融合历史的计算方法

① 数学史怎样融入数学教育

在具体的教学过程中，将数学史融入数学教学有很多种做法，这取决于教师的信念、教学观、课程内容、历史资料等诸多因素，已有的文献也提供了很多的经验，包括使用专机、游戏、历史调查、本地历史考察、历史家庭作业、历史命题、参观、观看影视作品甚至是戏剧表演。
John fauvel 于1991年在《数学学习》上编辑了一期教学中如何应用数学史的专刊，其中列举了应用数学史的12 种不同的具体做法。萧文强（1992）对各种做法进行了概括，提出了应用数学史的8种具体方法和途径：
·在教学中穿插数学家的故事和言行；
·在讲授某个数学概念时，先介绍它的历史发展；
·应用数学历史命题讲授数学概念，根据数学史上典型的错误帮助学生克服学习上的困难；
·知道学生制作富有数学史趣味的壁报、专题探讨、戏剧、录像等；
·应用数学史文献设计课堂教学；
·在课堂内容里渗透历史发展的观点；
·以数学教学做只因涉及整体课程；
·讲授数学史的课。
以上对数学史融入数学教学的研究和总结都成为今天我们实际课堂教学中应汲取的宝贵经验；但怎样将这些理论灵活的运用到实际中去呢？下面就从具体的课堂教学案例入手，谈一谈数学史融入数学教学的方法和作用。
2 将数学史融入数学教学的具体应用
2．1 通过情境创设融入数学史
教学是需要情境的， 但是什么样的情境进入课堂，不仅取决于教学内容， 也取决于教师的教育观念， 相同的教学内容也可以创设出不同的问题情境。建构主义的学习理论强调情境创设要尽可能的真实，数学史实是真实的。因此，情境创设可以充分考虑数学知识产生的背景和发展的历史， 用数学史实作为素材创设问题情境， 这不仅有助于数学知识的学习, 也是对学生的一种文化熏陶。
教材的内容。 这样的情境取材于数学史料， 又准确地反映了数学的本质, 必将增强学生的学习兴趣。
案例1 无理数
可以在讲授无理数的概念时, 先介绍它的历史发展。古希腊时代毕达哥拉斯学派的成员希伯索斯在用勾股定理计算边长为1 的正方形的对角线时， 发现对角线的长度是一种从来没见过的“新数”，打破了该学派所信奉的“万物皆整数”的信条， 引起了人们极大的恐慌， 这件事在数学史上被称为第一次数学危机。 因为这一“新数”的发现，希伯索斯被投入海中处死。那么希伯索斯所发现的是一个什么样的数呢?这节课我们就来揭开它神秘的面纱。
问题1: 边长为1 的正方形的对角线的长度是多少?
学生利用勾股定理很容易算出是。

问题2: 是一个整数吗?

问题3: 它是一个分数吗?

它是一个什么样的数呢?这样从情境入手， 步步深入，自然地展开本节课的教学。

案例2 神秘的数组

“神秘的数组”介绍了美国哥伦比亚大学图书馆收藏的一块编号为“普林顿322( Plimpton322) ”的古巴比伦泥板。 教学时可以以泥板上的数字来展开教学内容。

问题1: 泥板上的60、45、75 这组数之间有什么关系?

学生通过计算可得到:

问题2: 以60mm、45mm、75mm 为边长画△ABC, 并观察它的形状.

通过观察可以发现△ABC 是直角三角形, 然后通过从特殊到一般的方法归纳出一般结论。
数学教材中的知识往往是经过千锤百炼的， 被教材编写者“标本化”地呈现在学生面前， 失去了生气与活力。通过情境创设可以再现数学惊心动魄的发展历程，探索先人的数学思想， 缅怀先人为科学而献身的精神，还其自然，恢复其生气。
2．2 通过知识教学融入数学史
数学史不仅可以给出确定的数学知识， 同时还可以给出知识的创造过程。 对这种创造过程的再现, 不仅可以使学生体会到数学家的思维过程, 培养其探索精神, 还可以形成探索与研究的课堂气氛, 使得课堂教学不再是单纯地传授知识。对于勾股定理的证明, 我国古代数学家给出了众多的方法, 而这些方法大都是通过拼图验证的, 简明直观。将其中经典的验证方法编入教材, 融入课堂教学之中, 不仅是可能的, 也是必要的。
案例3 验证勾股定理
公元3 世纪我国数学家赵爽证明勾股定理的“弦图”如图3。 对这种验证方法的介绍,可以通过数学的再创造, 分析它的探索过程, 使证明思路逐渐显露出来。课堂中再现当年数学家的创造过程, 十分有助于学生理解与掌握所学的容。

剪拼: 剪出四个全等的直角三角形, 并拼成如图3 的形状。 验证: 根据面积关系得到
展示学生的证明方法, 如图4: 学生称四个直角三角形的面积为“朱实”, 中间小正方形的面积为“中黄实”, 以弦为边的正方形的面积为“弦实”, 则“朱实四+ 中黄实=弦实”, 即。当学生们发现自己的验证方法和古人的证法同出一辙时, 自信和自豪之心将油然而生。学生的验证方法充分运用了直角三角形易于移补的特点, 其相应的几何思想是图形经移、补、凑、合而面积不变, 这种思想不仅反映了我国传统文化中追求直观、实用的倾向, 而且其中展示的“出入相补”原理和数形结合的思想是我国传统文化的精髓, 这对于继承和发扬传统文化起着潜移默化的熏陶作用。 学生对“出入相补”原理的开拓性工作, 在中国古代数学史上具有重大影响。 2002 年在北京举行的数学家大会上将此图作为大会的中央图案就不足为奇了。
2．3 通过解答历史名题融入数学史
历史名题的提出一般来说都是非常自然的, 它或者直接提供了相应数学内容的真实背景, 或者揭示了实质性的数学思想方法, 这对于学生理解数学内容和方法都是重要的。 通过对历史名题的解答和探究, 可以使枯燥乏味的习题教学变得富有趣味和探索意义, 从而极大地调动学生的积极性, 提高他们的兴趣。 对于学生来说, 历史上的问题是真实的, 因而更为有趣。
案例4 “鸡兔同笼”
在学习完解方程之后，选取我国古代名着《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题，“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？做为习题。在没有学习方程的知识之前，学生们对于这样一个复杂的应用题大多数都是一头雾水，没有什么解题思路。但是在老师的启发之下，学生们动脑开始运用方程的思想去解决一个历史名题，最后，通过解方程，得出了正确的答案，这对于学生们来说是十分有趣的，既让他们掌握了方程的基本思想，又让他们感觉到学习的新知识是有用的，大大提高了学生学习的积极性，起到了事半功倍的作用。
案例5“折竹问题”
选取《九章算术》中的“折竹问题”: 今有竹高一丈, 末折抵地, 去根三尺, 问折者高几何?做为《勾股定理的应用》的习题。通过练习，同学们可以在熟练应用勾股定理的同时，体会到勾股定理在实际问题中的应用。古代数学学技术的辉煌成就激发了学生爱数学、学数学的情感。这种情感是一种潜在的驱动力，它对于培养学生的学习兴趣，立志投身数学研究有着重要意义。
这些名题历史久远, 解法经典, 影响广泛。 许多历史名题的提出和解决往往与历史名着和大数学家有关, 学生会感到一种智力的挑战, 也会从学习中获得成功的享受, 这对于学生建立良好的情感体验无疑是十分重要的。
2．4 通过方法比较融入数学史
着名科学家巴甫洛夫指出:方法是最主要和最基本的东西。 一切都在于良好的方法,有了良好的方法,即使是没有多大才干的人也能作出许多成就。 如果方法不好,即便是有天才的人也将一事无成。 数学教学必须要使学生明白,任何方法仅仅是许许多多的方法之中的一个, 其中有许多你可能联想都未曾想过。 那种始终认为自己是最正确的、肯定自己的思维都比别人的要高明,肯定没有其他更好的选择的行为,这些都是自负的表现。 而自负是思维的重大过失,它会扼杀真正的思维。事实上,数学教学中涉及的许多问题,从它的历史到现在,经过数代数学家们的不懈努力,大都产生过不少令人拍案叫绝的各种解法。 如勾股定理,就有面积证法、弦图证法、比例证法等300 余种;求解一元二次方程, 历史上就有几何方法、特殊值代入法、逐次逼近法、试位法、反演法、十字相乘法和公式法等;求不规则图形的面积,历史上也有德漠克利法、穷竭法、割圆法、平衡法、开普勒法和沃利斯法以及现代的微积分方法。 通过搜集比较历史上的各种不同方法之后, 不仅能使学生更好地领会每种方法的内在本质,而且能启发学生,这对培养知识面宽、有能力、有信心、灵活多变的人大有帮助。
2．5 通过追踪历史起源融入数学史
数学固然起源于人类对日常生活现象的观察,但它决不简单, 有一定的难度, 需要时间去体验、把玩并体会它的意蕴。 譬如无限的概念,“向人类头脑提出的挑战,激发了人类的想象力,是思想史中任何其他单个问题都无法比拟的。 无限显得既生疏又熟悉,有时超出了我们的领悟能力,有时又自然而易于理解,在征服它的过程中,人也砸碎了将自己束缚在地球上的镣铐。 而为了实现这一征服, 需要调动人的一切能力——人的推理能力,诗一般的想象力以及求知的渴望。 ”①再如代数符号的产生,代数符号早期是没有的,人们使用文字代替,到了古希腊人们才开始用单词表示,中世纪才开始用单个字母表示。 再后来人们才用特殊的字符来表示,每一次的演进,都凝聚了数学先贤们大量的心血和智慧, 都充满了古代数学家们的神思技巧;还有函数概念的发展,从笛卡尔给出最简单的函数概念出发, 经莱布尼兹、贝努利、欧拉、柯西、黎曼、狄利克雷、维布伦等人之手, 一步一步的发展,其间经历了大约六七次扩充,才形成了我们今天看到的函数概念。 追踪历史起源,就是要引导学生去揭示或感受知识发生的前提或原因、知识概括或扩充的经过以及向前发展的方向,引导学生在重演、再现知识发生过程的活动中,内化前人发现知识的方法和能力。 使学生在掌握知识的同时,还能占有镌刻于知识产生中的认识能力,这种认识能力正是构成创新思维能力的核心。
2．6 通过揭示思维过程融入数学史
将数学研究中的思想和方法的要点原原本本地告诉学生,引导学生沿着科学的艰险道路作一次富有探索精神的、充满为真理而斗争的崇高动机的旅行, 使学生充分领略以前数学大师们的灵感,承受他们的启迪,可以从中学到他们的策略和经验等。 譬如, 讲数学的抽象性时, 就可以原原本本地向学生展示欧拉解决七桥问题时的思考过程,讲类比时,可以向学生全面介绍自然数平方的倒数之和问题的产生背景、当时的情形及欧拉解决该问题时的奇思妙想等; 结合几何知识的学习,可以向学生揭示历史上有关几何第五公设的、令一代又一代数学家忙碌了二千多年的、各种各样的思考过程及最终的解决办法。 让数学史曾闪烁过光芒的火花,重新在学生的心中点燃。前人的成功和失误,都是后人聪明的源泉。 数学史可以将逻辑推理还原为合情推理, 将逻辑演绎追溯到归纳演绎。 通过挖掘历史上数学家解决问题的真谛,学生不仅可以学到具体的现成的数学知识,而且可以学到“科学的方法”,开拓学生的视野,使学生更具有洞察力。
2．7 综合运用
如果一堂课选用以上适当的途径和方式渗透于教学的每一个环节，这堂课将变得更加丰满，更具有吸引力。
案例：等比数列求和公式
1. 情景创设：采用一则故事改编自意大利数学手稿中的一道问题
2. 知识教学：用五种方法对等比数列求和公式进行了推倒，其中解法3师古希腊欧几里德的《几何原本》第九卷中给出的方法，它是由等比数列定义出发进行推导的：

3. 公式运用：解决了一些数学史料中的问题，比如出现在古埃及希克索斯草纸中的一个问题：一位妇人的家里有7间储藏室，每间储藏室里有7只猫，每只猫捉了7只老鼠，每只老鼠吃了7颗麦穗，每棵麦穗长出7升麦粒，问储藏室，猫，老鼠，等各有多少？
本例教学以“创设情境-知识教学-模式应用-巩固练习”四个环节展开，环环相扣，循序渐进，等比数列前n项求和公式作为主线贯彻整个教学过程，可以说它是这堂课的骨架，这节课能丰满起来，是因为引入了丰富，有趣的数学史料，他们是这堂课的肌肉；而这骨，这肉背后所隐含的灵魂却是公式的推导方法，以及公式运用，因此，可以用“公式是骨，史料是肉，方法是魂”来概括这节课的特点。
3 总结
在数学史融入数学教学的过程中，最常遇见的困难就是如何对材料适当地剪裁，使其与课程主题融合，以达到数学史的利用能自然、协调，不至于过分突兀，这应是我们追求的最佳效果。 要达到这个目的，那就要求教师在教学活动中，必须注意结合教学实际和学生的经验与体验依据一定的目的，对数学史资源进行有效的选择、组合、改造与创造性加工，使学生容易接受、乐于接受， 并能从中得到有益的启迪。 切实发挥以史激情、以史引趣、以史启真、以史明志的功能。 正像法国着名数学家包罗·朗之万所说: “在数学教学中, 加入历史具有百利而无一弊。

② 历史年份怎么计算的

关于公元纪年的计算方法：

一、世纪

100年一个世纪，百位前面数值加1， 例：1069年（王安石开始变法），10+1=11，所以，公元11世纪； 例：公元前221年（秦朝建立），2+1=3，所以，公元前3世纪； 例：公元前27年（罗马帝国建立），0+1=1，所以，公元前1世纪； 例：公元9年（西汉结束），0+1=1，所以，公元1世纪。

二、年代

1．早期（初期）：世纪头二十年 例：20世纪早期，1900——1919年左右； 例：前594（鲁国实行“初税亩”），公元前6世纪早期。

2．上半期：世纪前50年 例：1800年——1850年左右，19世纪上半期。

3．中期：40——60年代 例：1856年（第二次鸦片战争开始），19世纪中期。

4．后半期：世纪后50年代 例：1851年——1899年，18世纪后半期。如：公元20年—公元29年，为公元1世纪20年代；公元1980年—公元1989年则为公元20世纪80年代。20～29年称为20年代，30～39年称为30年代，……，90～99年称为90年代。

三、计算涉及跨公元前后的时间

与单纯的计算公元前或公元后的时间有所不同，即必须在计算出的时间总数上减去一年，如计算公元前841年到1949年之间有多少年，正确的计算是841+1949-1=2789年，可以把这种算法归纳成一个简单公式“前后相加再减一”。

这里之所以要减出一年是因为公元纪年不设公元0年，不能按照数学上的正负数的概念来计算跨公元前后的时间。

(2)融合历史的计算方法扩展阅读

中国历史的划分：

1、中国近代史：1840年第一次鸦片战争-1919年五四运动

1840年鸦片战争是古代史与近代史的分界点，标志着中国由一个独立的封建社会变为半殖民地半封建社会。

2、中国现代史：1919年-1949年

1919年的五四运动是近代史与现代史的分界点，这标志着中国的革命由旧民主主义革命转为新民主主义革命。

3、中国当代史：1949年至今，也有将中国现代史包括中华人民共和国成立。