常用的数值计算方法

① 什么是有限元法和有限差分法

有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。

有限差分方法（finite difference method）一种求偏微分（或常微分）方程和方程组定解问题的数值解的方法，简称差分方法。

(1)常用的数值计算方法扩展阅读：

有限差分法（FDM）的起源，讨论其在静电场求解中的应用。以铝电解槽物理模型为例，采用FDM对其场域进行离散，使用MATLAB和C求解了各节点的电位。由此，绘制了整个场域的等位线和电场强度矢量分布。同时，讨论了加速收敛因子对超松弛迭代算法迭代速度的影响，以及具有正弦边界条件下的电场分布。

有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。

该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。

该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

② 数值计算方法丁丽娟pdf

《数值计算方法》是作者丁丽娟、程杞元团队根据数值计算方法课程的基本要求,在多年的教学实践和原有教材基础上编写而成的,包含了数值代数、数值逼近和常微分方程数值解法的基本内容。力求全面、系统地介绍求解各类数学问题近似解的基本、常用的方法,并且着重阐明构造算法的基本思想与原理。

汽车公司会利用电脑模拟汽车撞击来提升汽车受到撞击时的安全性。电脑的模拟会需要求出偏微分方程的数值解。对冲基金会利用各种数值分析的工具来计算股票的市值及其变异程度。航空公司会利用复杂的最佳化算法决定票价、飞机、人员分配及用油量。此领域也称为作业研究。保险公司会利用数值软件进行精算分析。计算太空船的轨迹需要求出常微分方程的数值解。

③ 除有限单元法外，岩土工程常用到哪些数值方法，并对比其优缺点

岩土工程常用的数值方法包括：有限差分法、边界元法、离散元法、颗粒元法、不连续变形分析法、流形元法、模糊数学方法、概率论与可靠度分析方法、灰色系统理论、人工智能与专家系统、神经网络方法、时间序列分析法。
有限单元法的优缺点：有限单元法的理论基础是虚功原理和基于最小势能的变分原理，它将研究域离散化，对位移场和应力场的连续性进行物理近似。有限单元法适用性广泛，从理论上讲对任何问题都适用，但计算速度相对较慢。即，物理概念清晰、灵活、通用、计算速度叫慢。
有限差分法：该方法适合求解非线性大变形问题，在岩土力学计算中有广泛的应用。有限差分法和有限单元法都产生一组待解方程组。尽管这些方程是通过不同方式推导出来的，但两者产生的方程是一致。另外，有限单元程序通常要将单元矩阵组合成大型整体刚度矩阵，而有限差分则无需如此，因为它相对高效地在每个计算步重新生成有限差分方程。在有限单元法中，常采用隐式、矩阵解算方法，而有限差分法则通常采用“显式”、时间递步法解算代数方程。
边界元法：该方法的理论基础是Betti功互等定理和Kelvin基本解，它只要离散求解域的边界，因而得到离散代数方程组中的未知量也只是边界上的量。边界元法化微分方程为边界积分方程，离散划分少，可以考虑远场应力，有降低维数的优点，可以用较少的内存解决较大的问题，便于提高计算速度。
离散元法：离散元法的理论基础是牛顿第二定律并结合不同的本构关系，适用对非连续体如岩体问题求解。该方法利用岩体的断裂面进行网格划分，每个单元就是被断裂面切割的岩块，视岩块的运动主要受控于岩体节理系统。它采用显式求解的方法，按照块体运动、弱面产生变形，变形是接触区的滑动和转动，由牛顿定律、运动学方程求解，无需形成大型矩阵而直接按时步迭代求解，在求解过程中允许块体间开裂、错动，并可以脱离母体而下落。离散元法对破碎岩石工程，动态和准动态问题能给出较好解答。
颗粒元法：颗粒元方法是通过离散单元方法来模拟圆形颗粒介质的运动及其相互作用，它采用数值方法将物体分为有代表性的多个颗粒单元，通过颗粒间的相互作用来表达整个宏观物体的应力响应，从而利用局部的模拟结果来计算颗粒群群体的运动与应力场特征。 不连续变形分析方法：该方法是并行于有限单元法的一种方法，其不同之处是可以计算不连续面的错位、滑移、开裂和旋转等大位移的静力和动力问题。此方法在岩石力学中的应用备受关注。
流形元法；该方法是运用现代数学“流形”的有限覆盖技术所建立起来的一种新的数值方法。有限覆盖是由物理覆盖和数学覆盖所组成的，它可以处理连续和非连续的问题，在统一解决有限单元法、不连续变形分析法和其他数值方法的耦合计算方面，有重要的应用前景。
无单元法：该方法是一种不划分单元的数值计算方法，它采用滑动最小二乘法所产生的光滑函数去近似场函数，而且又保留了有限单元法的一些特点。它只要求结点处的信息，而不需要也没有单元的信息。无单元法可以求解具有复杂边界条件的边值问题，如开裂问题，只要加密离散点就可以跟踪裂缝的传播。它在解决岩石力学非线性、非连续问题等方面具有重要价值和发展前景。
混合法：对于复杂工程问题，可采用混合法，即有限单元法、边界元法、离散元法等两两耦合来求解。
模糊数学方法：模糊理论用隶属函数代替确定论中的特征函数描述边界不清的过渡性问题，模糊模式识别和综合评判理论对多因素问题分析适用。 概率论与可靠度分析方法：运用概率论方法分析事件发生的概率，进行安全和可靠度评价。对岩土力学而言，包括岩石（土）的稳定性判断、强度预测预报、工程可靠度分析、顶板稳定性分析、地震研究、基础工程稳定性研究等。
灰色系统理论：以“灰色、灰关系、灰数”为特征，研究介于“黑色”和“白色”之间事件的特征，在社会科学及自然科学领域应用广泛。岩土力学中，用灰色系统理论进行岩体分类、滑坡发生时间预测、岩爆分析与预测、基础工程稳定性、工程结构分析，用灰色关联度分析岩土体稳定性因素主次关系等。
人工智能与专家系统：应用专家的知识进行知识处理、知识运用、搜索、不确定性推理分析复杂问题并给出合理的建议和决策。岩石力学中，可进行如岩土（石）分类、稳定性分析、支护设计、加固方案优化等研究。 神经网络方法：试图模拟人脑神经系统的组织方式来构成新型的信息处理系统，通过神经网络的学习、记忆和推理过程进行信息处理。岩石力学中，用于各种岩土力学参数分析、地应力处理、地压预测、岩土分类、稳定性评价与预测等。
时间序列分析法：通过对系统行为的涨落规律统计，用时间序列函数研究系统的动态力学行为。岩石力学中，用于矿压显现规律研究、岩石蠕变、岩石工程的位移、边坡和硐室稳定性等、基础工程中降水、开挖、沉降变形等与时间相关的问题。

④ 计算物理学中常用的数学方法有哪些

计算物理学是一门新兴的边缘学科。利用现代电子计算机的大存储量和快速计算的有利条件，将物理学、力学、天文学和工程中复杂的多因素相互作用过程，通过计算机来模拟。如原子弹的爆炸、火箭的发射，以及代替风洞进行高速飞行的模拟试验等。
理论物理是从一系列的基本物理原理出发，列出数学方程，再用传统的数学分析方法求出解析解，通过这些解析解所得到的结论和实验观测结果进行对比分析，从而解释已知的实验现象并预测未来的发展。
随着计算机技术的飞速发展和计算方法的不断完善，计算物理学在物理学进一步发展中扮演着越来越重要的不可替代的角色，计算物理学越来越经常地与理论物理学和实验物理学一起被并称为现代物理学的三大支柱。很难想象一个21世纪的物理系毕业生，不具备计算物理学的基本知识，不掌握计算物理学的基本方法。
它主要包括在传统物理课题中常用的数值计算方法(如偏微分方程的数值求解方法、计算机模拟方法中的随机模拟方法-蒙特卡罗方法和确定性模拟--分子动力学方法以及神经元网络方法)以及计算机符号处理等内容。

⑤ 数值分析中常用的求积公式有哪几中

构造一个多项式近似代替某个未知函数或复杂函数.据此,可以推导用来近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式.这就是数值积分与数值微分的基本内容.推导积分和导数的数值计算公式的重要性是显而易见的
插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一.
插值型求积公式
复合求积公式
Romberg求积公式
牛顿－科特斯求积公式及其余项
机械型求积公式
梯形求积公式
龙贝格求积公式
辛普森(Simpson)求积公式
抛物线求积公式
复合Simpson求积公式
牛顿求积公式
Gauss型求积公式
有理Gauss-Lobatto求积公式
Gauss - Legendre求积公式
复化Gauss型求积公式
柯特斯求积公式及其余项公式
三角形三斜求积公式
辛普森 (Simpson) 求积公式或抛物线求积公式:
梯形求积公式对所有次数不超过1 的多项式是准确成立的；
辛普森求积公式对所有次数不超过3 的多项式是准确成立的；
牛顿求积公式对所有次数不超过3 的多项式是准确成立的；
柯特斯求积公式对所有次数不超过5 多项式是准确成立的.
此牛顿-柯特斯求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的.
由于龙格现象存在,不难得知,牛顿-柯特斯求积公式不一定具有收敛性.
稳定性和收敛性可知,数值计算中应主张使用低阶的牛顿-柯特斯求积公式.太多了,不再列举了,有时间切磋切磋

⑥ 计算方法这门课主要学什么

计算方法这门课主要学现代科学计算中常用的数值计算方法及其原理。

计算方法是信息与计算科学专业的一门主要专业基础课程。使学生学习并掌握现代科学计算中常用的数值计算方法及其原理。

包括线性方程组的数值解、非线性方程（组）的数值解法、插值法、函数的最佳一致逼近与最佳平方逼近、曲线拟合、数值积分与数值微分、常微分方程的数值解法以及数值求解矩阵的特征值与特征向量等。

并通过上机实习熟练数值方法与一些数学软件的结合运用，达到理论与实践的和谐统一。为解决科学与工程中的实际问题打好基础，同时为后继课程的学习提供必要的知识。

课程性质：

计算方法是数学学科的一个分支，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，也是科学计算的基础。地位十分重要。授课对象为信息与计算机科学专业第三学期学生，课程总学时60学时。

计算方法是以各类数学问题的数值解法作为研究对象，并结合现代计算机科学与技术为解决科学与工程中遇到的各类数学问题提供基本的算法。

⑦ 求数值计算方法 第三版 李有法 朱建新 课后答案

数值计算方法如下：

1、有限元法：有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式。

借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数 形式，便构成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元 上的近似解构成。

根据所采用的权函数和插值函数的不同 ，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。

2、多重网格方法：多重网格方法通过在疏密不同的网格层上进行迭代,以平滑不同频率的误差分量。具有收敛速度快,精度高等优点。

多重网格法基本原理微分方程的误差分量可以分为两大类，一类是频率变化较缓慢的低频分量；另一类是频率高，摆动快的高频分量。

一般的迭代方法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显着。高频分量和低频分量是相对的，与网格尺度有关，在细网格上被视为低频的分量，在粗网格上可能为高频分量。

多重网格方法作为一种快速计算方法，迭代求解由偏微分方程组离散以后组成的代数方程组，其基本原理在于一定的网格最容易消除波长与网格步长相对应的误差分量。

该方法采用不同尺度的网格，不同疏密的网格消除不同波长的误差分量，首先在细网格上采用迭代法，当收敛速度变缓慢时暗示误差已经光滑，则转移到较粗的网格上消除与该层网格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进行下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细网格上。

3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：

一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

4、有限体积法：有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。

为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。

有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒原理一样。

限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒。

而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。

有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值 ，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。

在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。

5、近似求解的误差估计方法：近似求解的误差估计方法共有三大类:单元余量法,通量投射法及外推法。

单元余量法广泛地用于以FEM离散的误差估计之中,它主要是估计精确算子的余量,而不是整套控制方程的全局误差。

这样就必须假定周围的单元误差并不相互耦合,误差计算采用逐节点算法进行。单元余量法的各种不同做法主要来自对单元误差方程的边界条件的不同处理办法。基于此,该方法能够有效处理局部的残余量,并能成功地用于网格优化程序。

通量投射法的基本原理来自一个很简单的事实:精确求解偏微分方程不可能有不连续的微分,而近似求解却可以存在微分的不连续,这样产生的误差即来自微分本身,即误差为系统的光滑求解与不光滑求解之差。该方法与单元余量法一样,对节点误差采用能量范数,故也能成功地用于网格优化程序。

单元余量法及通量投射法都局限于局部的误差计算(采用能量范数),误差方程的全局特性没有考虑。另外计算的可行性(指误差估计方程的计算时间应小于近似求解计算时间)不能在这两种方法中体现,因为获得的误差方程数量,阶数与流场控制方程相同。

外推是指采用后向数值误差估计思想由精确解推出近似解的误差值。各类文献中较多地采用Richardson外推方法来估计截断误差。无论是低阶还是高阶格式,随着网格的加密数值计算结果都会趋近于准确解。但由于计算机内存与计算时间的限制,实际上不能采用这种网格无限加密的办法。

6、多尺度计算方法：近年来发展的多尺度计算方法包括均匀化方法、非均匀化多尺度方法、以及小波数值均匀化方法、多尺度有限体积法、多尺度有限元法等。

该方法通过对单胞问题的求解，把细观尺度的信息映射到宏观尺度上，从而推导出宏观尺度上的均匀化等式，即可在宏观尺度上求解原问题。均匀化方法在很多科学和工程应用中取得了巨大成功，但这种方法建立在系数细观结构周期性假设的基础上，因此应用范围受到了很大限制。

鄂维南等提出的非均匀化多尺度方法，是构造多尺度计算方法的一般框架。该方法有两个重要的组成部分：基于宏观变量的整体宏观格式和由微观模型来估计缺少的宏观数据，多尺度问题的解通过这两部分共同得到。

该方法基于多分辨分析，在细尺度上建立原方程的离散算子，然后对离散算子进行小波变换，得到了大尺度上的数值均匀化算子。此方法在大尺度上解方程，大大地减小了计算时间。

该法在宏观尺度上进行网格剖分，然后通过在每个单元里求解细观尺度的方程(构造线性或者振荡的边界条件)来获得基函数。从而把细观尺度的信息反应到有限元法的基函数里，使宏观尺度的解包含了细观尺度的信息。但多尺度有限元方法在构造基函数时需要较大的计算量。

借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数 形式，便构成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元 上的近似解构成。

根据所采用的权函数和插值函数的不同 ，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。

2、多重网格方法：多重网格方法通过在疏密不同的网格层上进行迭代,以平滑不同频率的误差分量。具有收敛速度快,精度高等优点。

多重网格法基本原理微分方程的误差分量可以分为两大类，一类是频率变化较缓慢的低频分量；另一类是频率高，摆动快的高频分量。

一般的迭代方法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显着。高频分量和低频分量是相对的，与网格尺度有关，在细网格上被视为低频的分量，在粗网格上可能为高频分量。

多重网格方法作为一种快速计算方法，迭代求解由偏微分方程组离散以后组成的代数方程组，其基本原理在于一定的网格最容易消除波长与网格步长相对应的误差分量。

该方法采用不同尺度的网格，不同疏密的网格消除不同波长的误差分量，首先在细网格上采用迭代法，当收敛速度变缓慢时暗示误差已经光滑，则转移到较粗的网格上消除与该层网格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进行下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细网格上。

3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：

一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

4、有限体积法：有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。

为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。

有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒原理一样。

限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒。

而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。

有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值 ，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。

在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。

5、近似求解的误差估计方法：近似求解的误差估计方法共有三大类:单元余量法,通量投射法及外推法。

单元余量法广泛地用于以FEM离散的误差估计之中,它主要是估计精确算子的余量,而不是整套控制方程的全局误差。

这样就必须假定周围的单元误差并不相互耦合,误差计算采用逐节点算法进行。单元余量法的各种不同做法主要来自对单元误差方程的边界条件的不同处理办法。基于此,该方法能够有效处理局部的残余量,并能成功地用于网格优化程序。

通量投射法的基本原理来自一个很简单的事实:精确求解偏微分方程不可能有不连续的微分,而近似求解却可以存在微分的不连续,这样产生的误差即来自微分本身,即误差为系统的光滑求解与不光滑求解之差。该方法与单元余量法一样,对节点误差采用能量范数,故也能成功地用于网格优化程序。

单元余量法及通量投射法都局限于局部的误差计算(采用能量范数),误差方程的全局特性没有考虑。另外计算的可行性(指误差估计方程的计算时间应小于近似求解计算时间)不能在这两种方法中体现,因为获得的误差方程数量,阶数与流场控制方程相同。

外推是指采用后向数值误差估计思想由精确解推出近似解的误差值。各类文献中较多地采用Richardson外推方法来估计截断误差。无论是低阶还是高阶格式,随着网格的加密数值计算结果都会趋近于准确解。但由于计算机内存与计算时间的限制,实际上不能采用这种网格无限加密的办法。

6、多尺度计算方法：近年来发展的多尺度计算方法包括均匀化方法、非均匀化多尺度方法、以及小波数值均匀化方法、多尺度有限体积法、多尺度有限元法等。

该方法通过对单胞问题的求解，把细观尺度的信息映射到宏观尺度上，从而推导出宏观尺度上的均匀化等式，即可在宏观尺度上求解原问题。均匀化方法在很多科学和工程应用中取得了巨大成功，但这种方法建立在系数细观结构周期性假设的基础上，因此应用范围受到了很大限制。

鄂维南等提出的非均匀化多尺度方法，是构造多尺度计算方法的一般框架。该方法有两个重要的组成部分：基于宏观变量的整体宏观格式和由微观模型来估计缺少的宏观数据，多尺度问题的解通过这两部分共同得到。

该方法基于多分辨分析，在细尺度上建立原方程的离散算子，然后对离散算子进行小波变换，得到了大尺度上的数值均匀化算子。此方法在大尺度上解方程，大大地减小了计算时间。

该法在宏观尺度上进行网格剖分，然后通过在每个单元里求解细观尺度的方程(构造线性或者振荡的边界条件)来获得基函数。从而把细观尺度的信息反应到有限元法的基函数里，使宏观尺度的解包含了细观尺度的信息。但多尺度有限元方法在构造基函数时需要较大的计算量。