数学分析的典型计算方法

⑴ 数学分析计算

答案是 64 a |a|π / 3。

有几点问题：

1）从根号里提出a的时候，提出的应该是|a|。

2）除了这个，到第六行都没弯春有问题。

3）第六行到第七行，界限错了，应该是 π，而不是2π。

4）第七行到第八行，常数错了，埋判耐应该是32。

5） 第八行到第九行积分还挺复杂的，可能需要展开写。冲没

这里是从第八行开始的运算：

⑵ 求数列极限的几种方法

摘要：本文介绍了计算极限的几种方法，讨论如何用定积分、幂级数、微分中值定理、O-Stolz公式、泰勒展式等方法计算极限．关键词：计算极限；定积分；幂级数；泰勒展式1. 引言极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法（见 [1]-[4]）. 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献[1]-[4]的结论进行了推广，讨论如何利用定积分、幂级数、O-Stolz公式、泰勒展式、微分中值定理计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想.2. 利用定积分求极限3. 利用幂级数求极限 利用简单的初等函数（特别是基本初等函数）的麦克劳林展开式，常能求得一些特殊形式的数列极限.4. 利用级数收敛性判定极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系. 因此，数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题.5 .利用O-Stolz公式计算极限6. 利用泰勒公式求极限等价无穷小代换是求极限的重要方法，往往可以减少计算量，使问题得以简化. 但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量的乘积或除的极限，而对两个无穷小量非乘且非除的极限，以上方法不能凑效，而Taylor公式代换是解决此类极限问题的一种有效的方法.7. 利用微分中值定理求极限Lagrange定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛，下面我们来看一下Lagrange定理在求极限中的应用 .参考文献[1]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京：高等教育出版社，1993. [2]刘玉琏. 数学分析讲义[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.[3]同济大学数学教研室. 高等数学（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社, 1996.[4]费定晖,周学圣. 数学分析习题集题解[M]. 山东: 山东科学技术出版社,2002.（作者杨海珍系首都师范大学在读研究生）注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。（剩余0字）

⑶ 数学分析中所有有关计算的方法技巧有哪些

最典型的是牛顿分步法（或叫牛顿逼近法），泰勒展开法

⑷ 数学分析中求极限的几种重要方法

极限是数学分析的重要内容，是高等数学的理论基础和研究工具，学习极限相关理论对学习数学分析和掌握高等数学众多理论有着极其关键的作用。由于极限的计算题目类型多变，而极限的求取方法也种类繁多，因此，针对不同问题找到正确且最简洁的方法意义重大。

1、利用定义求极限

极限的概念可细分为函数的极限和数列的极限。

2、利用法则求极限

2.1 四则运算法则法

2.2 两个准则法

本文简单介绍两个准则，分别为夹逼准则和单调有界准则，常用于数列极限的求解。

(2)单调有界准则：单调有界数列必有极限，且极限唯一。

利用单调有界准则求极限过程中，首先需要证明数列的单调性和有界性，然后要证明数列极限的存在，最后根据数列的通项递推公式以及极限的唯一性来求极限。

2.3 洛比达法则法

3、利用公式求极限

3.1 两个重要极限公式法

(1)极限及其变换，常用于包含三角函数的“”型未定式。

利用这两个重要极限公式来求极限时要仔细观察函数形式是否符合。

3.2 泰勒公式法

泰勒公式法是指在求极限时，利用泰勒公式将函数进行展开后再通过一般求极限的方法进行计算的'方法。

泰勒公式法对一些比较复杂的求极限过程可以起到简化作用。

4、利用性质求极限

4.1 无穷小量性质法

利用下列几点无穷小量的性质可解决相关的极限问题。

性质1：有限无穷小量的代数和为无穷小。

性质2：无穷小量与有界函数的乘积为无穷小。

性质3：有限无穷小量的乘积为无穷小。

4.2 函数连续性法

函数的连续性：

5、其他方法

5.1 中值定理法

中值定理法包括利用微分或积分中值定理求极限，通过微分或积分中值定理将函数进行变换，再求极限。

5.2 定积分法

则可知定积分可化为和式极限的形式，同样，在求和式极限时，可转为定积分的形式来求解。具体步骤：

(1)首先选择恰当的可积函数f(x)。

(2)然后将所求和式极限表示成为f(x)在某区间[a，b]上的等分的积分和式的极限。

(3)最后利用求f(x)在区间[a，b]上的定积分就可得到和式的极限。

⑸ 数学分析方法的常用数学分析方法

1.线性规划；
2.盈亏平衡分析；
3.计划评审法；
4.收益矩阵决策；
5.排队模型；
6.其他几种方法。
（1）等可能法；
（2）大中取大法（乐观法）；
（3）小中取大法（悲观法）；
（4）乐观系数法；
（5）沙凡奇（Savage）法（后悔值大中取小法）。

⑹ 数学分析怎么学

学好数学分析方法参考如下：

对于初学者，最重要的是明白几个点，

1、是“极限”的概念，也就是“ ϵ−δepsilon-delta ”必须学得很好，一开始“细抠”，也就是说必须严格按照这个定义来，这样你就能避免“为什么这个需要证” ，“为什么这个证明起来那么麻烦”这种问题。

2、摧毁自己的三观腔游。 多看一些反例：连续但是不可导的尘型，原函数存在但是黎曼不可积的，处处不连续的函数，处处连续但是处处不单调的函数，处处连续但是处处不可导的函数，处处可导但是处处不单调的函数。

3、做题适量，几米多维奇别刷，效率太低，可以做一些精简版本的，理解第一，然后才是计算。裴礼文的《数学分析中的典型例题》比较好，但是难度有点大。

很多大一新生数学系又看了一次rudin的《数学分析原理》，我觉得rudin最好第二次学（复习的时候）看。还有，如果对怎么算伍兄销积分有兴趣，可以看一本书：Paul J. Nahin Inside Interesting Integrals

4、题目还是要做的，学数学也怕那种自认为学懂的情况，很多高中生就自称学会了数学分析。为了检验自己，课后习题还是要做的，至少做对80%-90%才可以，多做一些理解、证明的题目，计算题适量做。

⑺ 极限的计算方法总结

极限的计算方法总结如下：

极限：

极限是微积分和数学分析的其他分支最基本的概念之一，连续和导数的概念均由其定义。它可以用来描述一个序列的指标愈来愈大时，序列中元素的性质变化的趋势，也可以描述函数的自变量接近某一个值的时候，相对应的函数值变化的趋势。

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的影响趋势性结果就是非常精密的盯知约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中乱知的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科？”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想象，因此可以忽略不计。

⑻ 数学分析模型（一）：数据的无量纲处理方法及示例（附完整代码）

在对实际问题建模过程中，特别是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型的数据处理及融合。而各个指标之间由于计量单位和数量级的不尽相同，从而使得各指标间不具有可比性。在数据分析之前，通常需要先将数据标准化，利用标准化后的数据进行分析。数据标准化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据的同趋化处理主要解决不同性质的数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系的作用力同趋化。数据无量纲化主要解决数据的不可比性，在此处主要介绍几种数据的无量纲化的处理方式。

可以选择如下的三种方式：

即每一个变量除以该变量取值的全距，标准化后的每个变量的取值范围限于[-1,1]。

即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值的全距，标准化后各变量的取值范围限于[0,1]。

，即每一个变量值除以该变量取值的最大值，标准化后使变量的最大取值为1。

采用极值化方法对变量数据无量纲化是通过变量取值的最大值和最小值将原始数据转换为界于某一特定范围的数据，从而消除量纲和数量级的影响。由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量的最大值和最小值这两个极端值有关，而与其他取值无关，这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。

来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量的标准差，无量纲化后各变量的平均值为0，标准差为1，从而消除量纲和数量级的影响。虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有的数据信息，但是该方法在无量纲化后不仅使得转换后的各变量均值相同，且标准差也相同，即无量纲化的同时还消除了各变量在变异程度上的差异。

，该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息。
（4）标准差化方法

。该方法是标准化方法的基础上的一种变形，两者的差别仅在无量纲化后各变量的均值上，标准化方法处理后各变量的均值为0，而标准差化方法处理后各变量均值为原始变量均值与标准差的比值。

综上所述，针对不同类型的数据，可以选择相应的无量纲化方法。如下的示例就是一个典型的评价体系中无量纲化的范例。

近年来我国淡水湖水质富营养化的污染日益严重，如何对湖泊水质的富营养化进行综合评价与治理是摆在我们面前的任务，下面两个表格分别为我国5个湖泊的实测数据和湖泊水质评价标准。

表1 全国五个主要湖泊评价参数的实测数据

表2 湖泊水质评价标准

（1）试用以上数据，分析总磷，耗氧量，透明度，总氨这4个指标对湖泊水质评价富营养化的作用。
（2）对这5个湖泊的水质综合评价，确定水质等级。

在进行综合评价之前，首先要对评价的指标进行分析。通常评价指标分成效益型，成本型和固定型指标。效益型指标是指那些数值越大影响力越大的统计指标（也称正向型指标）；成本型指标是指数值越小越好的指标（也称逆向型指标）；而固定型指标是指数值越接近于某个常数越好的指标（也称适度型指标）。如果每个评价指标的属性不一样，则在综合评价时就容易发生偏差，必须先对各评价指标统一属性。

（ⅰ）建立无量纲化实测数据矩阵和评价标准矩阵，其中实测数据矩阵和等级标准矩阵如下，

然后建立无量纲化实测数据矩阵和无量纲化等级标准矩阵，其中

得到

（ⅱ）计算各评价指标的权重
计算矩阵B的各行向量的均值和标准差，

最后对变异系数归一化得到各指标的权重为

（ⅲ）建立各湖泊水质的综合评价模型
通常可以利用向量之间的距离来衡量两个向量之间的接近程度，在Matlab中，有以下的函数命令来计算向量之间的距离；
dist(w,p): 计算中的每个行向量和中每个列向量之间的欧式距离；
mandist(w,p): 绝对值距离。
计算中各行向量到中各列向量之间的欧氏距离，

，则第个湖泊属于第级。

这说明杭州西湖，武汉东湖都属于极富营养水质，青海湖属于中营养水质，而巢湖和滇池属于富营养水质。

，则第个湖泊属于第级。

其评价结果与利用欧氏距离得到的评价结果完全一样。

所以，从上面的计算可以看出，尽管欧氏距离和绝对值距离的意义完全不一样，但对湖泊水质的评价等级是一样的，这表明了方法的稳定性。

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⑼ 常用的数学分析方法有哪些

1．避免“一步到位”
是指解题过程中，省略关键步骤，而直接得到答案，这样扣分是严重的．由于解答题是严格按照步骤给分的，如果解题过程中失去关键步骤，跳过拟考查的知识点、能力点，就意味着失去得分点，自然被扣分.
例1(2000年全国高考题) 已知函数y＝ cos2x＋ sinxcosx＋1，x∈R．
(I) 当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(II) 该函数的图像可由y＝sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：(I)由题设可得，y＝ sin(2x＋ )＋ ，故有
当 x= ＋k ，k∈Z，函数y取得最大值．
(II) 略．
评注：在(Ⅰ)的解答中犯了“大题小作”中的“一步到位”错误，缺少了化简过程的3个要点与何时取到最大值的1个要点，因而被扣分.
2． 避免“使用升华结论”
在解选择和填空题中，使用升华结论(教材中未给出的正确结论)是允许的，而且还是一种简捷快速的答题技巧．而直接运用(不加说明或证明)在解答题中是不合适的，且是“大题小作”，要适当扣分的.
解答高考解答题的理论根据应该是教材中的定义、定理、公理和公式，而学生使用“升华结论”则达不到考查能力、考查过程的目的，因此不能以题解题，不能直接运用教材以外别的东西，以免被扣分.
例2⑴(1991年全国高考题) 根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．
⑵(2001年全国高考题) 设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
评分标准中指出：
对于⑴：“利用y＝x3在[0，＋∞)上是增函数的性质，未证明y＝x3在(－∞，＋∞)上也是增函数而直接写出f(x1)－f(x2)＝ － ＜0，未能证明为什么 － ＜0过程，由评分标准知最多得3分．
对于⑵：有些考生证明时，直接运用课本中的引申结论“y1 y2＝p2”而跳过拟考查的知识点、能力点而被扣2分.
对于课本习题、例题的结论，是要通过证明才能直接使用(黑体字结论例外)，否则将被“定性”为解题不完整而被扣分．又如1996年高考理科第22(Ⅱ)及2001年全国高考理科第17(Ⅱ)利用面积射影定理，由于不加证明而直接使用，因而被扣分.
3 避免“答非所问”
是指没有根据题意要求或没有看清题意要求，用其它方法或结论作答，这明显也要被扣分的.
例3(1993年全国高考题)已知数列
Sn为其前n项和．计算得 观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明．
解：依据题意，推测出Sn的公式为：
Sn＝ ．
∵ ak＝ ＝ － ，
分别取k＝1，2，3，…，n，并将n个式子相加得：
Sn＝1－ ＝ ．
评注 以上解法可谓“简单、明了”，但证明时不用数学归纳法，为“答非所问”，不合题意，扣分是必然的. 又如1999年高考第22题(应用题)，第(Ⅰ)问中求“冷轧机至少需要安装多少对轧辊”，要求是用整数作答，不少考生未能用整数作答，违背题意而被扣分.
(四)了解“评分标准”，把握得分点
掌握解答题的“得分点”就要了解高考的评分标准，解答题评分标准是分步给分，但并非写得越多得分越高，而是踏上得分点就给分，即按所用的数学知识，数学思想方法要点式给分，允许“等价答案”，允许“跳步得分”. 因此解答时，应步骤清，要点明，格式齐. 对于不同题型的给分规律有：
1．立几题得分点
通常分作证，计算两部分给分，各段中间又按要点给分.证明主要写清两点：①空间位置关系的判断推理的依据(课本中的定理、公理)；②什么是空间角和距离及理由(紧扣定义). 特别要注意没有写清角、距离要被扣分. 计算过程的书写：计算一般是解三角形，要写清三角形的条件及解出的结果. 用等积法解题，要找出等积关系并计算. 都是分段得分的，如1998年23题，1999年22题，都有3个小题，每小题4分，其中作证2分，计算2分.
2．分类讨论题得分点
按所分类分别给分，加上归纳的格式(即写为“综上：当××时，结论是××”)分. 如1996年第20题，按a＞1和0＜a＜1两类分别给5分，归纳给1分. 2000年理19(Ⅱ)，求 a 的取值范围，使函数在区间[0，＋∞)上是单调函数，按 a≥1和0＜a＜1讨论各得2分.
3．应用题得分点
按设列、解答两部分给分. 特别要注意不答和答错都要扣1分，应注意设、列、解、答的完整性，争取步骤阶段分.
4．推理证明题得分点
按推理格式，推理变形步骤给分. 对于用定义证明函数的单调性、奇偶性，用数学归纳法证题，都有严格的格式分，应完整，避免失分. 即使推理证明不出，宁可跳步作答，也要套用格式. 从条件、结论两头往中间靠，这样写完格式，这样可以少扣分.
5．综合题得分点
按解答的过程，分步给分，每个步骤又按要点给分. 尽可能把过程分步写出，尽量不跳步，根据题意
列出关系，译出题设中每一个条件，能演算几步算几步，尚未成功不等于失败，特别是那些解题层次分明的题目，那些已经程序化的方法，每进行一步得分点的演算都可以得到这一步的满分，最后结论虽然没有算出来，但分数已过半，所以说，“大题拿小分”也是一个好主意. 因此尽量增加分步得分机会，千万别轻易留空白题.
(五)常用的解答题解题技巧
1.较简单的解答题的求解
对于比较容易解答的解答题(一般是前面3道),宜采用一慢一快的方法,就是审题要慢,解题要快,速战速决,为后面3道解答题留下时间.
找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不要拖泥带水，罗唆重复，用阅卷老师的话，就是写出“得分点”，一般来讲，一个原理写一步就可以了。至于不是题目直接考查的过渡知识，可以直接写出结论，高考允许合理省略非关键步骤，应详略得当。
例2004北京理科第15题
在 中， ， ， ，求 的值和 的面积.
分析:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力
解：
又 ,

.

2.较难的解答题的求解
对于较难的解答题(后面3道)来说,要想在有限的时间内做全对是不大现实的.当然也不能全部放弃,应该尽可能的争取多拿分.对于绝大多数考生来说，在这里重要的是：如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略，下面谈四个观点。
(1)、缺步解答
如果我们遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个明智的策略是：将它分解成为一个系列的步骤，或者是一个个子问题，能演算几步就演算几步，尚未成功不等于彻底失败，每进行一步得分点的演算就可以得到这一步的满分，最后结论虽然没有得出来，但分数却已过半。因为近几年高考解答题的特点是：入口易完善难，不可轻易放弃任何一题。
例: (2004浙江理科第21题)已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1.
（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且 ，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当 时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.
解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程
即
因为点M到直线AP的距离为1,
∵ 即 .
∵ ∴
解得 +1≤m≤3或--1≤m≤1-- .
∴m的取值范围是
(Ⅱ)可设双曲线方程为 由
得 .
又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此， （不妨设P在第一象限）
直线PQ方程为 .
直线AP的方程y=x-1,
∴解得P的坐标是（2+ ，1+ ），将P点坐标代入 得，

所以所求双曲线方程为
即
(2)、跳步解答
解题卡在某一过渡环节上是常见的，这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果得不出，证明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，我们再回过头来，集中力量攻克这个“中途点”。由于高考时间的限制，“中途点”的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写上“证明某步之后，继而有……”一定做到底。也许，后来中间步骤又想出来了，这时不要乱七八糟地补上去，可补在后面，可书写为“事实上，某步可证如下”。
有的题目可能设有多问，第一问求不出来，可以把第一问当成已知，先做第二问，这也算做是跳步解答。
例: (2004天津文科第18题) 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
(I) 求所选3人都是男生的概率；
(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.
解: (I) 所选3人都是男生的概率为
(II)所选3人中恰有1名女生的概率为
(III)所选3人中至少有1名女生的概率为
这3道小题可以说是互相独立的,彼此不相干.所以如果第1小题做不来,可以跳过去,直接做第2小题.

(3)、退步解答
“以退求进”是一个重要的解题策略，如果你不能解决题中所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从复杂退到简单，从整体退到局部。总之，退到一个你能够解决的问题，比如，{an}是公比为q的等比数列，Sn为{an}的前n项和，若Sn成等差数列，求公比q=____.
对等比数列问题，我们需考虑到q=1，q≠1两种情况，你可以先对特殊的q=1进行讨论，满足题意，找到解题思路和情绪上的稳定后，再讨论q≠1时是否也满足题意，发现无解，如果对q≠ 1的情况你确实不会解，你还可以开门见山的写上：本题分两种情况：q=1或q≠1.
也许你只能完成一种情况，但你没有用一种情况来代替主体。在概念上、逻辑上是清楚的。另外“难的不会做简单的”还为寻找正确的、一般的解题方法提供了有意义的启发。
4、辅助解答
一道题目的完整解答，即要有主要的实质性的步骤，也要有次要的辅助性的步骤，如：准确的作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题中的未知量，函数中变量的取值范围，轨迹题中的动点坐标，数学归纳法证明时，第一步n的取值等，如果处理得当，也会增分，不要小视它们。
另外，书写也是辅助解答，卷面随意涂改及正确答案的位置不合理，都会造成不必要的失分。
所以，有人说，书写工整，卷面整齐也得分，不无道理。

⑽ 数学分析中的典型问题与方法的目录

《数学分析中的典型问题与方法》（裴礼文）电子书网盘下载免费在线阅读

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书名：数学分析中的典型问题与方法

作者：裴礼文

豆瓣评分：9.3

出版社：高等教育出版社

出版年份：1993-5

页数：844

内容简介：《数学分析中的典型问题与方法》共分220个条目,1200个问题,包括一元函数极限、连续、微分、积分、级数,多元函数极限、连续、微分、积分。