集合计算方法和技巧

A. 集合的 运算和方法怎么解

参考 http://..com/question/31801898.html

集合论是当代数学的基础．学习集合，不仅应从本质上去理解与集合有关的各个概念、性质和运算法则，更重要的是在解题的过程中自觉地应用集合的语言和方法去表示各种数量关系，解决各种数学问题． 映射刻划的是两个集合之间元素的特殊对应关系，是我们进一步学习函数的基础，同时也是一个重要的数学方法．数学竞赛中的许多题目都与映射有关，恰当地使用映射法解题，可以使问题化繁为简、化难为易，有时还可以出奇制胜.

1．集合 （1）集合的概念．元素与集合、集合与集合的关系． （2）集合的运算法则． （3）集合的划分． 如果非空集合A1、A2、…、An都是集合A的子集，并且满足A1∪A2∪…∪An＝A，且Ai∩Aj＝Φ（1≤i＜j≤n），那 么（A1，A2，…，An）叫做集合A的一个划分．

2．映射 理解映射f：A→B的关键是抓住集合A中元素在集合B中的象的存在性和惟一性．根据映射中象与原象的不同状态，有下面几种很有用的特殊映射． （1）单射．对于映射f：A→B，如果A中不同的元素在B中有不同的象，那么称映射 f：A→B为集合A到集合B的单射． 对于单射f：A→B，有｜A｜≤｜B｜．这里｜M｜表示集合M中的元素的个数，下同． （2）满射．对于映射f：A→B，如果B中的每一个元素在A中都有原象，那么称映射f：A→B为集合A到集合B的满射． 对于满射f：A→B，有｜A｜≥｜B｜． （3）双射．如果f：A→B同时是A到B上的单射和满射，那么称映射f：A→B为集合A到集合B的双射．双射也叫做一一映射． 对于双射f：A→B，有｜A｜＝｜B｜．（配对原理）

例1 设集合A＝（－3，－2），已知x，y∈N，且x^3＋19y＝y^3＋19x，试判断a＝log（1/2）（x＋y）与A的关系． 导析：关键是确定a＝log（1/2）（x＋y）的取值范围．这是学生力所能及的，可鼓励学生积极参与． ∵ x^3－y^3＝19（x－y），且x，y∈N，x＞y， ∴ x^2＋x＋1≤x^2＋xy＋y^2＝19＜3x2． 由此及x∈N，得x＝3，从而y＝2． ∴ －3＜a＝log（1/2）5＜－2，即a∈A． 例2 某次乒乓球比赛，采用单淘汰制，从105名参赛选手中决出冠军，需进行多少场比赛? 导析：如果先算出第一轮的场数，第二轮的场数……然后相加，是比较麻烦的．可引导学生从结果出发考虑，因为冠军只有1 个，所以共需淘汰104名选手．而每场比赛恰好淘汰1名选手，故比赛的场数应为104．

集合问题的表述简单，所涉及的知识较少，而解决起来往往要求有较高的探索能力和创造能力．常见的集合竞赛题有两类：集合划分问题和特殊子集的计算和论证问题．巧妙的构造，恰当的划分、反设、局部调整等，是解决这两类问题的有效途径． 映射是特殊的对应，研究对应规律，寻求对应的特征，是解决计数、图论、组合数学的重要手段．

例3 能否给出集合｛1，2，3，…，2001｝的一个划分（A1，A2，A3，A4），使得A1，A2，A3，A4中的各数之和 组成一个等差数列? 导析：这是一个探索性问题，可从假设存在入手展开讨论． 若存在一个划分（A1，A2，A3，A4）满足要求，则A1，A2，A3，A4中各数之和可分别表示为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，其中a，d∈N．于是，有 a＋（a＋d）＋（a＋2d）＋（a＋3d）＝1＋2＋3＋…＋2001，即 2（2a＋3d）＝2001×1001． 上式显然不能成立，故这样的划分不存在． 本题虽然解完了，但思维不能就此中断，可引导学生进一步探索上述划分的存在性．不难发现：如果集合中连续自然数的个数是4k（k∈N），那么这样的划分是存在的． 不妨设A＝｛1，2，3，…，4k｝，（A1，A2，A3，A4）是集合A的一个划分，若取A1＝｛1，2，…，k｝，A2＝｛k＋1，k＋2，…，2k｝，A3＝｛2k＋1，2k＋2，…，3k｝，A4＝｛3k＋1，3k＋2，…，4k｝，则A1，A2，A3，A4中各数之和便组成了以k（k＋1）/2为首项，k^2为公差的等差数列．

例4 设n∈N，n≥15，A、B都是｛1，2，…，n｝的真子集，且A∩B＝Φ，A∪B＝｛1，2，…，n｝．证明A或B中必有两个不同数的和为完全平方数． 导析：根据题目的特点，从反面考虑较为合适．假设存在满足题设的集合A和B，不论是A还是B中任意两个数的和都不是完全平方数．不妨设1∈A，那么3！∈A（否则1＋3＝2^2，与假设矛盾），于是3∈B．同样，6！∈B，应有6∈A．这样，10！∈A，应有10∈B．由于n≥15，所以15∈A或15∈B．若15∈A，则1＋15＝4^2；若15∈B，则10＋15＝5^2．均与假设矛盾，问题得证．

例5 从8×8的棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”型，问共有多少种不同的取法． 导析：一个由四个小方格组成的“田”字形中可以取出4个“L”形，因此我们只需考察棋盘上可以取出多少个“田”字形．由于每个“田”字形的中心是棋盘内横线与纵线的一个交点（不包括边界点）；反过来，每个位于棋盘内部的交点，它四周的小方格恰好形成一个“田”字形图案，因此，映射f：“田”字形→“田”字形中心，它是棋盘上所有可取出的小方格组成的“田”形集合到棋盘内每个横线与纵线的交点集的双射（一一映射）．易知，棋盘内的交点数共有（9－2）×（9－2）＝49（个），所以棋盘上可取出49个“田”字形．而一个“田”字形对应着4个“L”形，故棋盘上共可取出49×4＝196个“L”形．

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祝：学习进步哦！！
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B. 集合的计算

有没有列题或是基本概念；
集合的概念

一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母。任何集合是它自身的子集.

元素与集合的关系：
元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

集合的分类:
并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集： 以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）
注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”.

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集，任何集合是它本身的子集，子集，真子集都具有传递性。
‘说明一下：如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A ⊆ B。若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，则 A 称作是 B 的真子集，写作 A ⊂ B。
所有男人的集合是所有人的集合的真子集。’

集合的性质：
确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。
互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}。
无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。
集合有以下性质：若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B

集合的表示方法：常用的有列举法和描述法。
1.列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}
2.描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π}
3.图式法：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。

常用数集的符号：
（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N
（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*）
（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z
（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q
（5）全体实数的集合通常简称实数集，级做R

C. 集合运算公式大全

1.等幂律
A∪A=A
A∩A=A
2.同一律
A∪?=A
A∩E=A
3.互补律
A∪A'=U
A∩A'=?
4交换律
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
5.结合律
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
6.分配律
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
7.吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
8.反演律
(A∪B)'=A'∩B'
(A∩B)'=A'∪B'

D. 集合运算的五种方式有哪些

集合的基本运算：交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。

（1）交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素让液所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集（intersection），记作A∩B。

（2）并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。

（3）相对补集：若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B-A= { x| x∈B且x∉A}。

（4）绝对补集：若给定全集睁物U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作∁UA。

（5）子集：子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那坦早物么集合A称为集合B的子集。符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。

E. 高中数学集合解题方法与技巧

高中数学集合解题方法与技巧

适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。

5，数列爆强定律：1，等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);2等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q

6，数列的终极利器，特征根方程。(如果看不懂就算了)。首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用绝纤。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数)

F. 集合的基本运算

集合的基本运算如下：

分析：定位法中的“个位”定位、“十位”定位、交度换法。例如用1、2、3组成两位数，每个两位数的十位数和个位数不能一样，定位衟法中的“个位”定位、“十位”定位、交换法。

“个位”定位法是把1定位在个位：度21、31；把2定位在个位：12、32；把3定位在个位：13、23。

相关知识点：容斥原知理。

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计衜算知，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情衟况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。