对数值计算方法的认识

㈠ 求数值计算方法 第三版 李有法 朱建新 课后答案

数值计算方法如下：

1、有限元法：有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式。

借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数 形式，便构成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元 上的近似解构成。

根据所采用的权函数和插值函数的不同 ，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。

2、多重网格方法：多重网格方法通过在疏密不同的网格层上进行迭代,以平滑不同频率的误差分量。具有收敛速度快,精度高等优点。

多重网格法基本原理微分方程的误差分量可以分为两大类，一类是频率变化较缓慢的低频分量；另一类是频率高，摆动快的高频分量。

一般的迭代方法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显着。高频分量和低频分量是相对的，与网格尺度有关，在细网格上被视为低频的分量，在粗网格上可能为高频分量。

多重网格方法作为一种快速计算方法，迭代求解由偏微分方程组离散以后组成的代数方程组，其基本原理在于一定的网格最容易消除波长与网格步长相对应的误差分量。

该方法采用不同尺度的网格，不同疏密的网格消除不同波长的误差分量，首先在细网格上采用迭代法，当收敛速度变缓慢时暗示误差已经光滑，则转移到较粗的网格上消除与该层网格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进行下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细网格上。

3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：

一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

4、有限体积法：有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。

为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。

有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒原理一样。

限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒。

而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。

有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值 ，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。

在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。

5、近似求解的误差估计方法：近似求解的误差估计方法共有三大类:单元余量法,通量投射法及外推法。

单元余量法广泛地用于以FEM离散的误差估计之中,它主要是估计精确算子的余量,而不是整套控制方程的全局误差。

这样就必须假定周围的单元误差并不相互耦合,误差计算采用逐节点算法进行。单元余量法的各种不同做法主要来自对单元误差方程的边界条件的不同处理办法。基于此,该方法能够有效处理局部的残余量,并能成功地用于网格优化程序。

通量投射法的基本原理来自一个很简单的事实:精确求解偏微分方程不可能有不连续的微分,而近似求解却可以存在微分的不连续,这样产生的误差即来自微分本身,即误差为系统的光滑求解与不光滑求解之差。该方法与单元余量法一样,对节点误差采用能量范数,故也能成功地用于网格优化程序。

单元余量法及通量投射法都局限于局部的误差计算(采用能量范数),误差方程的全局特性没有考虑。另外计算的可行性(指误差估计方程的计算时间应小于近似求解计算时间)不能在这两种方法中体现,因为获得的误差方程数量,阶数与流场控制方程相同。

外推是指采用后向数值误差估计思想由精确解推出近似解的误差值。各类文献中较多地采用Richardson外推方法来估计截断误差。无论是低阶还是高阶格式,随着网格的加密数值计算结果都会趋近于准确解。但由于计算机内存与计算时间的限制,实际上不能采用这种网格无限加密的办法。

6、多尺度计算方法：近年来发展的多尺度计算方法包括均匀化方法、非均匀化多尺度方法、以及小波数值均匀化方法、多尺度有限体积法、多尺度有限元法等。

该方法通过对单胞问题的求解，把细观尺度的信息映射到宏观尺度上，从而推导出宏观尺度上的均匀化等式，即可在宏观尺度上求解原问题。均匀化方法在很多科学和工程应用中取得了巨大成功，但这种方法建立在系数细观结构周期性假设的基础上，因此应用范围受到了很大限制。

鄂维南等提出的非均匀化多尺度方法，是构造多尺度计算方法的一般框架。该方法有两个重要的组成部分：基于宏观变量的整体宏观格式和由微观模型来估计缺少的宏观数据，多尺度问题的解通过这两部分共同得到。

该方法基于多分辨分析，在细尺度上建立原方程的离散算子，然后对离散算子进行小波变换，得到了大尺度上的数值均匀化算子。此方法在大尺度上解方程，大大地减小了计算时间。

该法在宏观尺度上进行网格剖分，然后通过在每个单元里求解细观尺度的方程(构造线性或者振荡的边界条件)来获得基函数。从而把细观尺度的信息反应到有限元法的基函数里，使宏观尺度的解包含了细观尺度的信息。但多尺度有限元方法在构造基函数时需要较大的计算量。

借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数 形式，便构成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元 上的近似解构成。

根据所采用的权函数和插值函数的不同 ，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。

2、多重网格方法：多重网格方法通过在疏密不同的网格层上进行迭代,以平滑不同频率的误差分量。具有收敛速度快,精度高等优点。

多重网格法基本原理微分方程的误差分量可以分为两大类，一类是频率变化较缓慢的低频分量；另一类是频率高，摆动快的高频分量。

一般的迭代方法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显着。高频分量和低频分量是相对的，与网格尺度有关，在细网格上被视为低频的分量，在粗网格上可能为高频分量。

多重网格方法作为一种快速计算方法，迭代求解由偏微分方程组离散以后组成的代数方程组，其基本原理在于一定的网格最容易消除波长与网格步长相对应的误差分量。

该方法采用不同尺度的网格，不同疏密的网格消除不同波长的误差分量，首先在细网格上采用迭代法，当收敛速度变缓慢时暗示误差已经光滑，则转移到较粗的网格上消除与该层网格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进行下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细网格上。

3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：

一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

4、有限体积法：有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。

为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。

有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒原理一样。

限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒。

而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。

有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值 ，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。

在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。

5、近似求解的误差估计方法：近似求解的误差估计方法共有三大类:单元余量法,通量投射法及外推法。

单元余量法广泛地用于以FEM离散的误差估计之中,它主要是估计精确算子的余量,而不是整套控制方程的全局误差。

这样就必须假定周围的单元误差并不相互耦合,误差计算采用逐节点算法进行。单元余量法的各种不同做法主要来自对单元误差方程的边界条件的不同处理办法。基于此,该方法能够有效处理局部的残余量,并能成功地用于网格优化程序。

通量投射法的基本原理来自一个很简单的事实:精确求解偏微分方程不可能有不连续的微分,而近似求解却可以存在微分的不连续,这样产生的误差即来自微分本身,即误差为系统的光滑求解与不光滑求解之差。该方法与单元余量法一样,对节点误差采用能量范数,故也能成功地用于网格优化程序。

单元余量法及通量投射法都局限于局部的误差计算(采用能量范数),误差方程的全局特性没有考虑。另外计算的可行性(指误差估计方程的计算时间应小于近似求解计算时间)不能在这两种方法中体现,因为获得的误差方程数量,阶数与流场控制方程相同。

外推是指采用后向数值误差估计思想由精确解推出近似解的误差值。各类文献中较多地采用Richardson外推方法来估计截断误差。无论是低阶还是高阶格式,随着网格的加密数值计算结果都会趋近于准确解。但由于计算机内存与计算时间的限制,实际上不能采用这种网格无限加密的办法。

6、多尺度计算方法：近年来发展的多尺度计算方法包括均匀化方法、非均匀化多尺度方法、以及小波数值均匀化方法、多尺度有限体积法、多尺度有限元法等。

该方法通过对单胞问题的求解，把细观尺度的信息映射到宏观尺度上，从而推导出宏观尺度上的均匀化等式，即可在宏观尺度上求解原问题。均匀化方法在很多科学和工程应用中取得了巨大成功，但这种方法建立在系数细观结构周期性假设的基础上，因此应用范围受到了很大限制。

鄂维南等提出的非均匀化多尺度方法，是构造多尺度计算方法的一般框架。该方法有两个重要的组成部分：基于宏观变量的整体宏观格式和由微观模型来估计缺少的宏观数据，多尺度问题的解通过这两部分共同得到。

该方法基于多分辨分析，在细尺度上建立原方程的离散算子，然后对离散算子进行小波变换，得到了大尺度上的数值均匀化算子。此方法在大尺度上解方程，大大地减小了计算时间。

该法在宏观尺度上进行网格剖分，然后通过在每个单元里求解细观尺度的方程(构造线性或者振荡的边界条件)来获得基函数。从而把细观尺度的信息反应到有限元法的基函数里，使宏观尺度的解包含了细观尺度的信息。但多尺度有限元方法在构造基函数时需要较大的计算量。

㈡ 数值计算法

6.1.2.1 边坡数值计算的安全系数确定

数值分析方法考虑岩土体应力应变关系，克服了极限平衡方法的缺点，为边坡稳定分析提供了较深入的概念。

目前，数值计算的失稳判据主要有两类:一是以数值计算不收敛作为失稳的标志;二是以广义塑性应变或者等效塑性应变从坡脚到坡顶贯通作为边坡破坏的标志。而用数值分析结果获取边坡安全系数也主要有两种方法:强度折减法、数值计算与极限平衡的耦合分析法。

(1)强度折减法:首先选取初始折减系数，将岩土体强度参数进行折减，将折减后的参数输入，进行数值计算，若程序收敛，则岩土体仍处于稳定状态，然后需要再增加折减系数，直到程序恰好不收敛，此时的折减系数即为稳定或安全系数。_[52]

(2)数值计算与极限平衡的耦合分析法:首先采用数值分析法，计算边坡内的应力应变以及位移分布;然后将计算的应力分布结果，通过应力张量变换，求出指定滑动面上的应力分布;最后通过极限平衡方法求出与该滑动面对应的稳定性安全系数。_[52]

6.1.2.2 边坡数值计算方法存在的问题剖析

应该指出，尽管近年来数值模拟方法和理论方面取得了显着的进展，但仍不能很好的适应岩土工程的复杂情况，其主要原因有两方面:(1)数学模型的不确定性。由于岩体力学性质千变万化(弹性、塑性、流变、应变硬化及应变软化等)，且具有复杂的结构特性(岩体结构、岩体介质结构及地质结构等)，不但至今对岩体的失稳或破坏还缺少可靠的判据或准则，而且工程开挖方法、开挖步序对围岩的力学状态(应力和应变)及稳定条件具有重大的影响，在某些情况下还起到决定性的作用，这使得目前对于数学模型的建立，尤其是本构模型的给定还带有相当程度的盲目性。(2)参数的不确定性。岩体的物理力学性质、初始地应力等参数多变，仅通过有限的现场调查和室内试验来获得参数输入信息，数据往往具有很大的离散性，很难全面反映岩体真实情况。

“数学模型给不准”和“输入参数给不准”的困难已成为岩体力学数值分析应用的“瓶颈”问题。事实上，无论数值分析技术多么发达，它们总只是某种手段，关键还是对岩体基本特性的认识。

㈢ 改进计算方法

在早期油气资源评价中，通常应用评价模型，对各参数仅取一个固定值进行简单的运算，所得结果也是一个值。实际上，对于地下评价对象，其大多数参数具有时空变化性，用一个固定值，不管是统计所得均值还是其他值，都很难代表该参数，更无法准确刻画该参数的时空非均质性。在这种情况下，很显然应用单值运算得到的结果很难反映地下评价对象的客观实际。因此，为提高评价质量和结果可信性，必须改进计算方法。

14.4.1 应用网格化方法逼近资源分布

这种方法的基本思路是：

（1）根据大量观测点数据，编制各单一参数的平面分布图，通常为平面等值线图，如生油岩等厚图等，个别为分区等级图，如演化程度图。以这些平面分布图简化表示各参数空间变化，主要是把各参数的垂向变化，用平均值简化为非变化的固定值，如所谓生油岩有机质丰度等值线图，即是把各点垂向上有机质丰度变化简化为非变化的固定值。（2）在平面上建立固定的网格，其网格一般是按均匀法设置，但也可用非均匀网格，网格的多少视各变量平面变化快慢、计算机速度和容量而定。原则上是网格越多、越细就越准确地刻画参数平面变化情况。

（3）以同一网格在各参数分布图上读取网格结点（或网格中点）上参数具体数值。

（4）针对每一个网格结点（或网格中点），按照资源评价模型，分别计算生烃量、排烃量等，然后编制生烃量、排烃量等值线图。

（5）依据各等值线间距所占面积，计算该间距所占的生烃量、排烃量等，再累加得全区生烃量、排烃量。乘以相应运聚系数即得全区资源量。

14.4.2 蒙特卡洛法

所谓蒙特卡洛法是一种数值计算方法，其含义是利用随机抽样方法在各参数分布曲线取定数值，然后根据评价模型进行运算，结果得到一定值，反复如上过程成千上万次，结果就有成千上万个定值，再将这些定值进行统计，得到结果分布曲线。该方法已广泛应用于油气资源评价，其优点是：以一个分布曲线来逼近地下评价对象及较可能值、最可能值。这更加符合人们对地下评价对象的认识过程和局限性、不确定性。

该方法的计算步骤如下：

（1）通过资料处理解释、分析化验、图件读取等方法，产生和采集、整理各参数的数据，原则上是越多越好。同时剔除奇异点。

（2）根据整理的数据，统计建立各参数概率分布曲线。当数据较多，如多于几十个时，统计分布曲线代表性强、可靠性高。但当数据少到只几个或十余个时，可依据该参数的分布概型（一般是经验已知的分布模型，如正态分布、对数正态分布等），构造实际的分布曲线。但当数据少到只几个且其分布概型也不确定时，最好用均匀分布或三角分布代替其分布。

（3）利用计算机产生随机数，其中最简单最基本的是均匀分布随机数。要求随机数产生后必须经过严格的检验（如均匀性检验、独立性检验、组合规律性检验、连续性检验等），性质符合要求时方可投入使用。随机数个数越多越好，最好成千上万。随机数值区间为0～1。

（4）以随机数值为概率入口值，用插值法在某一参数分布取该概率所对应的参数值（图14-1）。再用另一个随机数值在另一参数分布曲线上求取该参数值（图14-2）。以此类推。再将所求取的各参数的值（一个参数只一个值）按评价模型相乘除或加减，得到一个结果（图14-3）。反复此过程，得到成千上万个结果。

图14-1 抽样计算过程示意图

（5）再将所得结果进行数理统计，得到结果概率分布图（图14-3）。一般而言，蒙特卡洛计算所用参数概率分布可以是各种各样，但其结果分布一般都是正态分布或对数正态分布。

图14-2 多参数抽样计算过程示意图

图14-3 蒙特卡洛计算过程示意图

14.4.3 模糊数学计算方法

在一些研究对象中，不同事物的界线是截然不同的，如水可以有冰、水、汽三种形态，其界限一般是明确的；而在某些对象，不同事物之间的界限是不明确的，例如在石油地质中，储层的“渗透性好”和“渗透性差”是两个截然不同的概念，但有时对于某个具体的对象，要把它归到“渗透性好”或“渗透性差”却不容易。模糊数学用隶属度来描述这种情况，即用数值来表示某对象属于某事物的程度，一个对象可以“属于”两类甚至两类以上事物，分别以两个隶属度描述它属于这两类事物的程度，这样，较合理地解决了这类问题。

当用模糊数学评价圈闭的含油气性时，即用一个向量来表示一个圈闭：

油气资源评价方法与实践

研究对象含k个圈闭，则用集合U_i来表示这个圈闭群：

油气资源评价方法与实践

n个地质因素在评价圈闭的含油气性中起的作用不同，各因素用一个权a_i值表示其在评价中的作用大小：

油气资源评价方法与实践

每个地质因素用m个级别来表示其有利程度：

油气资源评价方法与实践

C_i是用整数表示的一种属性，其具体值依m不同而异。

当m=3时，C=［-1 0 1］

当m=5时，C=［-2-1 0 1 2］

当m=7时，C=［-3-2-1 0 1 2 3］

一个圈闭的某个地质因素用它对各属性的隶属度来表示（如表14-1）。

表14-1 地质因素各属性的隶属度表

对一个圈闭用n个变量来描述，每个变量的表述将转变为一个向量，而一个圈闭原来用一个向量表示，将变为用综合评价变换矩阵R表示：

油气资源评价方法与实践

用各地质因素的权和各圈闭的综合评价变换矩阵算出各圈闭的综合评价，这个计算过程称为合成：

油气资源评价方法与实践

式中h是样品号，R_h是第h号样品的综合评价变换矩阵，B_h是n（变量数）个数构成的向量，其各元素为

油气资源评价方法与实践

这里，○表示某种算法，这些算法都是由下列4种基本算法演化出来的（假设a、r为模糊集合中的两元素）。

1）a∨r=max（1，r）

2）a∧r=min（a，r）

3）a·r=ar

4）a⊕r=min（a，1+r）

按照这样合成得出一个样品向量，然后计算综合评价值（综合得分）D：

油气资源评价方法与实践

结果为一个数。各圈闭按其D值排队，就是这些圈闭的优劣排队。每采用一个合成法，就有一个B，相应有一个D值，就有一个排队，因为B的产生方法不同，各变量值所起作用不尽相同，同样的原始数据会有不同的排队结果。

14.4.4 神经网络计算方法

人工神经网络是指由大量与自然神经系统的神经细胞相类似的（人工）神经元互联而成的网络。

神经网络的结构和特性是由神经元的特性和它们之间的连接方式决定的。人工神经元之间通过互联形成网络。互联的方式称为连接模式。神经元之间的连接强度为连接权。当网络的连接权矩阵确定后，网络的连接模式也就确定了。

在人工神经网络中，信息处理过程或存贮知识的改变是通过修改神经元间的连接模式来完成的。这一修改过程称做神经网络的训练或学习。不同的权矩阵调整方式，就是不同的学习方式。

神经网络的学习和神经网络的结构没有一一对应的关系。不同的神经网络可以采用相同的学习算法进行训练；同一神经网络也可以采用不同的学习算法进行训练。

一般采用多层前向神经网络，用误差反传（BP）算法。

对于一个由3层组成的神经网络模型，第一层为输入层，第二层为中间层，第三层为输出层。第一层的神经元数为n，中间层的神经元数为1，第三层的神经元数为1。

第1层为输入层，由M个样品的n个神经元组成，约定第k个样品（圈闭）的输入，即第1层神经元为：x_k1，x_k2，…，x_kn，相应的输出为T_k，其中，k为样品号，k=1，2，3，…，M，n为神经元数，在此可理解为自变量数。

第2层为隐层，其神经元数1是用户设定的，由x与权系数矩阵W₂相乘算出，第k个样品的中间层为

油气资源评价方法与实践

F（t）采用S型（Signmoid）压缩函数：

油气资源评价方法与实践

为了能控制u的取值，把第一式改为：x₀=-1，w_0j=ξ，记

油气资源评价方法与实践

则第二式成为

t的值除与W_ij，x_i有关外，还与变量数n有关，为了让的值在0～1的范围内，就需要

油气资源评价方法与实践

给一个适当的ξ值。

中间层到输出层的计算与此相仿。只是它用另外一个W（矩阵）。

如果找到合适的W（两个W阵），则由输入的各样品的X算出各样品的y值应与原样品的输出值T相同或很接近。我们的任务就是要求这两个W阵。

油气资源评价方法与实践

开始的W阵是随机产生的。当然它算出各样品的y不会等于T。我们用E（W）来衡量它的偏差：

油气资源评价方法与实践

当E（W）＜ε时，学习完成。当E（W）＞ε时，就要修改两个W阵，让E（W）逐渐变小，就现在的这个模型（一共有3层，输出层只有一元）来说，修改W分两步，第一步修改由u计算y的W，第二步修改由x计算u的W。

油气资源评价方法与实践

油气资源评价方法与实践

这样，每次根据算出的y来指导修改两层的W阵，直至E（W）＜ε，学习完成。

学习完成后，得到两个W阵，把待判样品的x向量按既定的模式计算可得各样品的y值，为具体对象的评价。

㈣ 求数值计算方法在某个专业中(机械专业,控制工程等等)的应用论文一篇

黄土路基温度场数值分析掌
王铁行刘明振鲁洁
(西安建筑科技大学土木工程学院陕西西安710Q55)
摘要基于黄土高原的气候特征及现有文献，提出了模拟黄土高原气候因素的地表温度场数值
计算方法，并模拟气温、辐射量、湿度等边界条件，经过对黄土高原边界因素的分析研究，确定了适
于黄土高原的模型参数。对西安和延安两地地表温度的计算结果与实测结果的对比分析表明了文内方
法的合理性，分析了黄土路基温度场随气候的动态变化。探讨了温度梯度对非饱和黄土路基稳定性的
影响，表明外界条件的昼夜变化对路基路面温度的影响不超过30 cm。
关键词黄土温度气候路基数值分析
1引言
路基直接受到诸如辐射、蒸发、湿度、风速等气
候因素及路基地表形态的影响，其土体温度场是变化
的。温度变化引起水分迁移使含水量变化.^引，并
引起土体冻融相变使水份向冻融界面运移。温度变化
导致工程土体湿度场变化，进一步导致强度场变
化¨卜p1，常常导致一系列病害的发生。路基工程横
向热差异问题及其导致的病害问题，即工程中的阴阳
坡问题，主要与路基阴、阳坡面受到的辐射等气候因
素的差异有关。这方面研究成果目前较少。本文模拟
黄土高原气候变化过程及路基地表形态，就黄土路基
温度场的数值计算方法及温度场的变化过程进行
探讨。
2黄土路基温度场数值模型及参数取值
辐射、蒸发、湿度、风速等因素随时间变化。黄
土路基温度场属非稳态相变温度场，其基本方程为
([K]+訾)四={P|t+岩四一山(1)
式中[K]为温度刚度矩阵；[Ⅳ]为非稳态变温矩
阵；{r}为温度值的列向量；△f为时间步长；{P}为合
成列阵，下标f为时间。
{P}是综合考虑相变、辐射、对流、蒸发的列
阵。辐射列阵包括太阳辐射列阵、大地辐射列阵和大
气辐射列阵。各个列阵参见有关文献∞1。参考有关文
献¨卜归1，取黄土地表大地辐射黑度为0．68，取黄土
地表对太阳辐射的吸收率为O．78，沥青路面对太阳
辐射的吸收率为0．90。大气辐射黑度z：与大地对大气
辐射的吸收率口’的取值比较复杂，其值与气温、云
量、湿度、粉尘含量等因素有关，气温和湿度不仅可
以反映空气中水蒸气的多少，也可以反映云量水平
高低。
本文选取气温和湿度作为气候的特征指标确定Z：
与卢：经过分析，并考虑到计算中z：与卢7的乘积作为
一整体，得到z：卢’确定关系式
Z2卢’=，+0．006t+0．004Sd (2)
式中Z为气温，’(℃)；s。为相对湿度，(％)；厂
拳国家自然科学基金项目(50308024)。
王铁行，男，教授。
为综合考虑其他因素影响的区域性系数，西安取值
0．20，延安取值0．25。西安和延安地区每月平均气温
及相对湿度见表l。
表1气温和相对湿度表
’ 以东西走向路基为例，路基边坡坡率1：1．5，依
据文献[10]方法计算得到路基南坡面和北坡面的
坡面系数如表2所示。
表2南坡面和北坡面的坡面系数表
万方数据
·2· 全国中文核心期刊路基工程2008年第3期(总第138期)
3计算结果及分析
采用前文方法，模拟当地气候条件对西安和延安
地表温度进行计算，计算及实测得到平均地表温度随
时间变化，计算与实测结果较为一致。
以西安地区东西走向路堤为例对路基温度场进行
计算分析。路基边坡坡率1：1．5，宽度10 m，高度4
m，沥青路面。计算得到不同月份路基日平均温度分
布如图1、图2所示。
{
越
磺
温度，℃ 温度，℃
O 10 20 30 0 10 20 30
2
4
鑫6
聪8
10
12
2
逞4
嫠6
8
10
12
2
{4
越
璐6
8
lO
12
温度，℃
0 10 20 30
2
乓4
蓑6
8
lO
12
2
逞4
嫠6
8
10
12
温度，℃
0 lO 20 30
图1路基阴坡面温度随深度分布图
温度，℃
O 10 20 30
温度，℃
0 10 20 30
{
魁
聪
{
越
赚
温度，℃
温度，℃
O lO 20
图2路基阳坡面温度随深度分布图
图l为路基阴坡面平均温度随深度分布；图2为
路基阳坡面平均温度随深度分布。图中显示不论在阴
坡面还是阳坡面下，温度沿深度分布均随季节变化。
计算表明，冬季浅层土体平均温度较低，3 m深度范
围沿深度存在明显的增温梯度。因非饱和土体水分具
有从高温区域向低温区域迁移的特点，在温度梯度作
用下，冬季土体水分不断向地表迁移。当地表土体冻
结时，源源不断地迁移水分逐渐冻结，在冻结层发生
冻胀，甚至出现高含冰冻土。冻结层春季融化后因强
度急剧降低，可造成溜方等病害，或形成疏松层，易
于遭受雨水冲刷。夏季浅层土体平均温度较高，3 m
深度范围沿深度存在明显的负温梯度，负温梯度具有
抑制蒸发势导致土体水分向地表迁移蒸发。
比较图1和图2看出，阴坡面和阳坡面的温度分
布在夏季差别小，冬季差别大。夏至差别最小，冬至
差别最大。阳坡面和阴坡面在冬季出现较大温差，易
于导致阴阳坡面出现不同冻结状态。图中显示出西安
地区阳坡面一年四季不冻结，而阴坡面在冬季冻结。
在黄土高原北部寒冷地区则出现冻结深度差异等
问题。
图3给出了路面下深度2 m和4 m处路基横向温
度分布。图中显示出，7月份路基温度呈吸热型，越
靠近坡面，温度越高，温度梯度越大。而1月份路基
温度呈放热型，越靠近坡面，温度越低，温度梯度越
大。路基中部区域温度横向变化较小，但随着深度增
加，7月份2 m深度处的温度高于4 m深度处。1月
份2 m深度处的温度却小于4 m深度处。
ZU
＼ J6 ／
、、、．—．，．一——，———．．．／
12
嚣s
赠4
距中心距离，cm
(a)7月(深度2m)
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＼ 越16 ／
＼ 望!至。／
8
4
一10—8—6—4—2 0 2 4 6 8 10
距中心距离，cm
(b)7月(深度4m)
距中心距离／c“ 距中心距离，cm
(c)1月(深度2m) (d)1月(深度4m)
图3路基横向热分布图
黄土路基温度场随气候的动态变化，特别是温度
梯度的存在，对考虑温度影响确定非饱和土路基渗透
系数、确定非饱和土水势、进行非饱和土路基水分场
计算是有价值的。
上述对路基日平均温度进行了计算分析。为了进
一步探讨昼夜路基温度差异，将每日分为两个时间段
进行计算。计算得到路基路面白天平均温度分布和路
基路面晚上平均温度分布。表面因直接承受昼夜外界
条件变化，白天和晚上温度差别较大。这一差别随季
节是变化的，7月份差别最大，超过30℃，1月份最
小，约为7℃。但在深度30 cm处，白天平均温度和
晚上平均温度几乎是相同的，其差别可忽略不计。因
此，外界条件的昼夜变化对路面温度的影响不超过
30 cm。当深度超过30 cm时，可不考虑外界条件昼
夜变化影响。当深度小于30 cm时，宜考虑昼夜比较
万方数据
郑健龙等：膨胀土路基温度现场观测分析与研究·3·
膨胀土路基温度现场观测分析与研究木
郑健龙缪伟
(长沙理工大学公路工程学院湖南长沙410076)
摘要为了研究自然气候条件下膨胀土路基内部土体温度变化规律，在某膨胀土路堤内部进行
了一年多的现场跟踪观测，分析了不同位置土体温度随时间的变化规律，发现了不同深度温度变化滞
后性和温度场分布季节差异性，并对其特点和形成原因进行描述和解释。根据温度变幅标志，推测出
了当地膨胀土气候剧烈影响深度，可作为相关工程处治的参考依据。
关键词膨胀土温度现场观测气候影响深度
1前言
膨胀土是一种粘粒成分主要由亲水性矿物(蒙脱
石、伊利石)组成的高液限粘土，其主要特征表现为
吸水显着膨胀软化，失水急剧干缩开裂。大量研究表
明，气候干湿循环作用是引起膨胀土路基浅层破坏的
根本原因，因此，土水关系成为膨胀土研究的重点和
热点，而对温度这一同样受气候直接影响的指标则没
有引起足够的重视。
从热力学理论和非饱和土理论来看，温度对非饱
和土的性质影响很大。首先，非饱和土的吸力一般定
义为土中水的自由能状态，温度升高，土体水分势能
增加，吸力降低，抗剪强度降低.。其次，土体中湿
度场和温度场是耦合作用、相互影响的。也就是说土
壤水分的运动不仅仅是因含水量的分布不均衡引起
的，温度梯度的存在也是驱使水分迁移的原因。由此
可见，研究膨胀土路基中的温度在不同气候条件下的
变化规律，具有极其重要的理论意义和工程实际
意义。
曩交通部西部交通建设科技项目(2002 318000)。
郑健龙，男，教授，博士，博士生导师。
2观测方案的设计和实施
在已进行的非饱和土温度变化规律研究中，杨果
林等通过膨胀土路基模型试验，得到了在积水、日
照、阴天和降雨4种模拟气候条件下，膨胀土路基中
温度的变化规律旧-。刘炳成等在多种条件下，对非饱
和多孔土壤中温度和湿度分布的动态特性进行了室内
试验研究，分析了温度效应对水分运移的影响”J。为
了真实、准确地了解膨胀土路基在自然气候条件下，
其内部土体温度变化规律，本次研究采取了现场跟踪
观测。观测地点设在南(宁)友(谊关)路宁明段
Al(2+412断面，位于项目组“土工格栅加筋包边处
治方案”试验路段内，格栅包边宽度为3．O m，路堤
填料采用宁明灰黑色膨胀页岩风化破碎土HJ，共埋设
了温度传感器、含水量探头、土压力盒、水平位移
计、剖面沉降管，垂直测斜管共6种观测元件。其
中，为了保证观测的精度和稳定性，选用了长沙金码
高科公司生产的JMT一36型温度传感器，其主要技术
指标为：测量范围一20—110℃，精度+O．5℃，线
性误差+0．3℃。温度传感器沿横向布置了7个，距
边坡水平距离分别为0．4 m、0．9 m、1．5 m、2．2 m、
3．O m、4．0 m和13．0 m，距路基顶面的距离均为3．5
大的温度变化。土表面因其吸热性小于沥青路面，外
界条件的昼夜变化引起路基温度的变化小于沥青路参考文献：
面，故可认为，外界条件的昼夜变化对路基温度的影[1】王铁行，陆海红·温度影响下的非饱和黄土水分迁移问题探讨·岩土力
响也不超过30 cm。Ⅲ盖二=’0，：∑翟：％蝌，．w．鼬。一～。。。。。m。
4 结论(33)：483—500．
温度变化可导致黄土路基出现一系列病害问题， [3]党进谦，李靖·含水量对非饱和黄土强度的影响·西北农业大学学报，
特别是阴阳坡及其导致的病害问题，主要与阴、阳坡[4]磊Z芸茹茹五学研究中的若干新趋势．岩土工程学报’200l。
面受到的气候因素的差异有关。本文基于黄土高原的23(1)：l-13．
气候特征及现有文献，提出了模拟黄土高原气候因素[5]刘保健'支喜兰，谢永利等·公路工程中黄土湿陷性问题分析·中国公
的地表温度场数值计算方法，并模拟气温、辐射量、[6]譬盏≮=：盖翟=二310 N岖N。耐。d A蒯岫。‰训
湿度等边界条件，经过对黄土高原边界因素的分析研一Te。二咖。i：’Qi。ghai—ibet之。一．萎ien。i。。h抵二E，2002，45
究，确定了适于黄土高原的模型参数。进一步对西安(4)：433一“3．
塑垩耋要嫠筻鎏苎结量复窭型笙墨竺翌皆坌要耆翌! 罱蠢羹言：妻言莲嚣篡嚣i艾奏≥誓蓄蛊釜}土i翥，’
本文方法的合理性，对东西走向坡面的计算结果揭示高兰霸：薪’：‘纂誉?葫籍桑蕃划茹茹二；度场的数值模型．重
了阴阳坡面地表温度的差异性，对阴阳坡面地表温度庆大学学报，2003，26(6)：66—69．
的差异性随季节的变化规律进行了探讨。外界条件的[10]王铁行·岳彩坤·模拟气候因素的黄土路基地表温度数值分析．路基
昼夜变化对路基路面温度的影响不超过30 cm。
工程-2008t(1)：1也收稿日期：2007一04—20
万方数据

㈤ 6+10=1在什么情况下成立

6+10=1在计算错误的情况下成立。在计算错误的情况下等于1。在数学范围内我们可以知道6+10属于20以内加减法，按照我们小学数学课本上讲到的数学知识，6+10的正确答案是16，6+10在数学加法领域有且只有一个正确答案16。所以在计算正确的前提下6+10不会等于1，除非是算错了。

6十10正确答案应该等于16。要求6加10等于1，只有算错才有可能为1了。这是一道脑筋急转弯习题，一般不按常理解题，走反义，即正确对错误，左对右，上对下，白天对夜晚等等，这是解题思路，思路对了，题容易多了。

数值计算方法图书信息

随着计算机和计算方法的飞速发展，几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列计算性的学科分支，如计算物理、计算化学，计算生物学，计算地质学，计算气象学和计算材料学等，计算数学中的数值计算方法则是解决计算问题的桥梁和工具。

我们知道，计算能力是计算工具和计算方法的效率的乘积，提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。科学计算已用到科学技术和社会生活的各个领域中。数值计算方法是微分方程，常微分方程，线性方程组的求解。

数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如，在航天航空，地质勘探，汽车制造，桥梁设计，天气预报和汉字字样设计中都有计算方法的踪影。

㈥ 请问“数值分析”，“数理统计”，“矩阵论”，“数理方程”，选其中的哪一门好考一些，谢谢！

“数值分析”刚开始学的时候有一些困难，关键在于不要死记硬背公式，你可以先关注一下这门学科在工程领域的应用，然后再反过来学习该课程，比如像插值、拟合主要用于工程中分析、处理实验数据，而迭代主要用于误差分析……
个人认为“矩阵论”更加好考一些，相比于“数值分析”，矩阵论的规律更强，如果没有足够的时间吃透基本概念，你可以先记住公式，然后通过做题把它熟悉和掌握下来，而“数值分析”则需要你对各公式的证明、用途和使用方法有一定程度的认识，才能更急熟悉的掌握和运用它。

㈦ 山东大学计算数学考研经验分享

我是一个普通一本“三跨”考生，我本科是数学类，跨考计算机类 ， 经历重重磨难，终于如愿所偿。

总结

专业课的内容大部分是来源于书本，即使可能有超纲题，也是有章可循，要么就是学校老师的研究热点或者是他某本书中的内容，学好书本上的知识是可以应付的，但切记勿照搬书本，书本上刻板的答案很容易引起老师的反感，得分不是很高，尽量自己整理和归纳。

㈧ 谈谈对数值分析的认识

数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。为计算数学的主体部分。数百年前，人类已经将数学应用在建筑、战争、会计，以及许多领域之上，最早的数学大约是西元前1800年巴比伦人泥板（Babylonian tablet ）上的计算式子。例如所谓的勾股数（毕氏三元数），（3, 4, 5），是直角三角形的三边长比，在巴比伦泥板上已经发现了开根号的近似值。 数值分析在传统上一直不断的在改进，因为像巴比伦人的近似值，至今仍然是近似值，即使用电脑计算也找不到最精确的值. 运用数值分析解决问题的过程：实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果 数值分析这门学科有如下特点： 1·面向计算机 2·有可靠的理论分析 3·要有好的计算复杂性 4·要有数值实验 5.要对算法进行误差分析 主要内容：插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。

㈨ 计算方法到底是什么课

计算方法是数学课。

计算方法主要内容有：插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。这是数学系的专业课。

计算方法用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科。它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象，为计算数学的主体部分。

计算方法的学习方法：

一、学生要清楚一周内所要做的事情，然后制定一张作息时间表。在表上填上那些非花不可的时间，如吃饭、睡觉、上课、娱乐等。安排这些时间之后，选定合适的、固定的时间用于学习，必须留出足够的时间来完成正常的阅读和课后作业。

二、学习前先预习。这就意味着在学生认真投入学习之前，先把要学习的内容快速浏览一遍，了解学习的大致内容及结构，以便能及时理解和消化学习内容。当然，学生要注意轻重详略，在不太重要的地方学生可以花少点时间，在重要的地方，学生可以稍微放慢学习进程。

三、充分利用课堂时间。学习成绩好的学生很大程度上得益于在课堂上充分利用时间，这也意味着在课后少花些功夫。课堂上要及时配合老师，做好笔记来帮助自己记住老师讲授的内容。

四、学习要有合理的规律。课堂上做的笔记学生要在课后及时复习，不仅要复习老师在课堂上讲授的重要内容，还要复习那些学生仍感模糊的认识。如果学生坚持定期复习笔记和课本，并做一些相关的习题，学生定能更深刻地理解这些内容，学生的记忆也会保持更久。

㈩ 计算数学的数学分支特点

计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。主要内容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法，函数的数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。
应用数学是应用目的明确的数学理论和方法的总称，研究如何应用数学知识到其它范畴（尤其是科学）的数学分枝，可以说是纯数学的相反。包括微分方程、向量分析、矩阵、傅里叶变换、复变分析、数值方法、概率论、数理统计、运筹学、控制理论、组合数学、信息论等许多数学分支，也包括从各种应用领域中提出的数学问题的研究。计算数学有时也可视为应用数学的一部分。
图论应用在网络分析，数论应用在密码学，博弈论、概率论、统计学、应用在经济学，都可见数学在不同范畴的应用。 计算数学是研究如何用计算机解决各种数学问题的科学，它的核心是提出和研究求解各种数学问题的高效而稳定的算法。高效的计算方法与高速的计算机是同等重要的，计算作为认识世界改造世界的一种重要手段，已与理论分析、科学实验共同成为当代科学研究的三大支柱。计算数学主要研究与各类科学计算与工程计算相关的计算方法，对各种算法及其应用进行理论和数值分析，设计与研究用数值模拟方法代替某些耗资巨大甚至是难于实现的实验，研究专用或通用科学工程应用软件和数值软件等。近年来，计算数学与其他领域交叉渗透，形成了诸如计算力学，计算物理，计算化学，计算生物等一批交叉科学，在自然科学、社会科学、工程技术及其国民经济的各个领域得到了日益广泛的应用。
培养方向
1、微分方程数值解法及其应用
2、优化与控制理论及其数值计算
3、数值代数与数值软件