复数的计算方法

⑴ 复数的计算

法则和方法写在纸上

⑵ 复数是怎么计算的

(A)复数的极式：
若点P代表z=x+iy，O为原点，线段OP与x轴正向所夹的有向角为 。
令OP=r，则r, ,x,y有如下的关系：x=rcos ，y=rsin ，上述的r称为复数
z的绝对值，以 表示。 称为复数的幅角，以argz表示，我们规定介于0，
2之间的幅角称为主幅角，以Argz表示。一个复数的幅角很多，但主幅角只
有一个。即 ，0Argz<2
结论：将复数z=x+iy表示成 则称为复数z的极式。

[例题1] 将下列各复数化为极式：
(1)z=33i (2)z= (3)z=sin15+icos15(4)z=cos13+icos77

[例题2] 设z为复数，且| z1z |= 12，Arg(z1z)= 3 ，则z=？ Ans：1+33 i
(B)复数极式的乘除法：
(1)复数的乘法：
设z1，z2之极式分别为z1=r1(cos+isin)，z2=r2(cos+isin)
则
即将复数z1,z2相乘时，其绝对值相乘而其幅角相加。

(2)复数的除法：
(a)若 ，则 。
(b)若 ，则
(3)棣美弗定理：n为整数，若设 ，则zn=|z|n(cosn+isinn)。

[例题3] 试求下列之值：
(1)(cos100+isin100)(cos10isin10)(2) Ans：(1)i (2)12+32i
(C)解一元n次方程式：
(1)解zn=1之根：
例子：试解z7=1之根。(求1的7次方根)

结论：zn=1之根(1的n次方根)可表为 ，其中 。
(2)解zn=a之根：
例子：求1+i的7次方根。

结论： 之解(a的n次方根)为
。
[例题4] (1)试求1的5次方根，并将代表它们的点描在座标平面上。
(2)解方程式z4+z3+z2+z+1=0。

[例题5] 试求解 (z2)5=16+163 i。
(3) 的性质：设 则
(a)
(b)
(c) 的根为 。
(d)

[例题6] 设=cos25+i sin25，则求下列各小题：
(1)5=？ (2)1++2+3+4=？
(3)(1)(12)(13)(14) (4) (2+)(2+2)(2+3)(2+4)
Ans：(1)1 (2)0 (3)5 (4)11

(D)极坐标：
(1)在引进复数的极式时，我们可知要描述复数平面上一P(a+bi)，除了知道实
部a，虚部b之外，只要能指出P点离原点O多远，及P点是哪一个有向角
的终边上，亦可标示出P点。
(2)在平面上选定一点O，再过O作一数线L，以其正向为始边，绕定点O旋
转，使P点恰在其上。若其旋转量，为一有向角(逆时针为正、顺时针为
负)， =r，我们就可以利用r，来描述P点的位置，符号：P[r,]。这种
表示法就是极坐标表示法，其中O点称为该极坐标系的极(或极点)，数线L
称为极轴。并以[r,]为P点的极坐标。

例如：在极坐标上点P[2,56]
P点的直角坐标为(2cos56，2sin56)=(3 ,1)
例如：在直角坐标上Q(1，3)
设在极坐标上Q[r,]
rcos =1且rsin =3
r=2且 =23+2n，n为整数
Q点的极坐标可表为Q[2, 23+2n]

[例题7] 设在极坐标中A[1,6]、B[3,56]，试求AB=？ Ans：13
(E)复数在几何上的应用：
复数运算的几何意义：
(1)复数绝对值的几何意义：
复数z=a+bi的绝对值定义为复数z到原点O的距离
 |z|=|a+bi|=a2+b2
复数平面上有两个点P(z1)、Q(z2)，其中z1=a+bi、z2=c+di
PQ=|z1z2|
(2)复数加法的几何意义：
在复数平面上给定A1(z1)、A2(z2)，其中z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，
以OA1、OA2为邻边作平行四边形OA1PA2，
则P点的复数坐标为z1+z2，OP=|z1+z2|。

(3)复数乘法与除法的几何意义：
设z1=r1(cos1+i sin1)，z2=r2(cos2+i sin2)，其中ri=|zi|，i=1,2
根据复数乘法的原则z1z2= r1 r2(cos(1+2)+i sin(1+2))
我们令P(z1)、Q(z2)、R(z1z2)

(a)旋转运动：当r2=1时
因为OR=| z1z2|=r1r2=r1，且方向角为1+2，故R点是由P点绕原点O逆时针
旋转2得到的。
(b)伸缩运动：当2=0时，
OR=| z1z2|=r1r2，且方向角为1+2=1，因此R点是由P点以原点O为伸缩中
心，伸缩|z2|倍得到的点。

(3)旋转与伸缩：
设z1=r1(cos1+i sin1)，z2=r2(cos2+i sin2)，其中ri=|zi|，i=1,2
根据复数乘法的原则z1z2= r1 r2(cos(1+2)+i sin(1+2))
令P(z1)、Q(z2)、R(z1z2)，则R点是由P点绕原点旋转2角度
且以原点为中心伸缩r2倍所得到的点。

[例题8] 右图是一正方形OABC，已知A(2+i)，试求B、C点的复数坐标。
Ans：B(1+3i)、C(1+2i)

[例题9] 复数平面上，设原点O为正三角形ABC的重心，已知A(1+i)，求复数B、C。 Ans：132 + 312 i，312  3+12 i

[例题10] 利用棣美弗定理证明：sin3=3sin 4sin3 ，cos3=4cos33cos 。
复习评量
(A)学科能力测验、联考试题试题观摩：
1. 若复数z与 之积为 ，则z的主幅角为。(86日大自)Ans：23
2. 设z1=2+ai，z2=2b+(2b)i，其中a,b为实数，i=1 ，若|z1|=2|z2|，且z1z2的辐角为4，则数对(a,b)=？ (85 自) Ans：(103 , 43 )
3. 令z为复数且 z6=1, z1 ，则下列选项何者为真？
(A) |z|=1(B) z2=1 (C) z3=1或z3=-1(D) |z4|=1 (E) 1+z+z2+z3+z4+z5=0
Ans：(A) (C) (D) (E) (90学科)
4. 令z=2(cos7+isin7)，且zi=2(cosa+isina)，试求a=？ Ans：914 (91学科)
(B)重要问题复习：
5. 设复数z= ，求|z|=？ Ans：13065
6. 试求下列各复数的极式：
(1)z=3+3i (2)z=4 (3)z= 2i
Ans：(1)z=32(cos34+isin34) (2)z=4(cos0+isin0) (3)z=2(cos2+isin2)
7. 试求下列各复数的极式：
(1)z=sin20+i cos20 (2)z=cos135isin45 (3)z= 3(cos25+i sin25)
Ans：(1)z=cos70+i sin70 (2)z=cos225+i sin225(3)z=3(cos205+i sin205)
8. 利用数学归纳法证明棣美弗定理。
9. (1)(cos100+i sin100)(cos10i sin10) (2)[2(1+i)][3+i]
(3)(1+3 i)10 (4)(3+i2)30 (5)
(6)
Ans：(1)i (2)4(cos512+i sin512) (3)512+5123 i (4)215 (5)261
(6)
10. 解方程式：(1)(z+2)3+8=0 (2)z44z3+6z24z+17=0并求以各根为顶点的正多边形的面积。
Ans：(1)4，22，222，面积33
(2)z=1+2[cos(2k+1)4+i sin(2k+1)4]，k=0,1,2,3 面积=8
11. (1)求512i的二个平方根。
(2)再求复系数方程式z22(1+i)z5+14i=0 Ans：(1)3+2i，32i (2)2+3i，4i
12. 求下列各点的直角坐标：
(1)A[4,43] (2)B[2,712] (3)C[0,5] (4) D[5,1] (5)E[3,cos135]
Ans：(1)(2,23 ) (2)(262,6+22)
(3)(0,0) (4)(5cos1,5sin1) (5)(95,125)
13. 求下列各点的极坐标：
(1)A(2,2) (2)B(1+3 ,13 ) (3)C(4cos7,4sin7)(4)D(0,3)
Ans：(1)[22 ,34] (2)[22 ,12] (3)[4, 7] (4)[3,32]
14. 如图，给定z点的位置，且|z|=2，试描绘出1z的位置。
15. 如图，设OAB为一正三角形，其中A的坐标为(1,4)
试求B的坐标。Ans：(1223 ，2+32)
(c)进阶问题：
16. 设z1=cos78+isin78，z2=cos18+isin18
(1)求复数z1z2的主辐角。
(2)若(z1z2)5=a+bi，a,b为实数，求(a,b)=？
Ans：(1)138 (2)(32,12)
17. 设=cos27+i sin27
试求(1)1++2+3+4+5+6=？
(2)(1)(12)(13)(14)(15)(16)=？
Ans：(1)0 (2)7
18. 设zn=(1+i)(1+i2)(1+i3)(1+in)，n为自然数，则
(1)|zn|=？ (2)|zn+1zn|=？ Ans：(1)n+1 (2)1
19. 设 =2n，n为大于1的自然数，试证： ， 。
20. 在极坐标平面上二点，A(52 ,4)、B(2,cos135)，则AB=？Ans：58
21. (1)设n为自然数，若z+1z =2cos，则证明：zn+1zn =2cosn。
(2)若z为复数，且满足 ，则 =?
22. 设z1，z2为复数，|z1|=2，|z2|=1，求|z1+z2|2+|z1z2|2=？Ans：10
(提示：若w为复数，则|w|2=w )
23. 已知z1=1+i，z2=i，试求z3使得z1z2z3为正三角形。
Ans：123 +32i或12+3 32i
24. A,B,C,D表x4x2+1=0的四个根，P点代表i，试求PA、PB、PC、PD之积。
Ans：3

⑶ 复数的运算法则

复数运算法则有：加减法、乘除法。两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

复数的加法满足交换律和结合律。此外，复数作为幂和对数的底数、指数、真数时，其运算规则可由欧拉公式e^iθ=cos θ+i sin θ（弧度制）推导而得。

(3)复数的计算方法扩展阅读：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi2，因为i2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。两个复数的积仍然是一个复数。

在极坐标下，复数可用模长r与幅角θ表示为(r,θ)。对于复数a+bi,r=√(a²+b²)，θ=arctan(b/a)。此时，复数相乘表现为幅角相加，模长相乘。

⑷ 复数的计算方法

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bd·i^2=(ac-bd)+(ad+bc)i
符合的实数正常运算法则
直接乘出来再合并就行
(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i

⑸ 复数的计算是怎么样的

复数运算法则有：加减法、乘除法。两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律。此外，复数作为幂和对数的底数、指数、真数时，其运算规则可由欧拉公式e^iθ=cos θ+i sin θ（弧度制）推导而得。

加法：实部与实部相加为实部，虚部与虚部相加为虚部。

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

减法：实部与实部相减为实部，虚部与虚部相减为虚i。

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

乘法：按多项式的乘法运算来做

(a+bi)*(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2(i^2=-1)

=(ac-bd)+(ad+bc)i

除法：把除法写成分数的形式，再将分母实数化（就是乘其共轭复数）

(a+bi)/(c+di)=(a+bi)*(c-di)/[(c+di)(c-di)]

=[ac+bd-(ad-bc)i]/(c^2+d^2)

在实数域上定义二元有序对z=(a,b)

并规定有序对之间有运算“+”、“×”（记z1=(a, b)，z2=(c, d)）：

z1+ z2=(a+c, b+d)

z1× z2=(ac-bd, bc+ad)

容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数z，有

z=(a, b)=(a, 0) + (0, 1) × (b, 0)

令f是从实数域到复数域的映射，f(a)=(a, 0)，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。

以上内容参考：网络-复数

⑹ 复数计算问题

1/j的分母分子都乘j，又j^2=-1
所以1+1/j=1-j
模√2，复角-45°

⑺ 关于复数的计算

（U+1)^3+(U+w)^3+(U+w^2)^3=3(U^3+1)即
（U+1)^3+(U+w)^3+(U+w^2)^3-3(U^3+1)=0
把它看作U的三次多项式，如果它有3个以上的根则它恒为0多项式；
令U=0，即1+w^3+w^6-3=0,而w^2+w+1=0，所以w^3=1,即有等式成立；
令U=1,即8+(w+1)^3+(1+w^2)^3-6=0而w+1=-w^2,w^2+1=-w,代入得
8-w^6-w^3-6=8-1-1-6=0;
令U=2,方法一样都是降幂后运用w^3=1,我不想写了；
令U=3同理；
从而它已经找到了4个根，从而它为0多项式，证毕！