系统模型的计算方法

Ⅰ 常用的系统建模方法的适用范围和局限性

常用的系统建模方法的适用范围和局限性？系统建模方法

2.1系统抽象与数学描述

2.1.1 实际系统的抽象

本质上讲，系统数学模型是从系统概念出发的关于现实世界的一小部分或几个方面的抽象的“映像”。

为此，系统数学模型的建立需要建立如下抽象:输入、输出、状态变量及其间的函数关系。这种抽象过程称为模型构造。抽象中，必须联系真实系统与建模目标，其中描述变量起着很重要的作用，它可观测，或不可观测。

从外部对系统施加影响或干扰的可观测变量称为输入变量。 系统对输入变量的响应结果称为输出变量。

输入、输出变量对的集合，表征着真实系统的“输入-输出”性状(关系)。

综上述，真实系统可视为产生一定性状数据的信息源，而模型则是产生与真实系统相同性状数据的一些规则、指令的集合，抽象在其中则起着媒介作用。系统数学建模就是将真实系统抽象成相应的数学表达式(一些规则、指令的集合)。

- 1 -

(可观测)

输入变量 (可观测) 输出变量

ωt) 黑箱

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灰箱

白箱 ω(t)、ρ(t)---输入输出变量对

真实系统建模的抽象过程

- 2 -

2.1.2 系统模型的一般描述及描述级(水平)

2.1.2.1 系统模型的一般描述:

一个系统的数学模型可以用如下七元组集合来描述:

S??T,X,?,Q,Y,?,??

其中:

T:时间基，描述系统变化的时间坐标，T为整数则称为离散时间系统，为实数则称为连续时间系统;

X:输入集，代表外部环境对系统的作用。

?:输入段集，描述某个时间间隔内的输入模式，是?X,T?的一个子集。

Q:内部状态集，描述系统内部状态量，是系统内部结构建模的核心。 ?:状态转移函数，定义系统内部状态是如何变化的，是一个映射。 Y:输出集，系统通过它作用于环境。

?:输出函数，是一个映射，给出了一个输出段集。

2.1.2.2 系统模型描述级(水平):

按照系统论的观点，实际系统可在某种级(水平)上被分解，因此系统的数学模型可以有不同的描述级(水平):

? 性状描述级

性状描述级或称为行为描述级(行为水平)。在此级上描述系统是将

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系统堪称黑箱，并施加输入信号，同时测得输出响应，结果是得出一个输入-输出对:(ω，ρ) 及其关系Rs={(ω，ρ):Ω，ω，ρ}。 - 3 -

因此，系统的性状级描述只给出输入-输出观测结果。其模型为五元组集合结构:

S=(T，X，Ω，Y， R)

当ω，ρ满足ρ =f(ω)函数关系时，其集合结构变为: S=(T，X，Ω，Y， F)

黑箱

? 状态描述级

在状态结构级(状态结构水平)上，系统模型不仅能反映输入-输出关系，而且应能反映出系统内部状态，以及状态与输入、输出间的关系。即不仅定义了系统的输入与输出，而且定义了系统内部的状态集及状态转移函数

系统的数学模型对于动态结构可用七元组集合来描述:

S=(T，X，Ω，Q，Y，δ，λ)

对于静态结构有:

S=(X，Q，Y，λ)

白箱

? 复合结构级

系统一般由若干个分系统组成，对每个分系统都给出行为级描述，被视为系统的一个“部件”。这些部件有其本身的输入、输出变量，以及部件间的连接关系和接口。于是，可以建立起系统在复合结构级(分解结构

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级)上的数学模型。

这种复合结构级描述是复杂系统和大系统建模的基础。

应该强调:

? 系统分解为复合结构是无止境的，即每个分系统还会有自己的复合结构;

? 一个有意义的复合结构描述只能给出唯一的状态结构描述， - 4 -

而一个有意义的状态结构描述本身只有唯一的性状(行为)描述;

? 系统上述概念必须允许分解停止，又允许进一步分解，既包含递归可分解性。

灰箱

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2.2 相似概念简介

2.2.1 相似概念及含义

仿真的理论依据:相似论。

自然界中广泛存在着“相似”概念，最普遍的是:

几何相似:最简单、最直观，如多变形、三角形相似;

现象相似:几何相似的拓展，如物理量之间存在的比例关系。 采用相似技术来建立实际系统的相似模型，这是相似理论在系统仿真中基础作用的根本体现。

2.2.2 相似分类

绝对相似:两个系统(如系统原型与模型)全部几何尺寸和其他相应参数在时空域上产生的全部变化(或全部过程)都是相似的;

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完全相似:两个系统在某一相应方面的过程上相似，如发电机的电流电压问题，模型与原型在电磁现象方面是完全相似即可，而无需考虑热工和机械方面的相似;

不完全相似(局部相似):仅保证研究部分的系统相似，而非研究和不要求部分的过程可能被歪曲，为研究目的所允许;

近似相似:某些简化假设下的现象相似，数学建模要保证有效性。

不同领域中的相似有各自的特点，对领域的认识水平也不一样: 环境相似(几何相似、参量比例相似等):结构尺寸按比例缩小得到的模型-缩比模型，如风洞、水洞实验所用的模型。

离散相似:差分法、离散相似法把连续时间系统离散化为等价的离散时间系统。

性能相似(等效、动力学相似、控制响应相似等):数学描述相同或者频率特性相同，用于构造各类仿真的相似原则。

感觉相似(运动感觉、视觉、音响感觉等):耳、眼、鼻、舌、 - 6 -

身等感官和经验，MIL仿真把感觉相似转化为感觉信息源相似，培训仿真器、VR均是利用这种相似原则。

思维相似:逻辑思维相似和形象思维相似(比较、综合、归纳等)，专家系统、人工神经元网络。

系统具有内部结构和外部行为，因此系统的相似有两个基本水平:结构水平和行为水平。

同构必具有行为等价的特性，但行为等价的两个系统并不一定具有同构关系。

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Ⅱ 系统模型的建模方法

根据系统对象的不同，则系统建模的方法可顷兆分为推理法、实验法、统计分析法、混合法和类似法。
根据系统特性的不 同描述，则系信敬统建模的方法可以有状态空间法、结构模型解析法（ISM）雀坦租以及最小二乘估计法（LKL）等。其中，最小二乘估计法 （LKL）是一种基于工程系统的统计学特征和动态辨识，寻求在小样本数据下克服较大观测误差的参数估计方法，它属于动态建模范畴。

Ⅲ 系统分析方法与步骤，和模型建立

上面那个人的回答好搞笑= =

简单来说，包括四个部分：建立概念模型，建立定量模型，模型检验，模型应用。
建立生态数学模型的方法一般认为至少有两种途径：
一种是分室方法，用以研究生态系统中各分室的物质与能量的流动，并给出定量的表示。
一种是实验组成成分法，主要用于复杂生态系统的生态过程(如捕食，竞争等)的分析。
可以概括如下：

模型准备 首先要明确地定义所研究的问题，确定建模目的，确定系统边界，确定模型的组分（输入和输出变量，初始和驱动变量，参数，时空尺度），建立流程图。了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.
模型假设 根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏.
建立定量模型（或概念模型的定量化）： 选择模型类型，建立模型（确定变量间的函数关系）， 参数估计和校准（calibration），编写计算机程序，模型确认（model verification）：仔细检查数学公式和计算机程序，撰写模型文档资料。
模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术．
模型分析 对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等．
模型检验 把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性．这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待．当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了．模型检验的结果如果不符合或者部分不符合实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意．
模型时空延扩：把建立好的模型在时间和空间尺度进行扩展
模型应用： 应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的。
模型运行和评价 Levins(1966)曾提出组建数学模型的三条标准：
⑴真实性，模型的数学描述要符合生态系统实际；
⑵精确性，是指模型的预测值与实际值之间的差异程度，
⑶普遍性，即模型的适用范围和广度。
实际中，一个模型要同时满足这三条标准是十分困难的，Walters对此做了较精辟的论述，同时还介绍了两个与真实性和普遍性有关的指标，即分辩率(resolution)和完整性(wholeness)。这两个概念分别由Bledsoe和Jamieson(1969)及Holling(1966)提出的。
总之，并不是所有建模过程都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明．建模时不应拘泥于形式上的按部就班，在实际建模过程中可以灵活采取。

Ⅳ 地下水资源模型计算

数值模型模拟计算方法适用于非均质性、各向异性的复杂地下水系统，包括存在越流和具有不规则形状各类边界条件等情况。但是该方法对资料的要求比较严格，要求研究程度较高和资料较丰富。应用数值模型方法的一般程式为：①气象、水文、水文地质资料分析→②水文地质概念模型概化→数学模型建立（水动力方程和定解条件）→③选择计算程序→④模型设计→⑤模型识别和检验→⑥计算模拟。

一、水文地质概念模型建立

在对黑河流域地下水系统做了全面、深入分析的基础上，根据研究目的，对地下水系统的组成要素和相互关系作出合理的简化和假设，并且用文字、框图、平面图、剖面图等形式把系统再现出来，即为地下水系统概念模型。

（一）地下水系统空间结构概化与边界确定

1.图式表示地下水系统空间结构

根据黑河流域水文地质图和水文地质剖面图，梳理和划分主要含水层、隔水层与弱透水层，阐明它们的产状、分布范围和厚度等，确定透水、阻水等断层属性。分析地下水系统的各类等值线图，包括第四系基底埋深等值线图、地下水水头等值线图、含水层顶底板高程等值线图、含水层和隔水层的厚度等值线图等。

2.确定地下水系统边界

地下水系统的边界，包括自然边界（固定边界）和水力边界（可移动边界）。自然边界包括不透水岩层、不透水断层或断裂带、较大的地表水体等；水力边界包括地下水分水岭和地下水流线等。

数值模型模拟研究，其对象的底界一般为不透水岩层。侧向边界可以是自然边界，也可以是水力边界或无穷远边界（边界水头或流量不受输入条件的影响）。模拟顶界，对于承压水系统而言，一般为不透水边界或越流边界，对于潜水系统一般采用大气边界（蒸发和入渗）。地下水系统内部边界包括零流量边界（不透水岩体）和流量边界（河流、湖泊或水库的渗流带）等。

3.水文地质参数

水文地质参数是数值模型模拟研究的灵魂，一般包括含水层组的渗透系数、导水系数、给水度、储水率、储水系数、孔隙度、垂向渗透系数和越流系数，以及包气带的降水入渗系数、河道渗漏系数、井灌回归系数、田间与渠道渗漏系数、潜水蒸发系数和陆面蒸发系数等。

确定降水入渗补给系数、灌溉渗漏系数、蒸发系数等方法，有水文分析法（降水量、河流径流量曲线、地下水水头动态曲线等）、直接试验法（地渗仪、张力计、同位素示踪等）、计算法（氯质量平衡法、非饱和模型法等）、经验公式法和ZFP零通量面实测法等。

（二）地下水流系统概化

对地下水流系统进行概化，包括确定地下水的基本流向、地下水补给要素组成、排泄模式、地下水与地表水之间转化关系、不同层位含水层之间水力关系等。主要依据有，地下水水头等值线图、水化学信息、同位素信息、地下水温度信息和水位动态曲线等。

根据地下水流状态及其特征，确定所研究的地下水流系统具体属性，例如稳定流或非稳定流，一维流、二维流、准三维流或三维流等。

（三）模型输入量计算

降水入渗、地表水入渗（河渠）、地下水侧向流入、灌溉入渗、蒸发蒸腾、泉水排泄、基流排泄、地下水侧向流出、开采等。

二、建立数学模型

根据建立的水文地质概念模型，选择适宜数学模型。一般由描述地下水运动规律的偏微分方程和反映地下水系统边界条件及初始条件的定解条件组成。

非均质承压水三维非稳定流偏微分方程为

西北内陆黑河流域水循环与地下水形成演化模式

非均质无压水三维非稳定流偏微分方程有下列几种情况：第一类边界条件（狄利克雷边界）为

西北内陆黑河流域水循环与地下水形成演化模式

第二类边界条件（纽曼边界）为

西北内陆黑河流域水循环与地下水形成演化模式

初始条件为

西北内陆黑河流域水循环与地下水形成演化模式

三、计算程序、模型设计与识别

（一）计算程序与模型设计

计算程序分为一维流、二维流、准三维流或三维流模型，以及对均质、非均质、各向同性或各向异性和对不同输入项的处理能力。目前，可供软件有MODFLOW、FEWFLOW、PM、GMS、GWVISTA、MODME、PM等，它们多为有限差分法和有限元法。模型设计，包括网格剖分（规则剖分或不规则剖分、三角剖分或矩形剖分）、选择时间步长（试算法）、设置模型边界、设置初始条件、数据输入（降水入渗速率、田间灌溉入渗速率、蒸发速率、水井位置及开采或回灌强度、地下水与地表水相互作用的时空分布、泉的时空分布、边界水位或边界流量、观测井位置及观测水位等）。

（二）模型识别与检验

1.模型识别

模型识别亦称反演问题，即利用实测地下水动态资料和抽水试验资料，反求水文地质参数或源汇项和定解条件的过程。模型识别是为了解决选用的偏微分方程是否合适问题，确定模型中的水文地质参数和源汇项及定解条件，从而建立一个能再现地下水系统实际功能（水头或浓度）的模拟模型。模型识别一般采用试估-校正法。就是选择一合适的时段，根据水文地质条件和经验数据估算一组水文地质参数输入模型，利用所选时段的输入输出数据，求解模型。然后以模型计算结果与实测结果比较，如果拟和结果不符合精度要求，适当调整参数，重复上述过程，直到符合精度要求为止。也可以采用试估-校正法与最优化方法相结合的方法。首先用试估-校正法粗调，然后用最优化方法细调，即用最优化方法求得一组最佳的参数值，使得计算水头值与观测值之间的差值在给定的约束条件下，达到极小。

模型识别的结果具有多解性。要识别的参数数目应少于总数据数目。也就是说必须要有已知量。已知量愈多，反求的参数愈精确，由此建立的模型的适用性就愈好。正因为模型识别结果的多解性，所以对于同一个问题，不同的人所求得的参数组合不同，甚至同一个人在不同的时间所求得的参数也不同。显然，模型识别的参数不一定是含水层所固有的参数。因此，有人称模型识别的参数为“模型参数”，以示区别。尽管模型参数不能完全反映实际系统的参数，但是模型参数有其特殊作用，它能够使得数学模型在行为和功能上代替实际的地下水系统，成为地下水系统的“复制品”。

2.模型检验

为了检验识别后的模型的可靠性，需要采用同一系统的另一时段的数据资料输入模型进行检验。如果计算结果符合实际资料，则可以说明模型能真实反映实际系统。需要指出的是，在模型识别和模型检验阶段所用的两组数据资料，必须是相对独立的不同时间段的资料。

模型灵敏度分析的目的是了解参数变化对计算结果的影响，同时识别重要参数。灵敏度分析一般在模型识别之前进行，也可以在模型识别之后进行。

选取要分析的一个参数（θ），然后固定其余参数，改变θ的数值分析计算结果。这时计算水头（g）就是θ的函数，即g=f（θ）。则有如下定义：在θ=θ₀附近，水头变量g（θ）相对于原值g^*（θ）的变化率和参数θ相对于θ₀的变化率之比称为水头对参数θ的灵敏度，以下式表示：

西北内陆黑河流域水循环与地下水形成演化模式

四、黑河流域模拟区水文地质条件概化

地下水数量转化研究的数值模型模拟区，选择了张掖盆地和酒泉东盆地，包括张掖、临泽、高台的所有灌区和民乐及山丹的个别灌区，还有肃南县明花区，面积近9000 km²。

数值模拟区是只有侧向流入而没有侧向流出的山间断陷盆地，其间充填了巨厚的松散沉积物，构成赋存地下水的天然场所，为连续和统一的第四纪含水岩系综合体，周边山体为天然的地质边界。在张掖盆地，地下水自南东向北西运动，泄于黑河干流而流出区外。西部酒泉东盆地，地下水由南西向北东运动，榆木山至高台县城一线为两盆地天然汇水线。

数值模拟区地下水的主要补给来源是河水（含雨洪水）、渠系引水和田间灌溉水的垂直入渗，而泉水溢出、蒸发和人工开采是主要排泄方式。

据均衡计算结果，1999年区内补给量为11.94×10⁸ m³，排泄量为14.09×10⁸ m³，均衡差为-2.15×10⁸ m³，数值模拟区处于负均衡状态，地下水水位呈下降态势。

数值模拟区周边皆为二类流量边界。山区边界沿山前大断裂分布，流入量主要为基岩裂隙水侧向流入和沟谷潜流。东部民乐、山丹断面和西部明花区断面为区外侧向流入量，利用断面法求得。南部新坝-红崖子隐伏断层使地下水流不连续，作为该段边界，概化的水文地质模型如图5-1。

五、数学模型概化

数值模拟区南半部为潜水、北半部为承压水，适宜采用潜水-承压水数学模型。但是各灌区开采地下水的程度不同，一些地带已将潜水与承压水连通，承压水头与潜水水位动态变化具有一致性。因此，将模型概化为非均质各向同性二维流潜水模型。鉴于区域面积大，地下水水位年变幅小，与含水层厚度相比可忽略，所以用导水系数（T）近似代替渗透系数（K）与含水层厚度（H）之积。

数学模型及定解条件如下：

图5-1 黑河流域模拟区水文地质模型概化图

西北内陆黑河流域水循环与地下水形成演化模式

式中：T——含水层导水系数（m²/d）；

μ——含水层给水度（无量纲）；

Wb——各项补给项强度之和（m³/km²·d）；

Wp——各项排泄项强度之和（m³/km²·d）；

q——流量边界单宽流量（m³/km²·d）；

Γ₂——流量边界代号；

n——边界上的内法线方向。

采用线性插值，伽辽金有限元法解上述方程组，见程序框图（图5-2）。

图5-2 黑河流域数值模型模拟程序求解流程

六、定 解 条 件

（一）初始条件

以1999年水位统测结果为基础，结合地下水动态长观资料，绘制1月份等水位线图为初始流场。采用三角剖分法将计算区剖分成1421个单元，799个结点。其中内结点624个，边界点175个。水位观测点33个，均分布于结点上（图5-3）。同时尽量把结点布置在概化的灌区边界上。

（二）计算时段

以1999年元月初至12月末每个自然月实际天数为时段长度，全年共分12个时段。

（三）水文地质参数

根据黑河勘察报告研究成果，数值模拟区参数取值范围T值为100～6500 m²/d，μ值为0.1～0.25之间。参数分区以灌区为基础，按不同埋深划分。

（四）源汇项

计算区地下水主要靠河水、渠系引水、灌溉水、降水凝结水入渗及边界流入补给。消耗于蒸发蒸腾、泉水溢出和人工开采。有关参数的选取，主要依据黑河报告和各县水利部门研究成果，补给量与排泄量通过水量均衡方法计算求得。

由于数值模拟区范围较大，而且区内农业发达、干支渠密布，沿主要河流（黑河）引水口众多，所能收集到的水文和水利资料有限，所以剖分不宜过细，可将河水（含雨洪）、渠系水、灌溉水和降凝水入渗及人工开采处理为面状量，把各灌区不同埋深均衡计算结果以单位面状量进入模型，补给项为正，排泄项为负。非灌溉期（1～3月，10～12月）的渠系水和灌溉水入渗及人工开采量强度为0，灌溉期（4～9月）摊分全年入渗量。

图5-3 黑河流域数值计算区剖分图

1999年河水入渗量占当年黑河（莺落峡）径流量的32%，每月径流量占全年径流量的比例分配到12个时段。降水、蒸发强度按各月份所占全年比值分配到12个时段。1～3月和10～12月的降水为0，4～6月降水占30%，7～9月降水占70%。按地下水水位不同埋深，计算蒸发量，其中1～3月占13%，4～6月占41%，7～9月占35%，10～12月占11%。

泉水溢出带均分布于细土平原、地下水水位埋深小于3.5m的地带，各泉沟及黑河河床地下水水位高于河床标高，实际为线状量。但是因剖分单元较大，无法准确描述，所以将线状量处理成面状量，假设地下水水位埋深小于3.5m带为泉水溢出带，具体做法将所有结点地面高程减去3.5m，于是该区地下水水位埋深值为负。将1999年泉水溢出量除以该区面积，再除以平均水头差1.5m，获得单位水头差条件下泉水溢出强度，引入模型。然后根据各时段水头变化，获得不同时段的泉水溢出量。

数值模拟区边界为透水边界或弱透边界，均给出单宽流量，全年一致，不再按时段划分。

七、数 模 结 果

按上述补给与排泄要素及其参数，采用观测点的地下水水位拟合，对1999年实施模型进行识别。

区内共有观测点33个，集中在张掖、临泽、高台的细土平原带。在调参过程中，不断缩小拟合点误差，兼顾初始流场与计算流场形态一致，并且每个节点水位偏差不宜过大。调参结果，数值模拟区共有60个参数分区，如图5-4和表5-2所示。观测点拟合结果如图5-5和图5-6所示，地下水流场拟合情况如图5-7所示。

图5-4 黑河流域数值模拟参数分区图

表5-2 黑河流域模型采用的有关水文地质参数