行列三对角形式的计算方法

❶ 计算行列式

行列式的计算方法

1.递推法

例1 求行列式的值：

（1）

的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。

解 把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。

把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是

另一项是

上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n – 2 阶行列式，这个n – 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系：

（2）

移项，提取公因子β：

类似地：

（递推计算）

直接计算

若；否则，除以后移项：

再一次用递推计算：

∴， 当β≠α （3）

当β = α，从

从而。

由（3）式，若。

∴

注 递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程.

注1 仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式

（3）

和三对角线型行列式

（4）

有相同的递推关系式

（5）

（6）

注意

两个序列

和

的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有

由（4）式，的每一行都能提出一个因子a ，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故

例2 计算n阶范德蒙行列式行列式

解:

即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积

2．拆元法

例3：计算行列式

解

①×（x + a）

②×（x – a）

3．加边法

例4 计算行列式

分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法.

解

4．数学归结法

例5 计算行列式

解：

猜测：

证明

（1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设n≤k – 1 时命题成立,考察n=k的情形：

故命题对一切自然数n成立。

5.消去法求三对角线型行列式的值

例6 求n阶三对角线型行列式的值：

（1）

的构造是：主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。

解 用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的倍，于是第二行变为

其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为

再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为

类似地做下去，直到第n行减去第n – 1行的倍，则第n行变为

最后所得的行列式为

（2）

上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为

93）

又主对角线下方的元全为0。故的值等于（3）中各数的连乘积，即。

注3 一般的三对角线型行列式

（4）

也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。

6 乘以已知行列式

例7 求行列式的值：

称为循环行列式，各行自左到右均由循环排列而得，并使主对角线元全为

解 设1的立方根为，即

其中i是虚数单位，又

右乘以行列式

则

（1）

用，得

故（1）的行列式的第一列可由提出公因子，提后的元顺次为，类似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子

和

于是

因互不相等，帮它们所构成的凡德蒙行列式的值不为零，可以从上式的左右两边约去，得

。

注4 在n阶的一般情形，设1的n次方根为

则得行列式的值为

这里的是由构成的n阶循环行列式：

7 利用线性代数方程组的解

例8 求n阶行列式的值：

（1）

的构造是：第i行的元顺次为

又第n行的元顺次为。

解 （1）的行列式与凡德蒙行列式

（2）

的比值可以看成线性代数方程组

（3）

的解。如能解出，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式

但方程组（3）又可以看成n次多项式方程

（4）

（t是未知数，看作系数）有n个根

用根与系数的关系，即得

∴

8 递推方程组方法

例9 求行列式的值：

（1）

是n阶行列式（在右下角用（n）表示），其结构是：主对角线元全为x ；主对角线上方的元全为y , 下方的元全为z 。

解 从 （1）的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，…，第n – 1列减第n列，得

（2）

上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是（x – y）乘一个n – 1阶行列式，这个n – 1阶行列式和（2）中的n阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为；展开的另一项是

故递推式

（3）

若z = y，则上式化为

（4）

类似地有

又

故可对（4）式递推计算如下：

上面得到原行列式当z = y时的值。下面讨论z≠y的情形。

把（1）的行列式的y与z对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变。于是y和z对调后，的值不变，这时（3）式变为

（5）

从（3）与（5）（递推方程组）消去，即（3）式乘以（x – z），（5）乘以（x – y），相减得

∴

注5 当z = y时，行列式也可以用极限计算：

又行列式当z = y时可以用余式定理来做。

❷ 三阶行列式计算方法

三阶行列式可用对角线法则：

D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32。

矩阵A乘矩阵B，得矩阵C，方法是A的第一行元素分别对应乘以B的第一列元素各元素，相加得C11，A的第一行元素对应乘以B的第二行各元素，相加得C12，C的第二行元素为A的第二行元素按上面方法与B相乘所得结果，N阶矩阵都是这样乘，A的列数要与B的行数相等。

三阶行列式性质：

性质1：行列式与它的转置行列式相等。

性质2：互换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论：如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。

性质3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。

推论：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

性质4：行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。

性质5：把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。