3重积分的3种计算方法

㈠ 二重积分,三重积分的计算方法一般有哪几种

二重积分一般有直接计算和极坐标计算两种方法~
三重积分一般有直接计算,柱坐标和极坐标三种方法,积分技巧有先一后二或者先二后一两种技巧~

㈡ 三重积分计算

被积函数推广到三元函数,切条法(
先z次y后x
)
注意
用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分,
则一定可积
由定义可知
三重积分与二重积分有着完全相同的性质
三重积分的物理背景
以
f
(
x
这里有一个幻灯片
其实,得平面区域
⑵穿越法定限.
二,三角形,用截面法较为方便,
就是截面的面积,如截面为圆,椭圆,就得到三重积分的定义
其中
dv
称为体积元,三重积分可化成三次积分进行计算
具体可分为先单后重和先重后单
①先单后重
——也称为先一后二,其它术语与二重积分相同
若极限存在,则称函数可积
若函数在闭区域上连续,就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分
若
f(x,y,z)
在
上连续
介于两平行平面
z
=
c1
,
z
=
c2
(c1
<
c2
)
之间
用任一平行且介于此两平面的平面去截
得区域
则
②先重后单
易见,若被积函数与
x
,
y
无关,或二重积分容易计算时,y)作平行于
z
轴的直线
交边界曲面于两点,各边界面平行于坐标面
解
将
投影到xoy面得D,它是一个矩形
在D内任意固定一点(x
,穿入点—下限,穿出点—上限
对于二重积分,y)
例2
计算
其中
是三个坐标面与平面
x
+
y
+
z
=1
所围成的区域
D
x
y
z
o
解
画出区域D
解
除了上面介绍的先单后重法外,利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分
先重后单,我们已经介绍过化为累次积分的方法
例1
将
化成三次积分
其中
为长方体,其竖坐标为
l
和
m
(l
<
m)
o
x
y
z
m
l
a
b
c
d
D
.(x,
y,
z
)
为体密度的空间物体的质量
下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法.
化三次积分的步骤
⑴投影,在直角坐标系中的计算法
如果我们用三族平面
x
=常数,y
=常数,
z
=常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体
其体积为
故在直角坐标系下的面积元为
三重积分可写成
和二重积分类似,三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，三重积分，就是把一重积分和二重积分的扩展
三重积分及其计算
一

㈢ 高等数学三重积分计算

很简单，
方法一、可以利用堆成性计算：被积函数非负，但是积分区域是一个球心在原点的球，关于任意一个坐标面对称，所以积分为0.
方法二、硬积，采用球坐标系计算，被积函数=x^2+y^2+z^2=r，积分：
∫dφ∫dθ∫r*(r^2*sinφ)dr,积分上下限分别为:(-π,π)、(0,2π)、(0,1)。很容易便算得最终结果为0。其中要注意体积微元dxdydz换算到球坐标系下变成r^2*sinφdφdθdr。

㈣ 求三重积分

1.关于这道三重积分求的过程见上图。

2.求此三重积分时，积分拆开成三项。

3，第一项积分用到被积函数是1的三重积分，等于积分区域的体积，即圆柱体的体积。

4.第二项积分，利用二重积分的对称性，则积分为0。

5.第三项积分用柱面坐标系计算出积分。

具体的求三重积分的过程见上。

㈤ 怎样计算三重积分尽量通俗易懂。

其实,三重积分,就是把一重积分和二重积分的扩展 
三重积分及其计算 
一,三重积分的概念 
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义 
其中 dv 称为体积元,其它术语与二重积分相同
若极限存在,则称函数可积 
若函数在闭区域上连续, 则一定可积 
由定义可知 
三重积分与二重积分有着完全相同的性质 
三重积分的物理背景 
以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量 
下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法. 
二,在直角坐标系中的计算法 
如果我们用三族平面 x =常数,y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体 
其体积为 
故在直角坐标系下的面积元为 
三重积分可写成 
和二重积分类似,三重积分可化成三次积分进行计算 
具体可分为先单后重和先重后单 

㈥ 三重积分的计算方法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法
⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
①区域条件：对积分区域Ω无限制；
②函数条件：对f（x,y,z）无限制。
⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成；
②函数条件：f（x，y，）仅为一个变量的函数。 适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设x2+y2=a2,x=asinθ，y=acosθ
①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；
②函数条件：f（x,y,z）为含有与x2+y2（或另两种形式）相关的项。 适用于被积区域Ω包含球的一部分。
①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；
②函数条件：f（x,y,z）含有与x2+y2+z2相关的项。

㈦ 高数中三重积分如何计算

三重积分确实比较难的

常见的有直角坐标系下计算这个 还有极坐标也可以来计算三重积分

㈧ 三重积分的求法

一共有三种类型

（1）直角坐标计算三重积分。

已知体积的x,y,z各各范围

作法：

1 投影到xy(或xz,yz),这时先计算z, x y 已知，用x,y 表示z.

2 计算x,y，用X型，或Y型.（前面已经写过博客）

（2）用柱坐标计算。

有三项

1 角度a

2 r x=pcosa y=psina r的取值范围,联立@1 z=x+y @2 z=ax^2+by ,求出x^2+y^2=r（r已知）。

3 z z的范围用r表示联立两个z= z= 求出x^2+y^2=r,z用r表示。