复变函数闭合积分的计算方法

① 复变函数的积分计算

|z|=2的内部有两个奇点,z=±i,而且都是一阶极点.

原式=2πi[Res(f(z),i)+Res(f(z),-i)]

=2πi[lim(z→i)sinz/(z+i)+lim(z→-i)sinz/(z-i)]

=2πi(sini/2i+sin(-i)/(-2i))

=2πi*2sini/2i

=2πi*[e^(i*i)-e^(-i*i)]/2i²

=π/i*(1/e-e)

设f(z)=(z^10)/(z-3)。∴f(z)有一个一阶极点z1=3，但z1不在丨z丨=1内。

故，f(z)在丨亮腔z丨=1的留数Res[f(z),z1]=0。∴由柯西积分定理，有原式=(2πi)Res[f(z),z1]=0。

设f(z)=1/[(z^2)(z-1)(z+4)]，∵(z^2)(z-1)(z+4)=0，则z1=0、z2=1、z3=-4，其中z1是二阶极点、z2、z3是一阶极点。∴丨z丨=3内，f(z)有两个极点z1、z2。

故，由柯西积分定理，原式=(2πi){Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。

而，Res[f(z),z1]=lim(z→z1)[(z^2)f(z)]'=-{(2z+3)/[(z-1)(z+4)]^2}丨(z=0)=-3/16、Res[f(z),z2]=lim(z→z2)(z-z2)f(z)=1/5。∴原式=πi/40。

(1)复变函数闭合积分的计算方法扩展阅读：

复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都腔键旁是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数伍橡学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

② 复变函数积分

因为被积函数

在积分路径所在区域附近解析，所以积分结果与路径无关，因此可以利用牛顿-莱布尼兹公式求解，但是从被积函友氏数的形式来看，它的原函数相对复杂，所以不采用这种方法。

另一方面，因为积分结果与路径无关，所以可以构造处简单一点的积分路径：

L1：y=1,0≤x≤4；

L2：x=4,1≤y≤3.

这时候只要沿着L1+L2的路径对培袭被积函数进行积分即可得到结果。

然而即使路径改变了，积分还是要求出原函数，或者通过级数的方式把结果表示出来。如果级数的值无法通过已知的自然数或者根式、自好中散然对数的底数e、圆周率π或者欧拉常数γ等常数以及有限的步骤表达出来，那么求出符号解的意义就不大了，这时候可以考虑计算它的数值解。

③ 复变函数的积分

这题陆型正氏悉培好是我们教材上的一道例题歼唯

④ 复变函数求积分

分享解法如下。设f(z)=ze^(1/z)。在丨z丨=2的域内，f(z)有一个极点z1=0。含键
而，z≠0时，e^(1/z)=1+1/z+1/(2z²)+1/(3!z³)+…，∴f(z)=z²+z+1/2+1/(6z)+…+…。
按洛朗级数展开式和枣旦留数的定义，Res[f(z),z1=0]=c(-1)=1/6。
∴由柯西积分定理，原式=(2πi)Res[f(z),z1=0]=πi/3。
供凳老扰参考。

⑤ 复变函数积分计算方法

在复变函数的分析理论中，复积分是研究解析函数的重要工具，解析函数的许多重要性质都要利用复积分来表述和证明的，因此，对复积分及其计算的研究显得尤并猜为重要。本文介绍了复变函数积分常规的计算方法、利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行复积分计算方法。利用这些方法可以使一些复杂的复积分计算变得简单、快捷。接下来要介绍计算复积分粗坦的常见的一些方法。

二者在计算时都常与柯西积分定理相结合。

⑥ 复变函数积分计算方法

复变函数通常作曲线积分，因此下面讨论的也是曲线积分

(1)这是形式上的变换 上式的第二行末尾可以看出，积分结果的实部和虚部都是关于函数实部和虚部的第二型曲线积分，如果有曲线C的参数方程州歼早 那么上式就可以化为定积分 当然要求x(t)和y(t)满足一阶可导另外当然第二型曲线积分可以化为第一形曲线积分，这一点不作深入讨论如果要问积分的意义册雀是什么，关于第二型曲线积分，就可以理解为变力对做曲线运改穗动的物体所做的功把第二型曲线积分化为定积分，就是用变力乘上路径导数得到功率，再由功率对时间积分，得到变力所做的功实变函数的积分是这样，复变函数的积分也可以这样理解

⑦ 复变函数计算积分的方法

周线就是复平面内的闭曲线，复变函数的积配迅分类似于高等数学中对坐标的曲线积分，最一般的方法是对于复变函数f(z)=u+iv，其中u=u(x,y)，v=v(x,y)，z=x+iy，则复变函数积分 ∫f(z)dz=∫(u+iv)(dx+idy)=∫(udx-vdy)+i∫(vdx+udy)，从而转化为埋银两个对弯卖宴坐标...

⑧ 复变函数中求积分的方法有哪些

复变函数中求积分的方法有哪些？1、柯西积分定理；
2、柯西积分公式；
3、高阶导数公式；
4、复合闭路定理；腔渗
5、留数定理（留数的计算可以用慎敏定理或洛朗展开），这个方法是最重要宽圆枝的，柯西积分公式和高阶导数公式其实都是留数定理的特例。
希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮。

⑨ 复变函数闭合环路积分

分享解法如亏埋皮下。∵在丨z丨=1内，z=0是f(z)=z³e^(1/z)的奇点，而e^(1/z)=1+1/z+1/(2z²)+1/(6z³)+(1/4!)/z^4+…液悄，
∴f(z)=z³+z²销差+z/2+1/6+(1/24)/z+(1/5!)/z²+…。按照留数的定义，Res[f(z),0]=a(-1)=1/24。
∴由柯西积分定理，原式=(2πi)Res[f(z),0]=πi/12。