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不定积分几种计算方法

发布时间:2023-07-03 12:20:33

㈠ 计算不定积分的方法有哪些

1.基本积分表法,如∫sinxdx=-cosx+C
2.分部积分法,设u和v都是x的函数且u'和v'存在,那么∫u'vdx=uv-∫uv'dx
如要求∫lnxdx=∫(1×lnx)dx
设u=x,那么u'=1
v=lnx,那么v'=1/x
代入公式,得
∫lnxdx=xlnx-∫1dx
=xlnx-x+C
3.换元积分法,有第一换元积分法和第二换元积分法,前者主要用于某些有理函数积分,而后者主要用于某些无理函数积分,这里以第一换元积分法为例,第二换元积分法的例子可以去网上查看。
求∫tanxdx
∵tanx=sinx/cosx ∴∫tanxdx=∫(sinx/cosx)dx
∵sinxdx=d(-cosx)=-dcosx
∴原积分=-∫(1/cosx)dcosx=-∫(1/u)
=-ln|u|+C=-ln|cosx|+C
以上是常用的方法。有时候我们还把一个函数表达成幂级数,在其收敛半径内求积分。

㈡ 求不定积分的几种运算方法

一、积分公式法

直接利用积分公式求出不定积分。

二、换元积分法

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

1、第一类换元法(即凑微分法)

通过凑微分,最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

2、注:第二类换元法的变换式必须可逆,并且在相应区间上是单调的。

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候,为了避免繁琐的展开式,有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种:

(1) 根式代换法,

(2) 三角代换法。

在实际应用中,代换法最常见的是链式法则,而往往用此代替前面所说的换元。

三、分部积分法

设函数和u,v具有连续导数,则d(uv)=udv+v。移项得到udv=d(uv)-v,两边积分,得分部积分公式:∫udv=uv-∫v ⑴。

称公式⑴为分部积分公式。如果积分∫v易于求出,则左端积分式随之得到。

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v。

即一个定积分式的值,就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。

这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系。因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

㈢ 不定积分的方法都有哪些

不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容,也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础,所以掌握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。

不定积分的计算方法主要有以下三种:

(1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法;

(2)第二换元积分法

(3)分部积分法

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