈=〉a×b=0

向量的向量积运算律

a×b=-b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

（a+b）×c=a×c+b×c

注：向量没有除法
“向量AB/向量CD”是没有意义的

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

①
当且仅当a、b反向时
左边取等号

②
当且仅当a、b同向时
右边取等号

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣

①
当且仅当a、b同向时
左边取等号

②
当且仅当a、b反向时
右边取等号

定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点
P是l上不同于P1、P2的任意一点
则存在一个实数
λ
使
向量P1P=λ•向量PP2
λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比

若P1（x1,y1)
P2(x2,y2)
P(x,y)
则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)
（定比分点向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ)

y=(y1+λy2)/(1+λ)（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=λOA
+μOB
且λ+μ=1
则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中
若GA
+GB
+GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ
使a=λb

a//b的重要条件是
xy'-x'y=0

零向量0平行于任何向量
[编辑本段]向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是
a•b=0

a⊥b的充要条件是
xx'+yy'=0

零向量0垂直于任何向量