分形维数的计算方法

① 分形维数的计算方法有那些能具体说一下吗

它与动孙锋乱力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘则档的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。二1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何第一部着作《分开：形状、机遇和维数》。1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓朴维数的集合，总结了根据自相似性计算实验维数的方法，由于相似维数只对严格自相似这一小类集有意义，豪斯道夫维数虽然广泛，但在很多情形下难以用计算方法求得，因此分形几何的应用受到局限。1982年，曼德尔布罗特的新着《自然界的分形几何》出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避免这一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充维数，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普罗克西娅（I.Procaccia）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1982年德金（基兆F.M.Dekking）研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。1989年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1982年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。 自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。确定性的古典分形集加入随机性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1968年，曼德尔布罗特研究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1974年他又提出了分形渗流模型。1988年，柴叶斯（j.T.Chayes）给出了详细的数学分析。1984年，扎乐（U.Zahle）通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。三动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1963年，气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。1976年，法国天文学家伊侬（M.Henon）考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1986年劳威尔（H.A.Lauwerier）将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：（！）局部不连通的分形集；（2）局部连通的分形拟圆周；（3）既不局部连能又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。 动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（G.Julia）和法图（P.Fatou）于1918-1919年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。随后50年间，这方面的研究没有得到什么进展。随着可用机算机来做实验，这一研究课题才又获得生机。1980年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集（M集）的第一张图来。1982道迪（A.Douady）构造了含参二次复映射fc ，其朱利亚集J（fc）随参数C的变化呈现各种各样的分形图象，着名的有道迪免子，圣马科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集与映射系数的关系，解新局面了解析映射击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫维数的数值解法。1983年，韦当（M.Widom）进一步推广了部分结果 。法图1926年就就开始整函数迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）证明指数映射的J集为复平面，解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J的性质差异，1984年德万尼（R.L.Devanney）证明指数映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或复平面而J（fc）是康托尘或连通集。 复平面上使J（fc）成为连通集的点C组成M集即曼德尔布罗特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）认为，M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得重大进展，使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的，人们猜测M集是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通，目前尚不清楚。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。 M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个J集的图解目录表作用，即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学密性至今仍未确定，谭磊（Tan Lei）1985年证明了在每一个密休威茨点邻近M集与相关的J集之间存在着相似性。尤金斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。1991年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实，研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。 巴斯莱（B.M.Barnsley）和德门科（S.Demko）1985年引入迭代函数系统，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。1985年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到M集D并D与M在连通性上的差异。在一线性映射系迭代下，可以产生着名的分形曲线——双生龙曲线。1986年水谷（M.Mitzutani）等对其动力系统进行了研究。 一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集，贝德浮德（T.Bedford）等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。卡普兰（j.L.Kaplan）和约克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨（L.S.Young）1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。 多重分形（multifractals）是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔（T.Bohr）等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年，阿内多（A.Arneodo）等人将子波变换用于多重分形研究。费德（J.Feder）、特尔（T.Tel）等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李（J.Lee）等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克（C.Beck）得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。1991年科维克（Z.Kov.acs）等引入双变量迭代系统，最大特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。四分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，是喁喁分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。 在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，M集和J集表现出的简单性与复杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界（SOC）现象的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。可以预言，一场关于分形科学哲学问题的讨论即将在国内展开。

② 如何计算分形维数

设边长增加b,面积增加s,则s/b即为分形的维数

③ 请问关联维数（分形维数）和分数维有什么联系与区别

关联维数实际上是分形维数的一种，因为有很成熟的G-P算法的存在，利于计算和应用。

分形维数除了用分形维旦掘数计算，还可以用盒子维数来计算，此外还有折线法等等。

关联维数（分模返核形维数）等于二世桐减去赫斯特指数，分数维是赫斯特指数的倒数，都是经验公式。很多情况下并不满足，理论上的分形维数应该是豪斯道夫维数，但这很难计算。

④ 分维数的定义与计算

分形（B.B.Mandelbrot，1982）是其组成部分以某种方式与整体相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way）.它是以分维数、自相似性、统计自相似性和幂函数等为工具，研究不具有特征标度，极不规则和高度分割但具有自相似性的复杂现象（如地形起伏、云朵、水系、树的形态等），定量描述这种自相似性的参数称为“分维数”或简称“分维”，记为D，它可以是分数.

维数是一定时空的数值特征.普遍应用维数观，正是现代非线性科学获得的共识.低维与高维、有限维与无限维、整数维与分数维的转化，在探索复杂世界的物质机制中已充分显示了它的威力.

1919年数学家豪斯道夫引入豪斯枣册道夫维.他提出连续空间的概念，也就是空间维数不是跃变的，而是蔽扮连续变化的，即可以是整数，也可以是分数，通过具体计算来确定维，该维数称为豪斯道夫维，记为D_f.例如，对于三维图形，考虑一个棱长为单位长度的立方体，若令每个棱边长度放大两倍，则立方体体积放大8倍，其表达式为2³=8.例如，对于一个D_f维的几何对象，若每个棱边长度都放大L倍，则这个几何对象相应地放大K倍，其D_f、L和K三者关系应为.该式两边取对数后，则D_f=lnK/lnL.对具有奇异构形的分形，这里D_f一般是分数.豪斯道夫维数衍生的各种分形维数，如容量维、信息维、关联维、质量维、空隙维、相似维等等，可以从不同侧面描述客观世界的复杂现象.它们的一个共性，就是在双对数坐标系的尺度变换下，严格地或统计地保持不变.

在测量分维时，有一规律（通常称为zero-sets）是有用的.传统的欧氏几何体与一平面相交，形成图形的维数要减少一维；三维球变成二维圆；二维平面变成一维线；一凳并宏维线变成零维点.分形和传统的欧氏几何体一样，统计分形体的分维是D，在与其相交的平面上进行测量，分维是D-1，在与其相交的直线上测量，分维是D-2.它们与平面相交构成的图形要减少一维；它们与直线相交形成的点集要减少二维.

不同的分维数往往刻画不同的物理类型，划分不同成因，不同性质的群体.如某些相变的发生只有在二维及以上的空间中才会出现，在一维的情况下就不行.因此，在研究某一类事物的规律时，往往需要借助于分维数的差异来帮助判别和分析.例如，将具有不同面积的平面图形放到一维坐标系中，其测度（长度）都是无穷大；放到三维空间，其测度（长度）都是无穷小；只有在二维坐标系中，它们在面积方面的差异才能显现出来.另一方面，由点到线，由线到面和由面到体，随着维数的增加，它们所刻划的客体复杂程度也相应增加，且其占领空间的能力也随之增强.因此，维数的差异直观地反映了客体复杂程度的差异.

分形的定义：设集合A∈Eⁿ（Eⁿ是n维欧氏空间）的豪斯道夫维为D_f和拓扑维为D_t，如果公式D_f≥D_t成立，则称集合A是分形集（或分形）（A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension exceeds the topological dimension）.

例如康托尔集合，D_f=ln2/ln3≈0.6301，而D_t=0，有D_f＞D_t，故康托尔集合是一种分形.又如科曲折线，D_f=ln4/ln3≈1.2618，而D_t=1，有D_f＞D_t，故科曲折线也是一种分形.

由于研究的具体对象（分形）不同，其分维数计算的具体形式和名称也有多种.最常见的分维数有相似维（similarity dimension）或容量维（capacity dimension）D₀、信息维（information dimension）D₁、关联维（correlation dimension）D₂和广义维（generalized dimension）D_q.

1.相似维（similarity dimension）或容量维（capacity dimension）D₀

在测量地质体边界的长度时，设测量尺度为r，覆盖整个边界的最少次数为N（r），此时将容量维数定义为：

分形混沌与矿产预测

将这一定义推广到n维空间Eⁿ（Eⁿ为n维Euclide空间）中，上式中的r为覆盖Eⁿ中图形所需的立方体的边长或球体的直径，N（r）为所需的立方体或球体的最少数目.可以证明D₀=D_f（豪斯道夫维数）.

2.信息维（information dimension）D₁

容量维数D₀只考虑了覆盖图形所需的立方体或球体的数目与其边长或直径的关系.对于那些非确定性的事物，一般是用概率的形式表示出来的，为此引入信息维数的定义：

分形混沌与矿产预测

式中P_i是覆盖概率，当用边长为r的小盒子去覆盖分形结构时，P_i是分形结构中某些点落入小盒子的概率.如果P_i=1/N（r）时，则有D₁=D_f.

3.关联维（correlation dimension）D₂

P.Grassberger和J.Procaccia（1983）应用关联函数C（r）给出了关联维数的定义：

分形混沌与矿产预测

式中是相空间中两点之间距离小于r的概率，|X_i-X_j|为两点距离间的向量距离，r为指定的距离上限，，它是 Heavisideh函数.

4.广义维（generalized dimension）D_q

分形混沌与矿产预测

式中P_i是覆盖概率，当用边长为r的小盒子去覆盖分形结构时，P_i是分形结构中某些点落入小盒子的概率.当q取不同值时，D_q表示不同分维，如D_q=0=D₀，D_q=1=D₁，D_q=2=D₂.应当注意上述分维数之间的关系只是形式上（或定义上）的，但在实际问题计算中，上述关系不一定成立.

5.分维Brown函数

严格的自相似性在自然界并不多见，为了描述大量自然形状，需要用统计自相似性的概念来推广分维的定义，这就要用到分维Brown函数.

设x∈Eⁿ（Eⁿ为n维Euclide空间），f（x）是关于点x的随机实值函数，若存在常数H（0＜H＜1）使得函数：

分形混沌与矿产预测

是一个与x，Δx无关的分布函数，则称f（x）为分维Brown函数，其分维值为：D_B=n+1-H.