广义逆矩阵的计算方法

1. 矩阵理论：求广义逆矩阵的应用 论文

http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_syhkgyxyxb200502026.aspx 矩阵是工程技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学工具,凡是用到矩阵的地方,基本上都要涉及广义逆矩阵,尤其数值分析与数理统计有着重要作用.广义逆矩阵共15类,但最常用有5类,包括A{1},A{1,2},A{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4}.主要讨论这5类广义逆矩阵的计算及其应用.作 者： 马秀珍 韩静华 MA Xiu-zhen HAN Jing-hua 作者单位： 沈阳航空工业学院理学系,辽宁,沈阳,110034 刊 名： 沈阳航空工业学院学报 英文刊名： JOURNAL OF SHENYANG INSTITUTE OF AERONAUTICAL ENGINEERING 年，卷(期)： 2005 22(2) 分类号： O175.14 关键词： 广义逆矩阵 矩阵方程 自反广义逆 最小范数广义逆 通解 机标分类号： 机标关键词： 广义逆矩阵应用数值分析数学工具数理统计经济管理工程技术计算 基金项目：

2. 如何利用消去变换计算逆矩阵，广义逆矩阵，求解线性

别的你都可以自己看教材，我就告诉你怎么求Moore-Penrose广义逆
先利用消去法得到满秩分解A=FG，其中F列满秩，G行满秩
然后A^+=G^+F^+，所以归结为求F^+和G^+
对于列满秩矩阵F而言，F^+=(F^*F)^{-1}F^*，这本质上就是最小二乘法
类似地，对于行满秩矩阵G而言，G^+=G^*(GG^*)^{-1}

3. 广义逆矩阵的计算方法

广义逆矩阵的计算方法大致可分为三类：以满秩分解和奇异值分解为基础的直接法，迭代法和其他一些常用于低阶矩阵的非凡方法。
以A+的计算为例。若A是一个秩为r的m×n阶非零矩阵，记作（图6），,有满秩分解A=F·G,其中（图7），则（图8），即将广义逆矩阵的计算化为通常逆矩阵的计算。常用LU分解和QR分解等方法实现满秩分解，然后求出A+。若A有奇异值分解A=UDV*，其中U、V为m阶和n阶酉矩阵，（图9）是m×n阶矩阵，∑是r阶对角阵，对角元（图10）是A的r个非零奇异值（AA*的非零特征值的平方根），则A+=VD+U*，其中（图11）是n×m阶矩阵。也可用豪斯霍尔德变换先将 A化为上双对角阵J0=P*AQ，然后再对J0使用QR算法化为矩阵D=G*J0h，于是A=(PG)D(Qh)*，故A+1=(Qh)D+(PG)*。设λ1是AA*的最大非零特征值，若0<α<2/λ1，则计算A+的一个迭代法是x0=αA*，xn+1=(2I-Axn)，当n→∞时，xn收敛于A+。
格雷维尔逐次递推法也是计算A+的常用方法。设A的第k列为αk(k=1,2,…,n)，A1=α1,Ak=(Ak-1,αk)(k=2,3，…,n),则（图12），式中（图13）（图14）。
1955年以后，出现了大量的关于广义逆矩阵的理论、应用和计算方法的文献。70年代还出版了一些专着和会议录，指出广义逆矩阵在控制论、系统辨识、规划论、网络理论、测量、统计和计量经济学等方面的应用。

4. 求矩阵的广义逆 满秩分解

设A是矩m*n阶矩阵,秩r(A)=r<=min(m,n),求出m*r阶矩阵B,r*n阶矩阵C,使得A=BC,其中r(B)=r(C)=r,即B是列满秩的,C是行满秩的,称为满秩分解,实现满秩分解的方法很多,常用的算法稳定的方法是正交化的方法,求出满秩分解后,此时B^T*B,C*C^T均是r阶非奇异矩阵,则C^T(C*C^T)^-1*(B^T*B)^-1*B^T就是A的Moore-Penrose广义逆矩阵.如果A是复矩阵,将上面的转置改为共轭转置即可.

5. 初等变换法求广义逆矩阵

直接求不就得了。。干嘛用初等矩阵法？？？、

6. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 ax=b 是否有解 并求极小范数 最小二乘 解

如下：

线性方程组：A(mxn)X = b ------ (1)

A是m行n列(m>n)的行列式:A'是A的转置矩阵，将(1)变成

（A'A）X = A'b - - - - (2)

(A'A)是nxn阶方阵，它的逆矩阵称为广义逆矩阵。

(A'A)行列式不为零，方程组(2)有唯一解，且与(1)的最小二乘解相对应！此结论的证明也不复杂。

思想：

广义逆的思想可追溯到1903年（E.）I.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆（他称之为伪逆）。

1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。

7. 请问奇异矩阵如何求广义逆矩阵，都说用svd，请问如何用svd分解的三个矩阵求取广义逆矩阵

Ref: http://www.docin.com/p-523643488.html, Page 5

8. 列矩阵怎么求广义逆矩阵

A=0时A^+=A^T
A非零时可以用A^+=(A^TA)^{-1}A^T=A^T/(A^TA)

9. 广义逆矩阵的简介

注：下文中^后面的内容为上标
广义逆矩阵是对逆矩阵的推广。 若A为非奇异矩阵，则线性方程组Ax=b的解为x=A^(-1)b，其中A的逆矩阵A^(-1)满足A^(-1)A=AA^(-1)=I(I为单位矩阵)。若A是奇异阵或长方阵，Ax=b可能无解或有很多解。若有解，则解为x=Xb+(I-XA)у，其中у是维数与A的列数相同的任意向量，X是满足AXA=A的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵，用A^g、A^-或A^(1)等符号表示，有时简称广义逆。当A非奇异时，A^(-1)也满足AA^(-1)A=A，且x=A^(-1)b+(I-A^(-1)A)у=A^(-1)b。故非异阵的广义逆矩阵就是它的逆矩阵，说明广义逆矩阵确是通常逆矩阵概念的推广。
存在一个唯一的矩阵M使得下面三个条件同时成立：
(1) AMA=A;
(2)MAM=M;
(3)AM与MA均为对称矩阵。
这样的矩阵M成为矩阵A的Moore-Penrose广义逆矩阵，记作M=A(^+).
注：^后面的内容为上标 1955年R.彭罗斯证明了对每个m×n阶矩阵A，都存在唯一的n×m阶矩阵X，满足：①AXA=A；②XAX=X；③(AX)*=AX；④(XA)*=XA。通常称X为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵，简称M-P逆，记作A^+。当A非奇异时，A^(-1)也满足①～④，因此M-P逆也是通常逆矩阵的推广。在矛盾线性方程组Ax=b的最小二乘解中，x=A^(-1)b是范数最小的一个解。
若A是n阶方阵，k为满足（图1）的最小正整数（rank为矩阵秩的符号），记作k=Ind(A)，则存在唯一的n阶方阵X，满足：(1) AkXA=Ak；(2) XAX=X； (3) AX=XA。 广义逆的思想可追溯到1903年（E.）I.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆（他称之为伪逆）。1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展。曾远荣在1933年，F.J.默里和J.冯·诺伊曼在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。20世纪50年代围绕着某些广义逆的最小二乘性质的讨论重新引起了人们对这个课题的兴趣。1951年瑞典人A.布耶尔哈梅尔重新发现了穆尔所定义的广义逆，并注意到广义逆与线性方程组的关系。T.N.E.格雷维尔、C.R.拉奥和其他人也作出了重要的贡献。1955年，彭罗斯证明了存在唯一的X=A+满足前述性质①～④，并以此作为 A+的定义。1956年，R.拉多证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称A+为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。