解三重积分的计算方法

A. 如何计算三重积分∫∫∫dV

三重积分计算方法：

1、三重积分的计算，首先要转化为“一重积分+二重积分”或“二重积分+一重积分”。与二重积分类似，三重积分仍是密度函数在整个坐标轴内每一个点都累积一遍，且与累积的顺序无关。

3、

(1)解三重积分的计算方法扩展阅读：

解三重积分的直角坐标系法。适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

1、先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。区域条件：对积分区域Ω无限制；函数条件：对f（x,y,z）无限制。

2、先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成。函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

B. 三重积分的计算

三重积分的计算，首先要转化为“一重积分+二重积分”或“二重积分+一重积分”。

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法：

先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

区域条件：对积分区域Ω无限制；

函数条件：对f（x,y,z）无限制。

先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成

函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

三重积分特点：

当然如果把其中的“二重积分”再转化为“累次积分”代入，则三重积分就转化为了“三次积分”，这个属于二重积分化累次积分。

与二重积分类似，三重积分仍是密度函数在整个Ω内每一个点都累积一遍，且与累积的顺序无关（按任意路径累积）。当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，三维空间质量值就等于其体积值；当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。

C. 三重积分题如何解答

解题过程如下：

P{丨X丨>2}=P(X>2)+P(X<-2)

而，P(X>2)=P[(x-3)/2>(2-3)/2=-1/2]=1-Φ(-1/2)=Φ(1/2)

P(X<-2)=P[(x-3)/2<(-2-3)/2=-5/2]=Φ(-5/2)=1-Φ(5/2)

查标准正态分布表Φ(1/2)=0.6915、Φ(5/2)=0.9938

∴P{丨X丨>2}=Φ(1/2)+1-Φ(5/2)=0.6915+1-0.9938=0.6977

P{X>3}=P[(x-3)/2>(3-3)/2=0]=1-Φ(0)

而Φ(0)=1/2

∴P{X>3}=1-1/2=1/2

(3)解三重积分的计算方法扩展阅读

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为r?（i=1,2,...,n），体积记为Δδ?，||T||=max{r?}，在每个小区域内取点f（ξ?，η?，ζ?），作和式Σf(ξ?，η?，ζ?)Δδ?。

若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点。

果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。

先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。区域条件：对积分区域Ω无限制；函数条件：对f（x,y,z）无限制。

先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

D. 怎样计算三重积分尽量通俗易懂。

其实,三重积分,就是把一重积分和二重积分的扩展 
三重积分及其计算 
一,三重积分的概念 
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义 
其中 dv 称为体积元,其它术语与二重积分相同
若极限存在,则称函数可积 
若函数在闭区域上连续, 则一定可积 
由定义可知 
三重积分与二重积分有着完全相同的性质 
三重积分的物理背景 
以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量 
下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法. 
二,在直角坐标系中的计算法 
如果我们用三族平面 x =常数,y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体 
其体积为 
故在直角坐标系下的面积元为 
三重积分可写成 
和二重积分类似,三重积分可化成三次积分进行计算 
具体可分为先单后重和先重后单 

E. 三重积分的计算方法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法
⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
①区域条件：对积分区域Ω无限制；
②函数条件：对f（x,y,z）无限制。
⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成；
②函数条件：f（x，y，）仅为一个变量的函数。 适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设x2+y2=a2,x=asinθ，y=acosθ
①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；
②函数条件：f（x,y,z）为含有与x2+y2（或另两种形式）相关的项。 适用于被积区域Ω包含球的一部分。
①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；
②函数条件：f（x,y,z）含有与x2+y2+z2相关的项。

F. 三重积分计算

被积函数推广到三元函数,切条法(
先z次y后x
)
注意
用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分,
则一定可积
由定义可知
三重积分与二重积分有着完全相同的性质
三重积分的物理背景
以
f
(
x
这里有一个幻灯片
其实,得平面区域
⑵穿越法定限.
二,三角形,用截面法较为方便,
就是截面的面积,如截面为圆,椭圆,就得到三重积分的定义
其中
dv
称为体积元,三重积分可化成三次积分进行计算
具体可分为先单后重和先重后单
①先单后重
——也称为先一后二,其它术语与二重积分相同
若极限存在,则称函数可积
若函数在闭区域上连续,就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分
若
f(x,y,z)
在
上连续
介于两平行平面
z
=
c1
,
z
=
c2
(c1
<
c2
)
之间
用任一平行且介于此两平面的平面去截
得区域
则
②先重后单
易见,若被积函数与
x
,
y
无关,或二重积分容易计算时,y)作平行于
z
轴的直线
交边界曲面于两点,各边界面平行于坐标面
解
将
投影到xoy面得D,它是一个矩形
在D内任意固定一点(x
,穿入点—下限,穿出点—上限
对于二重积分,y)
例2
计算
其中
是三个坐标面与平面
x
+
y
+
z
=1
所围成的区域
D
x
y
z
o
解
画出区域D
解
除了上面介绍的先单后重法外,利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分
先重后单,我们已经介绍过化为累次积分的方法
例1
将
化成三次积分
其中
为长方体,其竖坐标为
l
和
m
(l
<
m)
o
x
y
z
m
l
a
b
c
d
D
.(x,
y,
z
)
为体密度的空间物体的质量
下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法.
化三次积分的步骤
⑴投影,在直角坐标系中的计算法
如果我们用三族平面
x
=常数,y
=常数,
z
=常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体
其体积为
故在直角坐标系下的面积元为
三重积分可写成
和二重积分类似,三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，三重积分，就是把一重积分和二重积分的扩展
三重积分及其计算
一

G. 三重积分的计算

性质

三重积分
性质1
∫∫∫kf（x，y，z）dv=k∫∫∫f（x，y，z）dv （k为常数）。
Ω Ω
性质2
线性性质：
设α、β为常数，则∫∫∫[αf(x,y,z)±βg(x,y,z)]dv=α∫∫∫f(x,y,z)dv±β∫∫∫g(x,y,z)]dv。
Ω Ω Ω
性质3
如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。
性质4
如果在G上，且f(x,y,z）═1，v为G的体积，则v═∫∫∫1dv═∫∫∫dv.
Ω Ω
性质5
如果在G上，f(x,y,z）≤φ（xyz），则有，∫∫∫f(xyz)dv≤∫∫∫φ（x,y,z)dv，特殊地，∫∫∫f(x,y,z)dv∣≤∫∫∫f(x,y,z)dv.
ΩΩ Ω Ω
性质6
设M、m分别为f(x,y,z）在闭区域G上的最大值和最小值，v为G的体积，则有mv≤∫∫∫f(x,y,z)dv≤Mv.
Ω
性质7（积分中值定理）
设函数f(x,y,z）在闭区域G上连续，v是G的面积，则在G上至少存在一个点（ζ，η，μ）使得
∫∫∫f(x,y,z)dv═f（ζ，η，μ）v。
Ω

H. 用什么方法简化三重积分的计算

二重积分一般有直接计算和极坐标计算两种方法~
三重积分一般有直接计算,柱坐标和极坐标三种方法,积分技巧有先一后二或者先二后一两种技巧~

I. 三重积分的四种解法。每种给两个例题

三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分2 1),,(zzdzzyxf，再做二重积分D dyxF),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。ddzzyxfdvzyxfD zz 2 1]),,([),,(

参考这里吧http://wenku..com/link?url=_PcG9rSaanglQ8Ue8f6aVjgsNBMqz_7JEJhZUEgI8NQR0lDRZx-kcyFRAaX2cekVF8A1L1f00a

J. 三重积分的求法

一共有三种类型

（1）直角坐标计算三重积分。

已知体积的x,y,z各各范围

作法：

1 投影到xy(或xz,yz),这时先计算z, x y 已知，用x,y 表示z.

2 计算x,y，用X型，或Y型.（前面已经写过博客）

（2）用柱坐标计算。

有三项

1 角度a

2 r x=pcosa y=psina r的取值范围,联立@1 z=x+y @2 z=ax^2+by ,求出x^2+y^2=r（r已知）。

3 z z的范围用r表示联立两个z= z= 求出x^2+y^2=r,z用r表示。