曲面积分的计算方法

‘壹’ 请问对面积的曲面积分怎么计算拜托了，谢谢

如图所示：

‘贰’ 对坐标的曲面积分计算

一个记忆方法：
设想你面前有个正方体.你看到的上面,前面,右面是正.
其余为负.
实际的意义是：这三个面的法向量分别是三个轴的正向.
实际应用的时候你就将要判断的曲面法向,来跟这三个面的法向量比较.如果方向顺着某一个面的法向,那么为正侧.否则为负.
判断上下侧的话,不要管这个曲面在哪.首先看题目给的曲面的法向是哪里.比方说题目给的是向下.而你知道记忆中的正方体上面是正.而上面的法向是冲上的.因此曲面为下侧.
你补充的那个题目.没有指明曲面法向吗?通常都是说曲面法向指向Z轴正方向&rd

‘叁’ 这个曲面积分怎么算

像一个蛋筒冰淇淋

‘肆’ 曲面积分怎么算

曲面积分的话，你可以通过自己所学的公式，然后代入数据来运算。

‘伍’ 曲面积分计算问题（高斯定理的利用）计算曲面面积I = ∫∫2x^3dydz+2y...

简单计算一下即可，答案如图所示

‘陆’ 曲线曲面积分的计算

从概念上讲，第一类的，都是和方向无关的，对标量的积分。第二类的，都是和方向有关的，对某种意义上的矢量的积分。具体地说：第一类曲线积分是对长度的积分，第二类曲线积分是对坐标的积分，讲究曲线上演某方向的变化了。第一类区面积分，是对面积的积分，第二类区面积分是对二维坐标的积分，强调面积朝向某侧的情况。 从计算上讲，第一类的计算要求出长度或者面积微元的表示式，因此计算公式似乎复杂，但是记住公式之后，因为不用考虑方向，因此实际上简单。第二类的，不用考虑微元的表示式，直接就是对坐标积分，形式上简单，不过，在具体到某个线或者面的时候，要考虑是否要根据方向的变化分成不同的小段，在每个方向一致的小段上，还要考虑正负号，是否为零等等，实际上相对麻烦许多。 关于这两类积分（实际上是四类，不过我的称呼是分别针对面，线来说）实际上都有统一的公式。两类曲线积分可以通过方向余弦实现统一。两类区面积分可以通过切面的法向量方向余弦实现统一。 此处的学习重点除了上述内容之外，要特别注意 格林公式，高斯公式，斯托克斯公式，拉普拉斯算子，拉普拉斯反算子。这些在某些专业中应用更广泛。

‘柒’ 计算曲面积分F(t)=∫∫f(x,y,z)dS,曲面为x+y+z=t,

∵x²+y²+z²=t²，则z=±√(t²-x²-y²)，αz/αx=-(±x)/√(t²-x²-y²)，αz/αy=-(±y)/√(t²-x²-y²)

∴dS=√(1+(αz/αx)²+(αz/αx)²)dxdy=│t│dxdy/√(t²-x²-y²)

故 F(t)=∫∫<S>│t│(x²+y²)dxdy/√(t²-x²-y²) (S是圆域：x²+y²≤(t/√2)²)

=│t│∫<0,2π>dθ∫<0,t/√2>r²*rdr/√(t²-r²) (作极坐标变换)

=2π│t│∫<0,t/√2>(1/2)(√(t²-r²)-t²/√(t²-r²))d(t²-r²)

=π│t│((√2-4)│t│³/6+(2-√2)│t│)

=πt²((√2-4)t²/6+2-√2)。

(7)曲面积分的计算方法扩展阅读

曲面积分的物理背景为流量的计算问题，设某流体的流速为v=((P(x、y、z)，Q(x、y、z)，R(x、y、z))从某双侧曲面S的一侧流向另一侧，求单位时间内流经该曲面的流量。

对于曲面积分，积分曲面为u(x、y、z)=0，如果将函数u(x、y、z)=0中的x、y、z换成y、,x后，u(y、z、x)仍等于0，即u(y、z、x)=0。

也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x、y、z)dS=∫∫f(y、z、x)dS；如果将函数u(x、y、z)=0中的x、y、z换成y、x,、后，u(y、x、z)=0。

由于是有向曲面，设它的单位法向量为n=(coα，cosβ，cosγ)，取曲面面积微元dS，则所求的单位时间内流量微元就是dE=(v·n)dS，若记有向曲面向量微元为dS=ndS，则dE=v·dS。

‘捌’ 这道曲面积分怎么算

因为曲线L关于两坐标轴对称且y关于y是奇函数，所以∫yds=0
x²+y²=1具有轮换对称性(对换任意变量方程不变)，∫x²ds=∫y²ds

‘玖’ 第二类曲面积分如何计算

第二类曲面积分是矢量场通过有向曲面的面积分，不会遇到投影图为一条线段或者是封闭的曲线的情况，因为矢量v
和ds的点乘在正交情况下为零。
三重积分计算的是对空间体积内的积分，不会在所围体积外积分，对球体的积分利用球面坐标来计算，最后转化成
定积分算出，谈不上要加什么负号问题！只有调换积分的上下限才改变符号！
从以上问题来看基础知识你掌握的不好！

‘拾’ 计算曲面积分

∑在xoy面上的投影为圆域

Dxy：x²+y²≤R²

所以，
原式=∫∫[Dxy]x²y²dxdy
【利用极坐标计算】
=∫[0~2π]dθ∫[0~R]r^5·cos²θsin²θ·dr
=1/6·R^6·∫[0~2π]cos²θsin²θ·dθ
=1/24·R^6·∫[0~2π]sin²2θ·dθ
=1/48·R^6·∫[0~2π](1-cos4θ)·dθ
=π/24·R^6